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第七章 特徵值與特徵向量

第七章 特徵值與特徵向量. 7.1 特徵值與特徵向量 7.2 對角化 7.3 對稱矩陣與正交對角化. 幾何表示. 特徵值. 特徵向量. 7.1 特徵值與特徵向量. 特徵值問題 (eigenvalue problem). 若 A 為一 n  n 矩陣，在 R n 中是否存在著非零向量 x ， 使得 A x 與 x 之間存在著倍數關係？ . 特徵值 (eigenvalue) 與特徵向量 (eigenvector). A ： n  n 矩陣  ：純量 x ： R n 中的非零向量. 特徵值. 特徵值. 特徵向量. 特徵向量.

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第七章 特徵值與特徵向量

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Presentation Transcript

  1. 第七章特徵值與特徵向量 7.1 特徵值與特徵向量 7.2 對角化 7.3 對稱矩陣與正交對角化

  2. 幾何表示 特徵值 特徵向量 7.1 特徵值與特徵向量 • 特徵值問題 (eigenvalue problem) 若A為一nn矩陣，在Rn中是否存在著非零向量x，使得Ax與x之間存在著倍數關係？ • 特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector) A：nn 矩陣 ：純量 x： Rn中的非零向量

  3. 特徵值 特徵值 特徵向量 特徵向量 • 範例 1： 證明特徵值與特徵向量

  4. 證明： x1與x2為特徵值所對應的特徵向量 • 定理 7.1： 特徵空間 (eigenspace) 若A為一nn矩陣，且為A的一個特徵值，則 對應於的所有特徵向量與零向量可構成一個 Rn的子空間，稱為特徵空間

  5. 假設 位於x軸的向量 特徵值為 • 範例 3：平面中的特徵空間 求下列矩陣的特徵值及所對應的特徵空間 解：

  6. 特徵值為 對應於 的特徵空間為x軸 對應於 的特徵空間為y軸 位於y軸的向量 就幾何上來說，矩陣A與在R2中的向量的乘積為對稱於y軸的映射

  7. 當 時有非零解，若且唯若 (1) 為 A的一個特徵值，使得 (2) A對應於的特徵向量為 的非零解 • A的特徵方程式 (characteristic equation) • 定理 7.2：求矩陣AMnn的特徵值與特徵向量 • AMnn的特徵多項式 (characteristic polynomial)

  8. 解：特徵方程式： 特徵值為： • 範例 4：求特徵值與特徵向量

  9. 解：特徵方程式： 特徵值為： • 範例 5： 求特徵值、特徵向量與每個特徵值所對應特徵空間的維度

  10. 對應於 的特徵向量為： 故特徵空間的維度為2

  11. 注意： (1) 若特徵值1為特徵多項式的k個重根， 則1的重數(multiplicity)為k (2) 特徵值的重數往往會大於或等於其特徵空間的維度

  12. 解：特徵方程式： 特徵值為： • 範例 6： 求A之特徵值與其對應特徵空間的一組基底

  13. 為 時所對應特徵空間的一組基底

  14. 為 時所對應特徵空間的一組基底

  15. 為 時所對應特徵空間的一組基底

  16. 範例 7：求對角矩陣及三角矩陣的特徵值 解： • 定理 7.3：三角矩陣的特徵值 若A為一個nn的三角矩陣，則其特徵值為其主對角線上的元素

  17. 線性轉換的特徵值與特徵向量

  18. 範例 8：線性轉換的特徵值與特徵空間 解：

  19. 注意：

  20. 摘要與復習 (7.1節之關鍵詞) • eigenvalue problem: 特徵值問題 • eigenvalue: 特徵值 • eigenvector: 特徵向量 • characteristic polynomial: 特徵多項式 • characteristic equation: 特徵方程式 • eigenspace: 特徵空間 • multiplicity: 重數

