Máquina de Turing e Computabilidade

Máquina de Turing e Computabilidade • Máquinas de Turing são os autôma-tos mais potentes que estudaremos. • Elas podem computar qualquer fun-ção computável; • Há até quem acredite que tudo que é efetivamente computável é computá-vel por uma MT.

Outras noções de computabilidade •  - cálculo (Church 1933); • Funções  - recusivas (Gödel 1936); • Combinadores lógicos (Schönfinkel 1924, Curry 1929); • Sistema de Post (Post 1943); • Máquiinas de Turing (Turing 1936-7). Tese de Church-Turing Todos os sistemas acima captam a noção de computável.

SIMULAÇÃO UNIVERSAL OU PROGRAMAS COMO DADOS. Máquina de Turing (Descrição Informal) ├ a b b a b a ■ ■ ■ ■ ... ambos sentidos, lê/escreve Q

Máquina de Turing: • conjunto finito de estados Q; • uma fita semi-infinita, isto é, ela é delimitada à esquerda pelo símbolo ├ e infinita a direita; • o cabeçote da fita pode se mover para a direita e para esquerda da fita e pode escrever símbolos sobre a fita; • a entrada da fita é de tamanho finito e inicialmente está logo após o ├ (à direita); • as infinitas células a direita da cadeia de entrada todas também contém o símbolo especial nulo ■;

funcionamento começa no estado inicial S e o cabeçote sobre ├; • a cada passo a MT lê o símbolo sobre o ca-beçote, e dependendo deste símbolo e do estado corrente, escreve um novo símbolo nesta célula, move o cabeçote para a direita ou para a esquerda e entra num novo estado (função de transição); • a MT aceita a cadeia de entrada indo para um estado especial t e rejeita indo para um estado especial r; • para algumas cadeias de entrada a MT pode funcionar infinitamente sem nunca aceitá-la ou rejeitá-la.

Uma Máquina de Turing é uma 9-tupla M = (Q,,,■,├,,s,t,r) onde: • Q é o conjunto finito de estados; •  é o alfabeto de entrada (finito); •  é o alfabeto da fita contendo  como um subconjunto (finito) • u \ , símbolo nulo; • ├  \ , delimitador à esquerda • : Qx  Qxx{L,R}, função de transição • sQ, estado inicial • tQ, estado de aceitação • rQ, estado de rejeição

Restrições: • Nunca escrever sobre├ e nunca se mover para fora da fita à esquerda. • Para todo pQ existe um qQ tal que (p,├) = (q,├,R) • Uma vez que a TM entra no estado de aceitação/rejeição ela nunca sai. • Para todo b existe c,c’ e d,d’{L,R} tal que  (t,b) = (t,c,d)  (r,b) = (r,c’,d’)

EXEMPLO: MT que aceita { anbncn / n 0}. Informalmente: • A MTcomeça no estado inicial S, varre a entrada a direita, checando se é da forma a*b*c*. • Ela não escreve no seu caminho (formalmente ela escreve o que leu). • Até encontrar o primeiro ■, daí troca este símbolo por um delimitador à direita .

Agora a MT varre a fita a esquerda apagando o primeiro c que encontra, então o primeiro b e também o primeiro a. • A MT varre a direita apagando um a, um b, e um c. • A MT continua indo da direita para esquerda (e vice-versa) apagando uma ocorrência de cada letra a cada passo.

Se em algum passo ela encontra uma ocorrência de um símbolo e nenhuma de outra, ela rejeita a cadeia. • Senão, ela vai apagar todas as letras e no passo final terá somente nulos entre├ e , neste ponto a MT aceita a cadeia.

Formalmente: Q={s,q1,…,q10,t,r} ={a,b,c} ={,■,} Função de transição: ├ a b c ■  S (S,├,R) (S,a,R) (q1,b,R) (r, _ , _ ) (q3,,L) _ q1 _ (r, _ , _ ) (q1,b,R) (q2,c,R) (r, _ , _ ) _ q2 _ (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q2,c,R) (q3,,L) _ q3 (t, _ , _ ) (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q4,■, L) (q3,■,L) _ q4 (r, _ , _ ) (r, _ , _ ) (q5,■,L) (q4,c,L) (q4,■,L ) _ q5 (r, _ , _ ) (q6,■,L) (q5,b,L) _ (q5,■,L) _ q6 (q7,├,R) (q6,a,L) _ _ (q6,■,L) _ q7 _ (q8,■,R) (r, _ , _ ) (r, _ ,_ ) (q7,■,R) (t, _ _ ) q8 _ (q8,a,R) (q9,■,R) (r, _ , _ ) (q8,■,R) (r, _ , _ ) q9 _ _ (q9,b,R) (q10,■,R) (q9,■,R) (r , _, _ ) q10 _ _ _ (q10,c,R) (q10,■,R) (q3,,L)

Configuração inicial (S,├x■,o) • ■ representa um número infinito de ■’s • 0 significa que a máquina está varrendo o delimitador ├ • Uma MT aceita uma cadeia de entrada x* se (S,├x■,0) * (t,y,n) para algum y e n e • rejeita se (S,├x■,0)*(r,y,n) para algum y e n. • M pára para uma entrada x se ela aceita x ou rejeita x. M pode ficar rodando infinita-mente com a entrada x. • O conjunto L(M) representa o conjunto de todas as cadeias aceitas por M.

Um conjunto de cadeias é Recursiva-mente Enumerável (RE) se é L(M) para alguma máquina de Turing M, e • Recursivo se é L(M) para alguma má-quina de Turing M que pára em todas as entradas.

