正負の数の加減を　　　　　日常感覚で

中学校　　数と式分科会　レポート 正負の数の加減を　　　　　日常感覚で８時間教材が　３時間で完了する　単元構成の提案 • 教科書の書き変えを願って！　　　　　　　　　　奈良市退職教員　　　　　福尾忠彦

中学校　　数と式分科会　レポート プローグ　　　新任の頃の？？４０年前　教科の専門雑誌でトランプゲームでの負数の導入方法は紹介されていました。ルールの説明だけで　生徒は十分楽しみます。　→　負数の計算の基本は会得しているはず。教科書での説明になると　生徒の顔が？？授業者の私も　？？？

中学校　　数と式分科会　レポート 先生方　どのように計算しますか？－５－（－６）＋（－９）＋２ ↓①　（　　　）をはずす ↓②　正の項を左に　負の項を右に合計する＝－５＋６－９＋２＝（６＋２）－（５＋９） ↓③　合計どうし引き算＝　８－１４　＝－６３（スリー）ステップ教科書も含め　ほぼ全ての参考書も、表現は多少違っていても　加減の最後の説明としてこの方法を示しています。　　日常の黒字･赤字の計算もこの感覚で行われています。

中学校　　数と式分科会　レポート 教科書の　加減についての指示２項の計算から始めますから加法について減法についてどちらも　東書教科書より果たして　この指示は先の計算に役立つでしょうか？型分け認定は　初心者にとって不得手で　混乱の原因。

中学校　　数と式分科会　レポート 小学校算数修了者の持っている計算技量正数のみとは言え　　加減乗除　　（　　）　｛　　｝　なども含む多項式の計算練習をしています。 • 扱っていない　計算は２－５＝　　のように答えがマイナスになるパターンのみつまりこのパターンのみを新たに学習･練習する単元構成で十分かつスッキリします。

中学校　　数と式分科会　レポート 発想の転換 ▷　４項（トランプ４枚分の計算）を暗算で出来る生徒たちに　　　何故　２項計算に無理矢理戻らせるのか？ ▷　２項計算から始めれば　　どうしても場合による型分けが必要になる。　　⇨　説明が煩雑になる。　　⇨　型分けの認定は　初心者には苦手 ⇨ 混乱の原因 ▷　それなら　　同一手順で全て処理出来る４項計算で一般化した後に　　２項計算へ移行すればよいであろう。

中学校　　数と式分科会　レポート 以上の説明で　このレポートの要点の全てを分かって頂けると思いますが、私が実際に進めていた授業の流れを基に　新たな単元構想を提案させてもらいます。トランプゲームの流れから発想した方法ですが、トランプを利用しない方にも使える展開に一般化しました。

中学校　　数と式分科会　レポート 授業の流れ　概略 ①　負数の導入にあたり、負数の使用例や必要性を説明する。 ②　各種の方法で負数を含む加減に実感的に慣れる。 ③　負数を足すこと　負数を引くことの意味を十分実感させる。 ④　小学校算数を基に４項計算を一般形として　→　２項計算　へと進む。 ⑤　多項式計算･２項計算　　（　　　）のある式も含め　全てを同一手順　３ステップのみで処理する。各種の方法とは　・トランプゲームでの札のやり取り　　　　　　　　　　・数直線での　左右への進み方（教科書の説明方法）　　　　　　　　　　・現金や借金のやり取り

中学校　　数と式分科会　レポート 指導の流れ　（時間配分） ①　負数の意味や導入の必要性の説明　　　 ②　３－５＝－２　などの練習　　　　　　･･･①と②で　１時間 ③　（トランプゲームでの得点表記入）　　･･･③で　　　１時間 ④　負数を加減することの意味 ⑤（　）のはずし方の練習 ⑥　４項の加減　　　　　　　　　　　　　･･･④⑤⑥で　２時間　　　（ここで、いろんな型を出題）４項計算の延長で２項計算へ移行します。 ↑ここまでは独自教材　（４時間） ↓ここからは教科書に沿った教材 ⑦　教科書の説明と、この説明を対応させる ⑧　教科書の問題を演習する　　　　　　　･･･⑦⑧で　１～２時間注、　トランプゲームをしない方は　③を省略します。

中学校　　数と式分科会　レポート 次に・実際の授業の流れを示します。・生徒に問いかける文体と　教材の意図の説明文体が混在しますが適当に読み分けてください。

中学校　数と式分科会　レポート １、小学校算数の復習項の多い計算　　　　　　　　　いろんな方法がありますが話の展開として　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次のように復習します。 • ７－５＋３－１ ↓①　足し算を左に　引き算を右にまとめる =（７＋３）－（５＋１） ↓②合計どうしを引き算 =　１０－６　＝　４

中学校　数と式分科会　レポート • ２、負数の導入さて、買い物で　お釣りの計算を見ていきましょう。例えば　所持金４万円での買い物で　買う金額を増やしていきます。 ⇨　　－１ • ４－１＝３　　　　　　４－５＝？ • ４－２＝２　　　　　　４－６＝？ • ４－３＝１　　　　　　　　・ • ４－４＝０　　　　　　　　・ • 　　　　　　　　　　　　　・ ⇨　　－２　 • 小さい子なら家へお金をとりに返るであろうが、 • 君たち中学生や大人で　よく知っている店ならば、 • 借金（つけ払い）して後日に払うであろう。 • 　　　借金をマイナスで表せれば上の答えはこれは　教え込まなくても、発問に対して生徒は自然に解答します。これをマイナスの数と定義し、全ての引き算が完結することを理解させます。