  21. 可對角化矩陣 (diagonalizable matrix) 一方陣A稱為可對角化矩陣，若存在一可逆矩陣P使得P-1AP為對角矩陣 (P對角化A) 7.2 對角化 • 對角化問題 (diagonalization problem) 對一方陣A，是否存在一可逆矩陣P使得P-1AP為對角矩陣 • 注意： (1)若存在一可逆矩P使得 ，則A與B兩方陣稱為相似矩陣(similar matrix) (2)特徵值問題與對角化問題兩者關係密切

  22. 證明： • 定理 7.4：相似矩陣具有相同的特徵值 若A與B為nn相似矩陣，則他們具有相同的特徵值 故A與B具有相同的特徵值

  23. 解：特徵方程式： • 範例 1：可對角化矩陣

  24. 注意：當

  25. 證明： • 定理 7.5：可對角化的條件 一nn的矩陣A為可對角化，若且唯若它有n個線性獨立的特徵向量

  26. 解：特徵方程式： • 範例 2：不可對角化 A沒有兩個線性獨立的特徵向量 故A不可對角化

  27. 步驟一：找出n個線性獨立的特徵向量 步驟二：令 步驟三： • nn方陣對角化步驟

  28. 解：特徵方程式： • 範例 5：矩陣對角化

  29. 注意：

  30. 範例 7：判斷A是否可對角化 解：因為A為三角矩陣，其特徵值為 • 定理 7.6：可對角化的充份條件 若nn矩陣A有n個不同的特徵值，則對應的特徵向量為線性獨立且A為可對角化矩陣 因為三個特徵值均不同 故A為可對角化矩陣

  31. 範例 8：求線性轉換的對角矩陣 解：

  32. 摘要與復習 (7.2節之關鍵詞) • diagonalization problem: 對角化問題 • diagonalization: 對角化 • diagonalizable matrix: 可對角化矩陣

  33. 範例 1：對稱矩陣 7.3 對稱矩陣與正交對角化 • 對稱矩陣 (symmetric matrix) 方陣A若相等於自己的轉置矩陣，則稱A為對稱矩陣

  34. 對稱矩陣的特徵值 若A為一nn的對稱矩陣，則以下的性質為真 (1) A可對角化 (2) A的所有特徵值均為實數 (3) 若A的特徵值具有重數k，則具有k個線性獨立 的特徵向量。亦即的特徵空間的維度為k

  35. 證明：特徵方程式： • 範例 2：證明對稱矩陣為可對角化

  36. 定理 7.8： 正交矩陣的性質 一nn矩陣P為正交若且唯若它的行向量可形成一單 範正交集 • 定理 7.9： 對稱矩陣的性質 令A為一nn的對稱矩陣。若1及2為A的不同特徵值， 則其相對的特徵向量x1與x2為正交 • 正交矩陣 (orthogonal matrix) 一方陣P為正交若P為可逆且

  37. 解：若P為正交矩陣，則 • 範例 5： 證明P為正交矩陣

  38. 定理 7.10： 對稱矩陣的基本定理 令A為一nn的矩陣，則A為正交可對角化矩陣且具有實數的特徵值若且唯若 A為對稱矩陣 • 對稱矩陣的正交對角化 (orthogonal diagonalization) 令A為一nn的矩陣。 (1)找出A的特徵值並找出每個特徵值的重數 (2)對於每個重數為1的特徵值，選出一個單位特徵向量 (3)對於每個重數為k2的特徵值，找出一組有k個線性獨立的特徵向量集。若這個向量集並非單範正交，利用Gram-Schmidt單範正交過程將之單範正交化 (4)由(2)與(3)的結果產生一組有n個特徵向量的單範正交集。利用這些特徵向量來做為矩陣P的行向量

  39. 範例 7：可正交對角化 對稱矩陣 可正交對角化

  40. 解： 線性獨立 • 範例 9： 正交對角化

  41. Gram-Schmidt 過程

  42. 摘要與復習 (7.3節之關鍵詞) • symmetric matrix: 對稱矩陣 • orthogonal matrix: 正交矩陣 • orthonormal set: 單範正交集 • orthogonal diagonalization: 正交對角化

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