第一章函数

第一章函数 一、函数的一般研究㈠、函数的概念 1. 常量与变量 • 常量：在某一过程中数值保持不变的量。 • 变量：在某一过程中，可以取不同数值的量。 • 变域：变量所能取的所有的值的集合叫做变域。变域的表示方法： 1)用不等式表示，如a＜x＜b； 2)用集合表示，如{x|a＜x＜b}；约定：N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、 R(实数集)、R+(正实数集)。 3)用区间表示。

四种有限区间： 1)[a,b] 表示{x|a≤x≤b}，叫闭区间； 2)(a,b) 表示{x|a＜x＜b}，叫开区间； 3)(a,b] 表示{x|a＜x≤b}，叫左开右闭区间； 4)[a,b) 表示{x|a≤x＜b}，叫左闭右开区间。 • 五种无限区间： 1)[a,+∞) 表示{x|x≥a}； 2)(a,+∞) 表示{x|x＞a}； 3)(-∞,a] 表示{x|x≤a}； 4)(-∞,a) 表示{x|x＜a}； 5)(-∞,+∞) 表示实数集R；注意：∞读作无穷大，以正负无穷大为端点的区间必须是开区间。

2. 函数概念 定义　如果x,y是两个变量，当x在某个范围D中任意取定一个数值时，按照一定的法则f，y总有唯一确定的值与它对应，则称变量y为变量x的函数。记作 y＝f(x)，x∈D. 其中：x─自变量 y─因变量或函数值 D─函数的定义域　　所有的y值组成的集合称为值域。函数的两要素定义域 D 对应法则 f 两函数相等是指： ①定义域相同 ②对应法则相同

[重点提示] 求函数定义域的方法：对函数的每一部分，按 ⑴分母不为０ ⑵偶次根式中被开方式≥０ ⑶对数式中真数＞０ ⑷除去正余切函数无意义的点分别解出自变量的取值范围，然后取其公共部分。

例1.1 已知函数 求它的定义域。解：由x＋2≥０解得x≥-2 由x－１≠０解得x≠１由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为｛x｜-2≤x＜2.5且x≠1｝或表示为 [-2,1）∪（1,2.5)

例1.2 判断下列函数是否为同一函数： ⑴　f(x)＝sin2x＋cos2x g(x)＝1 ⑵ g(x)＝x＋1 ⑶ g(x)＝x＋1 ⑷ y＝ax2 s＝at2 解：⑴、⑷是同一函数，∵定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。 ⑵不是同一函数∵它们的定义域不相同。 ⑶不是同一函数∵它们的值域不相同。

３.分段函数 　分段函数是指在定义域的不同范围内，对应法则不同的函数，例如P.8例1.3 18, 0≤x≤60,x∈Z y= 18＋0.1(x－60),x＞60,x∈Z 　　⒋ 函数的表示方法　　⑴解析法（公式法）　　⑵图示法　　⑶表格法 5. 隐函数　　隐函数是指对应关系无法写成y＝f(x)的形式的函数，如x2+y2＝a2

㈡、函数性质的研究 [提示] 学员应逐步熟悉下面这种叙述定义或定理的方法 ⒈　奇偶性定义设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，若对于任意的x∈D，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为D上的偶函数，如果都有f(-x)＝-f(x)，则称f(x)为D上的奇函数，否则称为非奇非偶函数。例如：f(x)＝x2是偶函数 f(x)＝x3是奇函数偶函数的图象关于y轴对称, 奇函数的图象关于原点对称

[重点提示] 判断函数奇偶性的方法： ⑴分解合成法奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×偶＝奇，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶常数函数为偶函数，幂函数xn当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数，三角函数中sinx、tgx、ctg x为奇函数，cosx为偶函数例如：y＝1+x2 (偶) y＝x-x3 (奇) y＝xcosx (奇) y＝xsinx (偶) y＝x2cosx (偶) y＝1/x (奇) ⑵定义检验法以y＝ex+e-x为例 ∵f(-x)＝e-x+e-(-x)＝ex+e-x＝f(x) 　∴f(x)＝ex+e-x为偶函数

[强调]要逐步学会用数学语言来表述文字题的条件和结论。[强调]要逐步学会用数学语言来表述文字题的条件和结论。补充例题：P.23 5 求证:两个偶函数的积是偶函数。已知：f(x)、g(x)是偶函数，φ(x)＝f(x)·g(x) 求证：φ(x)是偶函数证明：∵f(x)、g(x)是偶函数 ∴f(-x)＝f(x),g(-x)＝g(x) ∵φ(-x)＝f(-x)·g(-x)＝f(x)·g(x)＝φ(x) ∴φ(x)是偶函数

