หน่วยที่ 7 อนุพันธ์ และการประยุกต์

1. หน่วยที่ 7อนุพันธ์ และการประยุกต์ • ลิมิต และความต่อเนื่อง • อนุพันธ์ • การประยุกต์อนุพันธ์

2. พิจารณาค่าของฟังก์ชัน f ซึ่งมีเงื่อนไข ดังนี้ f(x) = 3 2 1 2 3 1 -1 -2 ลิมิต และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน Y f O X

3. ขอให้สังเกตว่า 1 ไม่อยู่ในโดเมนของ f และจากสูตรของ f จะเห็นว่า f = = x + 1 สำหรับทุกๆ x ≠ 1 เราสามารถคำนวณหาค่า f(x) ที่x มีค่าใกล้ๆ 1 เพียงใดก็ได้ ดังตัวอย่างในตาราง

4. หรือ จากการคำนวณจะเห็นว่า ถ้า xยิ่งเข้าใกล้ 1 ทางซ้ายของ 1 (หรือ x<1) และ x ยิ่งเข้าใกล้ 1 ทางด้านขวาของ 1 (หรือ x>1) แล้วค่า f(x) ก็จะเข้าใกล้ค่า 2 เราเรียกค่า 2 ว่าเป็นค่าของ “ลิมิตของ f(x) เมื่อx เข้าใกล้ 1” แสดงด้วยสัญลักษณ์

5. “x เข้าใกล้ 1 ทางด้านซ้ายของ 1 ซึ่งx<1 ” แทนด้วย x → 1- และ “ค่าของ f(x)เข้าใกล้ 2 เมื่อ x→1-” แทนด้วย อ่านว่า ลิมิตทางซ้ายของf(x) เท่ากับ 2เมื่อx เข้าใกล้ 1

6. ในทำนองเดียวกันสำหรับในทำนองเดียวกันสำหรับ “x เข้าใกล้ 1 ทางด้านขวาของ 1 ซึ่งx>1” แทนด้วย x>1+ และ “ค่าของf(x) เข้าใกล้ 2 เมื่อ x → 1+ ” แทนด้วย อ่านว่า ลิมิตทางขวาของ f(x) เท่ากับ 2 เมื่อx เข้าใกล้ 1

7. g 3 2 1 X O จะเห็นว่า และ เรากล่าวว่า ไม่มีค่า ต่อไปนี้พิจารณากราฟของฟังก์ชัน g Y

8. ถ้า แล้วย่อมได้ว่า และ จะสังเกตเห็นว่า

9. ถ้าทั้ง และ ย่อมได้ว่า ถ้า ≠ จะกล่าวว่า ไม่มีค่า และกลับกัน

10. (c เป็นค่าคงตัว) เช่น ; n เป็นจำนวนบวก เช่น กฎการหาลิมิต

11. เช่น = 4 + x3

12. เช่น = 2 – (-1)3 = 2 + 1= 3

13. เช่น = 3(1)-4 = 3(1)= 3

14. เมื่อ เช่น

15. จงหาลิมิต =(-2)2 + 3(-2) = 4 – 6= -2

16. จงหาลิมิต เมื่อ

17. จงหาลิมิต

18. Y f (x) = X O พิจารณากราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งกำหนดโดย

19. f(x) = Y X O จากกราฟของฟังก์ชัน f จะเห็นว่า

20. Y Y Y Y g(x) h(x) f(x) r(x) X X X X a a a a ภาพที่ 1 ภาพที่ 2 ภาพที่ 3 ภาพที่ 4 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

21. และ (2) มีค่า และ (3) ในกรณีทั่วไป จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ (1) f(a) นิยาม

22. อนุพันธ์ สมมติว่ารถคันหนึ่งเคลื่อนที่ไปได้ S(t) กิโลเมตรในเวลา t ชั่วโมง โดยที่ S(t) = 12t2 + 58 ความเร็วเฉลี่ยจาก t = 1 ถึง t = 3 เท่ากับ

23. ความเร็วเฉลี่ยจาก t = 1 ถึง t = 3 เท่ากับ เมื่อ S(t) = 12t2 + 58 = 48

24. ความเร็วเฉลี่ยจาก t = 2 ถึง t = 4 เท่ากับ = 72

25. จะเห็นได้ชัดว่าในช่วงเวลาที่แตกต่างกัน ความเร็วเฉลี่ยของรถก็แตกต่างกันด้วย ถ้าเราสนใจความเร็วในขณะใดขณะหนึ่งมากกว่าความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง จะเรียกความเร็วในชั่วขณะเวลาใดเวลาหนึ่งว่า ความเร็วชั่วขณะ

26. ในกรณีทั่วไป ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางว S(t) หน่วย ในเวลา t หน่วยเวลา แล้วความเร็วเฉลี่ยจากเวลา t0จนถึง t เท่ากับ ........... (1)

27. จะเห็นว่า ถ้า t มีค่าเข้าใกล้ t0แล้วความเร็วเฉลี่ยใน (1) จะมีค่าเข้าใกล้ความเร็วชั่วขณะ ณ เวลา t0ยิ่ง t มีค่าเข้าใกล้ t0มากเท่าใด ความเร็วเฉลี่ยใน (1) จะมีค่าเข้าใกล้ความเร็วชั่วขณะมากขึ้นเท่านั้น