Máquinas de Turing com múltiplas fitas • Fitas extras não adicionam poder computacional ├ ... a a b b b a ■ ■ ■ ├ b b a b b a a ■ ■ ... ... ├ a b b a b a a ■ ■ Q

Uma MT com 3 fitas é similar a MT com uma fita exceto que a de 3 fitas tem as 3 fitas e 3 cabeçotes de leitura. • Em cada passo a máquina lê os três símbolos sobre seus cabeçotes, e baseada nesta informação e no estado corrente, ela imprime um símbolo em cada fita, move os cabeçotes (eles não precisam se mover na mesma direção) e entra num novo estado.

A função de transição é do tipo  : Q x 3  Q x 3 x {L,R}3 • Chamemos a MT com 3 fitas de M. Podemos construir uma máquina de Turing com uma fita N que simula M (EXERCÏCIO).

Máquinas de Turing infinita dos dois lados. • Infinitude para ambos os lados não adiciona poder computacional. ... ... a a a a b a a b a b b quebre aqui ... a a b b a ├ ... a b a a b

Podemos quebrar a fita original em qualquer lugar e simular a MT em uma outra MT infinita só a direita com duas fitas. • A fita de cima é usada para simu-lar a MT original quando seu cabeçote está a direita da quebra, e a trilha de cima é usada para simular a MT original quando seu cabeçote está a esquerda da quebra, movendo-se na direção oposta.

EXERCÍCIOS 1. Construir uma gramática livre de contexto para a linguagem formada pelo conjunto de cadeias sobre {a,b} que não são Palindromes. Mostre que sua gramática está correta. 2. Construa uma gramática na forma Normal de Chomsky para o conjunto não vazio de cadeias com o número balanceado de parênteses ( ) e colchetes [ ]. 3. Descreva a MT N com uma fita que simula M com três fitas (veja notas de aula).

Gramáticas Tipo 0 ( Sem Restrição) G = (V,T,P ,S) onde as produções de P tem a forma  com  e  sendo cadeias arbitrárias de símbolos da gramática e   .    quando   P. L(G) = {W| W  T* e S * W}

EXEMPLO: A gramática geradora de {ai |i é uma potência positiva de 2} 1)SACaB 2)CaaaC 3)CBDB 4)CBE 5)aDDa 6)ADAC 7)aEEa 8)AE  • A e B são delimitadores a direita e a esquerda das formas sentenciais.

C é um marcador que se move entre A e B duplicando o número de a’s pela produção 2. • Quando C alcança o delimitador a direita B ele se transforma em D ou E pelas produções 3 ou 4. • Se D é escolhido ele migra pela produção S até chegar ao delimita-dor A.

Neste ponto D se transforma em C pela produção 6 e o processo co-meça novamente. Se E é escolhido, o delimitador a di-reita é consumido. E migra para a esquerda pela produção 7 e conso-me o delimitador a esquerda, resul-tando em uma cadeia de 2i a’s para i > 0.

Equivalência entre Gramáticas Tipo 0e Máquinas de Turing TEOREMA: Se L é L(G) para uma gramática tipo 0 G=(V,T,P ,S), então L é uma linguagem recursivamente enumerável.

PROVA: • Construiremos uma máquina de Turing não-determinística com duas fitas M para reconhecer L. • A primeira fita é uma fita de entra-da, onde a cadeia W será colocada. • A segunda fita é usada para armaze-nar a forma sentencial  de G. M inicializa  com S. Então M repeti-damente faz:

1)seleciona, não deterministicamente, uma posição i em , 1 i  |  |. Isto é, começa na esquerda e repetidamente se move para direita ou seleciona a posição atual. 2)seleciona aleatoriamente uma produ-ção  de G. 3)se  aparece começando na posição i de , troque  por  nesta posição (shifting over). 4)compare a forma sentencial resultante com W na fita 1. Se a forma sentencial for igual a W, aceita w como uma sen-tença de G. Senão volta para o passo 1.

Obs: Todas e somente as formas sentenciais de G aparecem na fita 2 quando o passo 2 é executado depois de algumas escolhas. • L(M) = L(G) = L então L é recursivamente enumerável. q.e.d.

TEOREMA: Se L é uma linguagem recursivamente enumerável, então L = L(G) para alguma gramática tipo 0 G. • a prova é mais elaborada e é omitida

Linguagens Sensíveis ao Contexto G = (V,T,P,S) onde as produções em P tem a forma  com  e  sendo ca-deias arbitrárias de símbolos da gra-mática,  e  tem que ser pelo menos tão grande (longo) quanto . • O nome sensível ao contexto vem da forma normal para estas gramáticas onde cada produção tem a forma 1A2 12 com .

Isto é, a variável A pode ser substi-tuída pela cadeia  somente no contexto 1 _ 2. Obs: Quase todas as linguagens que trabalhamos são sensíveis ao con-texto. As únicas provas que certas linguagens não são sensíveis ao contexto são baseadas em diago-nalização.

Autômatos Linearmente Limitados (ALL) Um ALL é uma máquina de Turing não determinística satisfazendo as seguintes condições: 1)o alfabeto de entrada inclui dois símbolos especiais¢ e s, delimita-dores a esquerda e a direita. 2)o ALL não pode se mover a esquer-da de ¢ e a direita de s, nem pode trocar os símbolos ¢ e s na fita.

Obs: Um ALL é uma MT que,ao invés de ter uma fita potencial-mente infinita para computar, tem somente uma porção da fita contendo o símbolo x mais duas células contendo os delimitado-res. Existe uma equivalência entre ALL e gramáticas sensíveis ao contexto.

HIERARQUIA DE CHOMSKY TEOREMA: (a) os conjuntos regulares estão conti-dos propriamente nas linguagens livres de contexto. (b) LLC não contendo a palavra vazia estão contidas propriamente nas LSC. (c) LSC estão propriamente contidas nos conjuntos recursivamente enume-ráveis.

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