⒉　单调性 定义如果函数y＝f(x)对于某区间(a,b)内的任意x1,x2，当x1＜x2时总有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递增，区间(a,b)称为f(x)的单调递增区间；如果总有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递减，区间(a,b)称为f(x)的单调递减区间。如果上述定义中的≤可改成＜，则称f(x)为严格单调递增，≥可改成＞，则称f(x)为严格单调递减，在整个定义域内都(严格)单调递增的函数称为(严格)单调递增函数，(严格)单调递减的函数称为(严格)单调递减函数。

[重点提示] 判断函数增减的方法： ⑴解析法例如判断y＝1-x3的单调性设x1,x2∈R，且x1＜x2则x2-x1＞0， f(x1)＝1-x13，f(x2)＝1-x23, f(x1)-f(x2)＝(1-x13)-(1-x23)＝x23-x13 ＝(x2-x1)(x12+x1x2+x22)＞0 ∴y＝1-x3是单调递减函数 ⑵图形法　单调递增函数单调递减函数

3. 周期性 定义设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在正数T，使得对于每一个x∈D，都有f(x+T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。周期函数的周期有无穷多个，通常把其中的最小正周期称为周期周期函数可能不存在最小正周期，例如狄利克雷函数： 1，x为有理数时， f(x)＝ 0，x为无理数时，它是周期函数，任何有理数都是它的周期，但它不存在最小正周期。 y＝sinx、y＝cosx 的周期为2π y＝tgx、y＝ctgx 的周期为π

定理1.1 若是f(x)最小正周期为T的周期函数，则函数f(ax＋b) (a＞０)也是周期函数，它的最小正周期为T／a 证明：⑴先证T／a是f(ax＋b)的周期 ∵T是f(x)的周期 ∴任取x∈D,都有f(x＋T)＝f(x) 则f[a(x＋T／a)＋b]＝f(ax＋b＋T)＝f(ax＋b) 故T／a是f(ax＋b)的周期 ⑵再证T／a是f(ax＋b)的最小正周期设T’是f(ax＋b)的最小正周期则f[a(x＋T’)＋b]＝f(ax＋b) 即f(ax＋b＋aT’)＝f(ax＋b) 令u＝ax＋b，可见 aT’是f(u)的最小正周期 T，故 T’＝T/a

4.有界性 定义设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得对于每一个x∈D，都有|f(x)|≤M，则称y＝f(x)为有界函数，M称为函数f(x)的一个界。否则称f(x)为无界函数。 [重点提示] 有界函数的性质： ⑴有界函数的界不是唯一的。 ⑵要证明函数y＝f(x)有界，只需找到一个正数M使得|f(x)|≤M即可。如果-M≤f(x)≤M，显然y＝f(x)有界。 ⑶如果f(x)≤M2，则称M2为f(x)的上界，如果f(x)≥M1，则称M1为f(x)的下界。当且仅当函数f(x)既有上界又有下界时函数f(x)有界

补充例题：课本P.41 6 若f(x)是有界函数，则g(x)＝kf(x),φ(x)＝f(x)＋k 也是有界函数(k是常数) 证明：∵f(x)是有界函数 ∴存在正数M，使得|f(x)|≤M ∵g(x)＝kf(x) ∴|g(x)|＝|kf(x)|≤|k|M 故g(x)是有界函数 ∵φ(x)＝f(x)＋k ∴-M＋k≤φ(x)≤M＋k 令N＝max{|-M＋k|,|M＋k|} 则|φ(x)|≤N，故φ(x)是有界函数

㈢、函数的四则运算 定义设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1∩D2上的函数ψ(x)＝f(x)＋g(x)称为函数f(x)与g(x)的和。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1∩D2上的函数ψ(x)＝f(x)-g(x)称为函数f(x)与g(x)的差。

设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1∩D2上的函数ψ(x)＝f(x)·g(x)称为函数f(x)与g(x)的积。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则定义在D=D1∩D2上的函数ψ(x)＝f(x)·g(x)称为函数f(x)与g(x)的积。设f(x)和g(x)是定义在D1、D2上的两个函数，则当g(x)≠0时，定义在D=D1∩D2上的函数称为函数f(x)与g(x)的商。

