GRÁFELMÉLET

1. GRÁFELMÉLET KÉSZÍTETTE: Takács Sándor

2. Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két ember legfeljebb egy mérkőzést játszott egymás ellen. Bizonyítsuk be, hogy mindenképpen volt két ember, aki ugyanannyi emberrel mérkőzött meg! n – a társaság tagjainak száma 1 ember játszhatott: 0 1 2 3 … n-2 n-1 egy időben nem fordulhat elő, hogy van a társaságban olyan aki 0 mérkőzést, és olyan, aki n-1 mérkőzést játszott. (aki n-1 mérkőzést játszott, mindenkivel játszott) Tehát a skatulya elv: n-1 skatulya, n db. Elem  legalább egy skatulyába 2 db. Elem kerül. 1 feladat Készítette: Takács Sándor

3. A város a Pregel nevű folyó két partján terül el, amely azt 4 részre osztja. Az egyes részeket 7 db híd köti össze a jobb oldali mellékelt ábra szerint. A königsbergiek olyan útvonalat szerettek volna tervezni, hogy valaki a lakásából indul el, és minden hídon csak egyszer sétál végig, majd visszatér a lakásába. Königsbergi séták Készítette: Takács Sándor

4. Euler megoldása • Euler 1736-ban szembesült a "königsbergi séta" problémájával, és bebizonyította, hogy ilyen útvonal nem lehetséges. Az ábrán látható modellel dolgozott. Innen számítjuk a gráfelmélet kezdetét. EULER 1707-1789 Készítette: Takács Sándor

5. Gráf: pontok és élek halmaza, ahol a pontokat élek kötnek össze, illetve az élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik. Pontok, csúcsok Élek Véges gráf: pontjainak száma véges Pont fokszáma: hány él indul ki a pontból? Pont szomszédai: amely pontokkal össze van kötve Párhuzamos (többszörös) él: ha két pont között több él húzódik Hurokél: ha egy él mindkét végpontja ugyanaz a pont Feladat: Készítsük el az 1. feladat gráfját 5 sakkjátékosra! A gráf fogalma Készítette: Takács Sándor

6. b a a a c b d d c c d d b a e e b a c e d b c • Izolált csúcs, • ahova nem futnak be és nem indulnak ki élek • hurok, • üres gráf, • teljes gráf, • terminális csúcsok • amelyekből nem vezet él másik csúcshoz. Izomorf gráfok Készítette: Takács Sándor

7. tételek • Egy véges egyszerű gráfban mindig van két olyan pont, amelyek fokszáma megegyezik. • Egy gráfban a fokszámok összege az élek számának a kétszerese. • Egy gráfban a páratlan fokszámú pontok száma páros. Készítette: Takács Sándor

8. feladat • Előfordulhat-e, hogy egy 9 tagú társaságban mindenki pontosan 3 embert ismer? Élek száma 13 Fokszámok összege: 26 Nem fordulhat elő, mert ha minden csúcs fokszáma 3, akkor 9x3=27 lenne a fokszámok összege. Ez ellentmond a tételnek. (az élek számának kétszerese páros szám) Készítette: Takács Sándor

9. Séta: a gráf csúcsainak olyan halmaza, amelyben minden csúcs éllel van összekötve a következővel út: a gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorozata, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször. Vonal:a gráf csúcsainak és éleinek azt a sorát, amelyben az élek a megfelelő csúcsokat kötik össze és az élek nem ismétlődnek. Euler-vonal:az olyan vonalat nevezzük, amelyben a gráf minden éle és minden pontja szerepel. Az Euler-vonal mentén megrajzolhatjuk a gráfot úgy, hogy a ceruzánkat nem emeljük fel a papírról, minden élén pontosan egyszer haladunk végig. Készítette: Takács Sándor

10. Egyszerű gráf: nincs sem párhuzamos él és nincs hurokél sem a gráfban. Teljes gráf: a gráf minden pontjából a gráf összes többi pontjába vezet egy-egy él. Összefüggő gráf: a gráf bármely pontjából bármely pontjába élek mentén el lehet jutni. További fogalmak Készítette: Takács Sándor

11. Kör: a kezdőpontjába visszavezető út, azaz olyan élsorozat, amely a kezdőpontjába tér vissza és benne minden él csak egyszer szerepel. • Euler-kör, vagy zárt Euler-vonal: Olyan Euler-vonal, ami egyben kör is. • Tétel:Egy összefüggő gráfnak akkor és csak akkor van zárt Euler-vonala, ha a gráf minden pontjának a fokszáma páros. • Ha az összefüggő gráfban csak két páratlan fokszámú csúcs van, akkor a gráfnak van nyitott Euler-vonala • Megjegyzés: Az ábrán látható alakzatnak van nyitott Euler-vonala, de nincs Euler köre. Két páratlan fokú csúcsa van Készítette: Takács Sándor

12. Újabb fogalmak • Izolált pont: amelyből nem indul ki él. • Irányított gráf: minden élről meg kell mondani, hogy melyik a kezdőpontja és a végpontja. • Kifok: hány él indul ki a pontból • Befok: hány él érkezik be a pontba • Komplementer gráf: • Egy gráf és komplementere ugyanazokat a pontokat tartalmazza. • A komplementer gráfban két pont pontosan akkor van összekötve éllel, ha az eredetiben nincs összekötve. Készítette: Takács Sándor

13. Gyakorlat • 1.Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyszerű véges gráfnak • páratlan sok pontja van, akkor bármely pont fokszámának paritása azonos a gráfban és komplementerében. • Páros sok pontja van, akkor bármely pont fokszáma vagy a gráfban, vagy komplementerében páratlan. • Legyen G n pontú gráfG’ komplementer gráf is n pontot tartalmaz. Ha x a G egy adott pontja, amelynek foka d, akkor G’-ben a foka n-d-1. Tehát a pont fokszámának összege G-ben és G’-ben n-1. • n páratlan n-1 páros azaz a pont paritása megegyezik a gráfban és komplementerében • n párosn-1 páratlan, azaz az egyikben páros fokú, a másikban páratlan fokú a pont. Készítette: Takács Sándor

14. További fogalmak • Tétel: n pontú teljes gráf éleinek száma n(n-1)/2 • 2.Feladat: Lehetséges-e, hogy egy 50 tagú társaságban mindenki pontosan három embert ismerjen? • Hát ha a társaság: 51, 100, 99 tagú? • Reguláris gráf – d-reguláris • Tétel: Ha n páros, akkor van 3-reguláris gráf, ha n páratlan, akkor nincs Készítette: Takács Sándor

15. További fogalmak, tételek • Definíció:Ha egy gráf összefüggő és nem tartalmaz kört, akkor azt fának nevezzük. • Például: a számítógépeknél használatos könyvtár struktúra, vagy az ún. családfák. • Definíció: Egy gráfot ligetnek (erdőnek) nevezünk, ha nem tartalmaz kört. A liget komponensei (összetevői) fák. • Tételek • A fa bármely két pontját egyetlen út köti össze • Ha egy fának bármely élét elhagyjuk, akkor a gráf nem összefüggő • Ha egy fának bármely két olyan pontját összekötjük, amely között eddig nem volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört. • Az „n” pontú fának n-1 éle van Készítette: Takács Sándor