Динамика на твърдо тяло и механична система .

1. Динамика на твърдо тялои механична система. Диференциални уравнения напросто движение на твърдо тяло. Диференциални уравнения на равнинно движение на твърдо тяло. Динамично моделиране на механична система от свързани тела.

2. 1. Диференциални уравнения на просто движение на твърдо тяло. 1.1 Транслационно движение на твърдо тяло. Транслационното движение на тяло се характеризира с това, че скоростите и ускоренията на всички точки от тялото са еднакви. Следователно достатъчно е да се познава движението на една точка (прим. масовия център С) за изучаване движението на цялото тяло. Ако се проектира векторното уравнение на движение на масовия център m.ac = ∑ Fi(външни). върху осите на декартова координатна система се получава: m.xC = ∑ Xi , m.yC = ∑ Yi , m.zC = ∑ Zi [1]

3. 1.2 Ротационно движение на твърдо тяло. Установихме, че въртеливото движение на тяло около неподвижна ос има една степен на свобода. Следователно, положението на тялото се определя от един параметър – ъгъла на въртене φ и само едно диференциално уравнение може да определи ротационното движение. От теоремата за изменение на кинетичния момент спрямо ос z имаме: dKz/dt = Mz, където: Kz=Jz.ωzили: d/dt (Jz.ωz) = Jz.dωz/dt = Mz. Но dωz/dt = εz. Следователно: Jz. εz = Mz [2]

4. 2. Диференциални уравнения на равнинното движени на твърдо тяло. Равнинното движение има 3 степени на свобода и се изразява посредством 3 независими параметъра : координатите хС и уС на масовия център С на тялото и ъгъла му на завъртане φспрямо ос минаваща през т.С и перпендикулярна на равнината на движение. От теоремата за движение на масовия център имаме: m.ac = ∑ Fiа [3], а от теоремата за изменение на кинетичния момент при относително движение на тялото спрямо координатна система с начало масовия център: dKса/dt = Mса[4]. Cлед проектиране върху осите на абсолютната координатна системанауравнението [3] и върху подвижната ос z1на равенството [4]сеполучава: m.xC = ∑ Xiа , m.yC = ∑ Yiа , Jсz1. εz1 = ∑ Miaz1 [5]

5. 3. Динамично моделиране на механична система от свързани тела. 3.1 Динамичен модел на механична система с една степен на свобода. Механична система с една степен на свобода има един независим параметър (обобщена координата), която еднозначно определя движението на системата. Това обстоятелство позволява системата да се разглежда като едно тяло (звено), което извършва просто движение (транслация или ротация) и чийто характеристики зависят само от един независим параметър – преместване s или завъртане φ. В зависимост от това, какво просто движение извършва заменящото звено има два вида модели.

6. Динамичен модел “реперна точка” параметри на модела: -приведена маса – mr ; -приведена сила – Fr ; -скорост – vr = v1 Динамичен модел “реперна ос” параметри на модела: -приведен масов инерционен момент – Jr -приведен момент – Mr ; -ъглова скорост – ωr = ω1 Mr Fr vr mr Jr φ A 1 ω O Видове динамични модели.

7. 3.2 Определяне параметрите на динамичния модел. • Условие за енергийна еквивалентност- кинетичната енергия на модела да бъде равна на кинетичната енергия на модела: Ек(р.с) = Ек(мод)[6] • Условие за мощностна (силова) еквивалентност – мощността на всички външни сили и моменти на реалната система да бъде равна на мощността на модела: Р∑FiMi(р.с.) = РFr(Mr)мод.[7]. • От условието [6] за енергийна еквивалентност се определят масовите характеристики на динамичния модел. Ако модела е “реперна точка” : Ек(мод) = ½.mr.vr. Кинетичната енергия на реалната система е сума от кинетичните енергии на всички звена: 2

8. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 а) определяне на масовите характеристики на динамичния модел. Ек(р.с.)= ∑( ½.mi.vi + ½.Ji.ωi ) I = 1 ÷ n (n – брой звена/тела в системата). Като положим изразите за кинетичната енергия на модела и реалната система в [6] ще се получи: ½.mr.vr = ∑( ½.mi.vi + ½.Ji.ωi ) или: mr= ∑[mi.(vi/vr) + Ji.(ωi/vr)] [8] Ако динамичният модел е “реперна ос”: Ек(мод) = ½.Jr.ωr, тогава: ½.Jr.ωr= ∑( ½.mi.vi + ½.Ji.ωi ) . Или: Jr= ∑[mi.(vi/ωr) + Ji.(ωi/ωr)] [9]

9. б) определяне силовите характеристики на динамичния модел. Силовите характеристики на динамичния модел се определят от условието [7] за равенство на мощностите на модела и реалната система. При модел “точка” : РFr = Fr.vr , а при модел “ос”: РМr = Mr.ωr Мощността на реалната система ще бъде равна на сумата от мощностите на всички външни сили и моменти действащи на системата: Р(р.с.)= ∑(Fi.vi + Mi. ωi) Замествайки изразите оградени с пунктир в [7], ще се получи за модел “точка”: Fr.vr= ∑(Fi.vi + Mi. ωi) или: Fr= ∑[Fi.(vi/vr)+ Mi.(ωi /vr)] [10] за модел “ос”: Mr.ωr = ∑(Fi.vi + Mi. ωi) или: Мr= ∑[Fi.(vi/ωr)+ Mi.(ωi /ωr)] [11]

10. 3.3 Диференциално уравнение на движение. С определяне на параметрите на динамичния модел, по същество задачата за изследване на механична система с n броя тела/звена се сведе до изследване на едно тяло (модела) с просто движение – транслация или ротация. За определяне движението на модела, било той “точка” или “ос” не може да се използва непосредствено уравнението на Нютон, защото масата (или масовия инерционен момент) на модела в общия случай не е постоянна величина, а зависи от отношението на скоростите, които отношения могат в някои механични системи да се променят периодично.

11. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Диференциално уравнение на движение (продължение) За извеждане на диференциалните уравнения на движение на динамичния модел може да се използва като изходно начало закона (теоремата) за изменение на кинетичната енергия: dE= dA . За модел “точка” ще се получи: d(½.mr.v ) = Fr.ds или: d/ds (½.mr.v ) = Fr, но d/ds (½.mr.v ) = 2/2. mr.v.dv/ds + + v/2.dmr/ds = mr.ds/dt.dv/ds+v/2.dmr/ds = mr.a + v/2.dmr/ds. Окончателно: mr.a + v/2.dmr/ds = Fr[12] За модел “ос”:d (½.Jr.ω ) = Mr.dφ,или: d/dφ (½.Jr.ω )= Mr но d/dφ (½.Jr.ω )= 2/2.Jr.ω.dω/dφ + ω/2.dJr/dφ = = Jr.dφ/dt.dω/dφ + ω/2.dJr/dφ . Окончателно: Jr.ε +ω/2.dJr/dφ= Mr [13] [12] и [13] са ДУ на Лагранж за движение на мех. система с една степен на свобода.

12. 3. 4 Частни случаи a) mr = const. Тогава dmr/ds = 0 и mr.a = Fr [14] т.е. уравнението на Нютон, което се получава като частен случай на уравнението на Лагранж. б) Jr = const. Тогава dJr/dφ = 0 Jr.ε = Mr [15] ПРИМЕРИ!

13. Въпроси ?