㈣、复合函数与反函数 ⒈　复合函数 [问题的引入] 在物理学中我们经常用到以一个公式代入另一个公式的计算方法。例如，物体在自由下落过程中，重力所做的功为W＝mgh，但高度h又是时间的函数h＝1/2gt2，经代入得W＝1/2mg2t2，这样功就成为了时间的函数。

定义设函数y＝f(u)的定义域为Df，而u＝g(x)的定义域为Dg，且值域Rg包含在Df中，则对于每一个x∈Dg，通过u总有唯一的y与它对应，故y是x的函数，记作y＝f[g(x)]，这样的函数称为复合函数，u称为中间变量。例如： y＝是由v＝x2、u＝sinv、y＝eu复合而成 y＝ln(x2+3x-10) 是由u＝x2+3x-10、y＝ln u复合而成

　　课本P.20的例1.10～例1.17 请学员课后自行阅读，下面讲解补充例题已知函数 f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2) 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x， f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝99

2．反函数 ［从一个实例说起］由y＝3x可得这两个函数不表示同一个函数，而表示互为反函数的两个函数。当然后一个函数也可以表示成定义设函数y＝f(x)的定义区域为Ｄ，值域为Ｐ，如果对于Ｐ中的每一个y值，都可以从关系式y＝f(x)唯一确定一个x值与它对应，这样得到的以y为自变量，以x为因变量的新函数称为函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f-1(y)。

[重点提示]　求反函数的步骤： 　⑴由原函数y＝f(x)反解求得x＝f-1(y) 　⑵把x与y互换得到反函数y＝f-1(x) 原函数y＝f(x)与它的反函数y＝f-1(x)在同一坐标系中的图象是两条关于直线y＝x轴对称的曲线(直线)。定理1.2 (反函数存在性定理) 设函数y＝f(x)在区间(a,b)内严格单调递增(递减)，其值域为(c,d)，那么必存在反函数y＝f-1(x)，并且它在(c,d)上也是严格单调递增(递减)的。

二、初等函数 ㈤、幂函数形如 y＝xα (α为实数) 特性：在(0,+∞)上总有定义，图象经过点(1,1)。当α＞０时在(0,+∞)上单调递增，当α＜０时在(0,+∞)上单调递减。

现在我们重点研究α为有理数时的情况。 设α＝p／q(p∈Z，q∈N，p、q互质) ⑴当q为奇数时　当p＞０时定义域为Ｒ，当p＜０时定义域为(-∞,０)∪(０,+∞) 当p为奇数时函数是奇函数，当p为偶数时函数是偶函数。 ⑵当q为偶数时　当p＞０时定义域为[０,+∞)，当p＜０时定义域为(０,+∞) 函数不存在奇偶性。

㈥、指数函数和对数函数 1．指数函数形如 y＝ax (a＞0,a≠1) 特性：D＝R，值域(0,+∞)，图象都过点(0,1)。当a＞1时单增，当0＜a＜1时单减，

2. 对数函数 形如 y＝logax (a＞0,a≠1) 对数函数是指数函数的反函数特性：D＝(0,+∞)，值域为R，图象都过点(1,0)。当a＞1时单增当0＜a＜1时单减

㈦三角函数 　函数y＝sin x、y＝cos x、y＝tg x、y＝ctg x、y＝sec x、y＝csc x分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。　　在高等数学中，三角函数的自变量x的值是以弧度值表示的，因此x的值是实数。㈧反三角函数 ⑴ 函数y＝arcsin x叫做反正弦函数，它是y＝sin x的反函数定义域为[-1,1]，值域(主值区间)为是单调增加函数，奇函数。

⑵ 函数y＝arccos x叫做反余弦函数， 它是y＝cos x的反函数定义域为[-1,1]，值域(主值区间)为[0,π]，是单减函数。 ⑶ 函数y＝arctg x叫做反正切函数，它是y＝tg x的反函数定义域为(-∞,+∞)，值域(主值区间)为是单调增加函数，奇函数。 ⑷ 函数y＝arcctg x叫做反余切函数，它是y＝ctg x的反函数。定义域为(-∞,+∞)，值域(主值区间)为(0,π) 是单减函数。三角函数和反三角函数的图象见课本P.36～P.39

㈨基本初等函数、初等函数 以上介绍的几种函数，再加上常数函数(形如 y＝C)，统称为基本初等函数。由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或有限次复合，并且用一个式子表达出来的函数，称为初等函数。 [作业] P.27 3 ⑴⑶⑸,4 ⑴⑶⑹,8，10，14，16，18，21 P.41 复习题一 2，3，4

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