【第四講義】接空間と接写像

【第四講義】接空間と接写像

1 y 0 W 0 x1 【質問】剛体回転において，　●有理比回転の場合，〔〕個の〔〕が存在する．　●無理比回転の場合，〔〕個の〔〕が存在する．　●無理比回転の場合，　軌道は〔〕である．　という性質が成り立つ．

【質問】右の写像の不変集合は，カオス的であることを説明せよ．【質問】右の写像の不変集合は，カオス的であることを説明せよ．【質問】有理回転と無理回転のそれぞれで，右の写像は，　カオス的ではないことを説明せよ．【前回の復習】【質問】不変集合が，カオス的であるための３条件を述べよ．【回答】コンパクト性，分解不可能性，不安定性．【質問】分解不可能性の定義を一つ挙げよ．【回答】位相推移性あるいは位相混合性．【質問】コンパクトな不変集合が，位相推移的であるとき，いかなる軌道が存在するか．【回答】稠密な軌道．【質問】カオス的不変集合が，満たすと期待される４つの様相を述べよ．【回答】乱雑な軌道．可算個の周期軌道が存在し，その全体は稠密．　　　　非可算個の非周期軌道，稠密な軌道【質問】周期点が漸近安定であるための必要十分条件を述べよ．

【不動点定理と漸近安定性】 【定義：縮小写像】完備な距離空間(U,d)上の写像F : U→Uが，任意の元x,yに対して d(Fx,Fy) ≦ s d(x,y) < d(x,y) を満足するならば，Fを縮小写像という．【定理：不動点定理】距離空間(U,d)上の縮小写像F : U→Uは，　・唯一の不動点pを持つ　・任意のxに対して， limn→∞ xn→p 　なる大域的漸近安定性を満足する．【証明の手順】・軌道{xn}は，コーシー列である．・コーシー列であるならば，完備性より不動点へ収束する．・不動点が存在するならば，１つである．【質問】縮小写像の不動点は唯一である理由を述べよ．【質問】線形写像F : x |→ Axが，縮小写像である場合，作用素Aが満たす条件を述べよ．【回答】||Ax-Ay||= ||A(x-y)|| ≦ s ||x-y|| において，リプシッツ定数sは，s = sup||e||=1 ||Ae|| を満足する．右辺は，行列Aのスペクトルノルム||A||である．よって，||A|| < 1.

【回答】 ヤコビ行列【解析学の復習】【質問】(x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における陰関数表現された曲面0= f(x,y) - z の接平面を求めよ．【回答】(x,y,z) = (a,b,f(a,b)) における曲面0 = f(x,y) - z の法線ベクトルは？ n = grad(f(x,y) – z)](x,y,z)=(a,b,f(a,b)) = (fx(a,b),fy(a,b),-1). よって，接平面は， 0 = n・(x-a,y-b,z-f(a,b)) = fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) - (z-f(a,b)) ．【質問】可微分写像F(x,y)=(f(x,y),g(x,y))の(x,y) = (a,b) における線形近似を求めよ．

【定義：接空間と接写像】２次元可微分同相写像 F : U → Uにおいて， x=aで定義される線形空間TaUを接空間といい，線形写像　を接写像という． TaU TFaU F*a Fa 【定義：n周期点の特性乗数】２次元可微分同相写像 F : U → Uにおいて，　周期点{p0,p1,..,pn-1}に関する合成接写像　の固有値を特性乗数という． F a U 【接空間と接写像】

B=DF] x=p1 Tp2R2 Tp1R2 P2 ua P1 ub vb va F P0 Tp0R2 ABCua = aua R2 C=DF] x=p2 A=DF] x=p0 wa wb 【周期点の接空間】 A，BおよびCの各々の固有空間ではなく，ABC, BCA, CABの固有空間である．

サドルノード：|a|<1<|b| 安定ノード：|a|<|b|<1 Im Re 安定フォーカス：s2+w2<1 【周期点の安定性分類】【質問】不安定ノードおよび不安定フォーカスの極配置を示せ．

【 第四講義 】 接空間と接写像