Stabilność

1. Stabilność Stabilność to jedna z najważniejszych właściwości systemów dynamicznych W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy:  ustabilizować system niestabilny  uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi

2. Rozważamy: System dyskretny System ciągły

3. Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny jest punktem/stanem równowagi, jeżeli mówimy, że punkt/stan jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t0 lub k0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

4. Uwaga: istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Niestabilny stan równowagi Stabilny stan równowagi Uwaga: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny

5. Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System dyskretny System ciągły jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale Wniosek: stan mogą istnieć również inne stany równowagi jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli Stan System dyskretny System ciągły Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi

6. Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System dyskretny System ciągły co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

7. Dla systemów nieliniowych sprawa jest bardziej złożona Przykładowe wykresy fazowe dla systemu nieliniowego drugiego rzędu Trajektorie stanu Obszar niestabilny Obszar stabilny Odosobniony stabilny stan równowagi Cykl graniczny Odosobniony niestabilny stan równowagi

8. Wyróżniamy:  stabilność lokalną - kiedy system jest stabilny dla pewnych wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi  stabilność globalną - kiedy system jest stabilny dla wszystkich wartości stanów początkowych i danego stanu równowagi oraz  stabilność wewnętrzną - względem warunków początkowych systemu, odpowiedzi swobodnej systemu  stabilność zewnętrzną - względem wymuszeń systemu, odpowiedzi wymuszonej systemu

9. Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas dla wszystkich Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym wsensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny

10. Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

11. Stabilność asymptotyczna lokalna Stan jest stanem lokalnie asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

12. Stabilność asymptotyczna globalna Stan jest stanem globalnie asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli dla dowolnego stanu początkowego Podane definicje stabilności są kryteriami stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO)

13. Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste

14. Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

15. Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski:  System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny  System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a  System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

16. Wyniki symulacji System a.  Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

17. Wyniki symulacji System b.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi

18. Wynik symulacji

19. Wyniki symulacji System c.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście

20. Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

21. Stabilność zewnętrzna Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

22. Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

23. Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

24. Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

25. Stabilność wyjścia

26. Podsumowanie:  Każdy system stabilny asymptotyczne w sensie Lapunow’a jest stabilny w sensie BIBO  System stabilny w sensie Lapunow’a może być - niestabilny w sensie BIBO - stabilny w sensie BIBO  System stabilny w sensie BIBO nie musi być stabilny w sensie Lapunow’a

27. Sterowalność i obserwowalność - podstawowe pojęcia sterowania Sterowalność Sterowalność określa możliwości wpływania na stan (lub wyjście) systemu odpowiednim ukształtowaniem wejścia Ogólnie wyróżnia się dwa określenia sterowalności: 1. Sterowalność do początku (controllability-to-the-origin), nazywana krócej sterowalnością (controllability) 2. Sterowalność od początku (controllability-from-the-origin), nazywana krócej osiągalnością (reachability) Ograniczymy się do zapoznania się z podstawowymi wynikami znanymi dla systemów liniowych, a w szczególności stacjonarnych

28. Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x0 nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu x0 do stanu zerowego w pewnym skończonym czasie T Stan zerowy osiągany ze stanu x0 przy zastosowaniu różnych wejść u1(t) i u2(t), w różnych skończonych czasach T1 i T2 oraz po różnych trajektoriach

29. Dla systemów liniowych stacjonarnych mówimy: Stan x1 nazywamy osiągalnym, jeżeli istnieje wejście, które przeprowadza stan systemu x(t) z stanu zerowego do stanu x1 w pewnym skończonym czasie T Stan x1 osiągany ze stanu zerowego przy zastosowaniu różnych wejść u1(t) i u2(t), w różnych skończonych czasach T1 i T2 oraz po różnych trajektoriach

30. Systemy ciągłe Sterowalność stanu Stan sterowalny Stan systemu liniowego jest sterowalny, jeżeli można system przeprowadzić z tego stanu do stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest sterowalny, mówimy, że system jest całkowiciesterowalny lub krócej sterowalny

31. Sterowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności, nazywana macierzą sterowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy sterowalności: nxnm; n – wymiar stanu, m – wymiar wejścia Dla m=1 macierz sterowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia sterowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy sterowalności

32. Przykład 3. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu Konstruujemy macierz sterowalności

33. Stąd Dla sprawdzenia sterowalności policzymy wyznacznik zatem System jest niesterowalny (względem stanów)

34. Lewa górna podmacierz macierzy sterowalności ma wyznacznik różny od zera, zatem Przykład 4. Dany jest system dynamiczny Zbadać sterowalność systemu

35. Transmitancja systemu Konstruujemy macierz sterowalności stąd

36. Macierz sterowalności jest niezależna od współczynników licznika transmitancji systemu Wyznacznik macierzy sterowalności Wyznacznik macierzy sterowalności nie zależy współczynników wielomianu charakterystycznego a0, a1 oraz a2, zatem system o takiej strukturze jest zawsze sterowalny względem stanu

37. Dla systemów ciągłych sterowalność i osiągalność są równoważne Możemy tą równoważność wypowiedzieć w następujący sposób: Jeżeli system ciągły posiada cechę sterowalności stwierdzoną w oparciu o podane twierdzenie, to oznacza to, że będziemy mogli znaleźć trajektorię wejścia, która będzie przemieszczać system z dowolnego stanu początkowego do dowolnego stanu końcowego

38. Systemy dyskretne Przykład 4. Rozważmy system dyskretny Równania dla poszczególnych stanów maja postać: W świetle podanej definicji system jest sterowalny, bo: Weźmy dowolny stan Wybierając sterowanie

39. Przeprowadzimy system do stanu dla Zatem system jest sterowalny, w świetle podanej definicji jest równy zero dla wszystkich niezależnie Drugi stan od przyłożonego wejścia i nie można go przeprowadzić gdziekolwiek indziej System nie posiada zatem cechy osiągalności Wniosek z przykładu: Można wskazać systemy dyskretne posiadające cechę sterowalności, ale nie posiadające cechy osiągalności Uzasadnione jest zatem w odniesieniu do systemów dyskretnych stwierdzać posiadanie cechy osiągalności

40. Osiągalność stanu Stan osiągalny Stan systemu liniowego jest osiągalny, jeżeli można system przeprowadzić do tego stanu ze stanu za pomocą odpowiedniego sterowania w skończonym czasie Jeżeli każdy stan jest osiągalny, mówimy, że system jest całkowicieosiągalny lub krócej osiągalny

41. Osiągalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest osiągalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz osiągalności, nazywana macierzą osiągalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Wymiar macierzy osiągalności: nxnm; n – wymiar stanu, m – wymiar wejścia Dla m=1 macierz osiągalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia osiągalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy osiągalności