28. ถ้าให้ V(t0) แทนความเร็วชั่วขณะ ณ เวลา t0จะได้ว่า ถ้าให้ t=t – t0จะเห็นว่าt คือการเปลี่ยนแปลงจาก t0ไปเป็น t จะได้

29. ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันใดๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน f โดยเฉลี่ยในช่วง x ถึง x + x คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงชั่วขณะของฟังก์ชัน f คือ

30. ถ้าลิมิต มีค่า จะเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของ f ที่ xและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)หรือ yหรือ

31. กรณีที่เราต้องการระบุค่าของอนุพันธ์ของ f ที่ x = a จะเขียนแทนด้วย f(a) หรือ y(a) และเรียกสัญลักษณ์ f(x)หรือ yว่าอนุพันธ์ของ f เมื่อเทียบกับ xนั่นคือ

32. เนื่องจาก จะได้ว่า กำหนดให้ f(x) = x2จงหา f(x) = 2x

33. เราอาจพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในเชิงเรขาคณิตได้ดังต่อไปนี้เราอาจพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในเชิงเรขาคณิตได้ดังต่อไปนี้ ถ้า P(x0, f(x0)) และ Q(x, f(x)) เป็นจุดบนกราฟ y = f(x) แล้วอัตราส่วน จะแทนความชันของส่วนของเส้นตรง PQ (ดูภาพ)

34. Y y = f(x) Q(x, f(x)) L f(x0) P(x0, f(x0)) X O x x0

35. จะเห็นว่าเมื่อเราเลื่อน x ให้เข้าใกล้ x0จุด Q ก็จะเลื่อนตามแนวเส้นโค้ง y = f(x) เข้าใกล้จุด P มากขึ้น ส่วนของเส้นตรง PQ ก็จะเคลื่อนเข้าหาเส้นตรง L ซึ่งเป็นเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ที่จุด P ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัส L ที่จุด P จะเท่ากับความชันของส่วนของเส้นตรง PQ เมื่อ x เข้าใกล้ x0

36. ถ้าให้ x = x - x0แล้วค่าลิมิตคือ ซึ่งมีค่าเท่ากับ f(x0) นั่นคือ ความชันของเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ที่จุด P คือ ดังนั้น ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 จะเท่ากับf(x0)

37. Y f L f(x0) f(x0) X x0 O ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 จะเท่ากับf(x0) f(x0)

38. จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ f(x) = x2ที่ x = -1 f(x) = x2ที่ x = -1 เนื่องจาก จะได้ว่า = 2

39. อนุพันธ์ ที่ x = 0 ให้ f(x) = x จงแสดงว่า f ไม่มีอนุพันธ์ที่ x = 0 พิจารณา f(0) ไม่มีค่า แต่

40. Y f(x)= a  O X L2 L1 กราฟของฟังก์ชัน f(x) = a  จะเห็นว่าที่ x = 0 เราอาจลากเส้นสัมผัสกราฟ f(x) ได้มากกว่า 1 เส้น คือ L1และ L2รวมทั้งแกน X และแกน Yความชันของเส้นตรง L1 และ L2 ไม่เท่ากัน และf(0) หาค่าไม่ได้

41. Y Y Y X X X a a a O O O Y X a O ฟังก์ชันของกราฟแต่ละรูปไม่มีอนุพันธ์ที่ x = a

42. ถ้าf เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ x = a แล้ว f ต่อเนื่องที่ x = a แต่บทกลับของข้อความดังกล่าวไม่จริง กล่าวคือ ถ้า fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x = aแล้วไม่จำเป็นว่า f จะต้องมีอนุพันธ์ที่ x = a เสมอไป

43. การกล่าวถึงสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกแบบหนึ่ง ซึ่งสัญลักษณ์นี้เกี่ยวข้องกับเรื่องดิฟเฟอเรนเชียล จะให้ความหมายดังนี้ ถ้า y = f(x)เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เราจะนิยาม ดิฟเฟอเรนเชียลของ xให้มีค่าเท่ากับ xเขียนแทนด้วย dx

44. เห็นได้ว่า dy และ dx ต่างก็เป็นปริมาณอันหนึ่ง ในกรณีที่ dx ≠ 0 จากสมการ จะได้ว่า นั่นคือ dx = x และนิยาม ดิฟเฟอเรนเชียลของ yให้มีค่าเท่ากับ f(x)dxเขียนแทนด้วย dy นั่นคือ dy = f(x)dx

45. นั่นคือ ผลหารของดิฟเฟอเรนเชียลของ y กับดิฟเฟอเรนเชียลของ x เท่ากับ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน จึงใช้สัญลักษณ์ หรือ แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชันอีกด้วย

46. สัญลักษณ์ f(x), y, ,หรือ เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ f(a), y(a), , แทนค่าของอนุพันธ์ของ f ที่ x = a

47. (c เป็นค่าคงตัว) สูตรเบื้องต้นสำหรับการหาอนุพันธ์ จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = 5

48. เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = x7 = 7x7-1 = 7x6

49. จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = x15 + 6

50. จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = 4x