中学校　数と式分科会　レポート 授業内容に合わせその都度に配布演習させるプリントです。　ノートに貼らせます。 • このようなプリントを • No、０～No７まで用意します。　 • 授業に沿って　練習・演習させます。

中学校　数と式分科会　レポート • ３、負数の必要性使用例 ①　全ての引き算に答えを用意する。　（先ほどの説明） ②正反対のもの、　電気　現金と借金　など ③基準からのズレが反対のもの、温度　標高　位置表示　など各項の例は生徒に発問して引き出しますが、現金と借金については意外と出てこないので　その場合は、授業者から提案して付け加えます。

中学校　数と式分科会　レポート • ４、負数を加減する意味の理解 • 　　　　　　（　）はずしの練習　５＋（－２）＝５－２　５－（－２）＝５＋２　　などの説明は ①　数直線での　右へ進む　左へ進むの方法。　（教科書の説明） ②　トランプカードでの説明。 ③　現金や借金のやりとり。　　など　　　　何種類かありますが、授業者の好みで良いでしょう。

中学校　　数と式分科会　レポート この小論ではトランプでの説明を取り上げます。負数の加減の意味と　　（　　）はずし負数の加法 • （＋４）に（＋２）を加える＋２式表現（＋４）＋（＋２）　　　　不要な（　　　）をはずす＝　４　＋２　＝６＋４ • （＋５）に（－３）を加える式表現（＋５）＋（－３）　　　　不要な（　　　）をはずす＝　５　－３　＝２＋５－３ [　ゲームでの札のやり取りで　] ・赤札が増える　→　「ちぇっ、、」と思う　→　点合計へる　→　ひき算つまり「マイナスを足し算することは　引き算になる」ことを確認する。

中学校　　数と式分科会　レポート 負数の減法 • 式表現 • （＋６）－（＋４）　　　　不要な（　　　）をはずす • ＝　６－４＝２＋２＋４合計６残り　２ • 式表現 • 　（＋３）－（－２）　　　　不要な（　　　）をはずす • ＝　３＋２　＝５＋５－２合計３残り　５ [　ゲームでの札のやり取りで　] 　　　・赤札が減る　→　「やった～、、」と思う　→　点合計増える　→　たし算つまり　　　「マイナスを引き算することは　足し算になる」ことを確認する。

中学校　　数と式分科会　レポート さらにまとめて結果のまとめ５＋（＋２）＝５＋２　＝　７５＋（－２）＝５－２　＝３　５－（＋２）＝５－２　＝　３５－（－２）＝５＋２　＝７（　　）のはずし方同符号　　→　　＋異符号　　→　　－ ⇨ この（　　）はずしの結果を　計算の最初に適応します。

中学校　　数と式分科会　レポート 最初に示した式です • －５－（－６）＋（－９）＋２ • ↓①　（　　　）をはずす • ＝－５＋６－９＋２ • ↓②　正の項を左に　負の項を右に合計する • ＝（６＋２）－（５＋９） • ↓③合計どうしの引き算 • ＝８－１４＝－６ • ３（スリー）ステップ

中学校　　数と式分科会　レポート • 次からは • 　　１、　４項計算から　→　２項へと　例題の提示 • 　　２、　全て　３ステップ法の同一手順で行える • 　　　　　　　　　　　　　　この２つを具体例で見て行きます。もう　お気づきですね、　用語の絶対値　項の数　各項の正負　　正負の絶対値の大小などが、　各段階の説明で不要なことがお分かりと思います。

中学校　　数と式分科会　レポート つまり、全て　３ステップで可能なことを説明します。・この場の先生方については　　型分けの提示ではなく　　　どんな場合でも３ステップで可能なことの説明です。・生徒については、　たとえ単純な指示でも　　自分勝手に変更解釈するのでなく、　どんな場合も指示通りに計算する練習。

中学校　　数と式分科会　レポート　　　　　　　　　　　　中学校　　数と式分科会　レポート　　　　　　　　　　　　トランプゲームをしない方は　この項は不要です。（１）トランプの並び図と式の対応　　　　　カードの得点計算の確認です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　生徒の暗算は　加法のみ。このカードの並び図を式で表示しますと　　（＋５）＋（－３）＋（＋４）＋（－２） • ↓①（　）をはずす • ＝５－３＋４－２ • 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓②正負それぞれの合計 • ＝（５＋４）－（３＋２） • 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓③合計どうしの引き算 • 正の合計左　負の合計を右に書く３ステップ • ＝　９　－　５＝　４

中学校　　数と式分科会　レポート （２）引き算も混じった型　型の特徴は口頭説明程度で、板書は式を例示するのみにする。（＋５）－（＋２）＋（－３）－（－４）場面の説明は特に必要ないですが、もしするならば「最初の４枚分合計が＋５→　　　　　　　　次に　黒２を取られる→赤３を取ってくる→赤４を取られる。」と口頭説明する。（トランプを使わない方は別の説明を考えて下さい。）板書は　（＋５）－（＋２）＋（－３）－（－４） ↓ ① （　　）をはずす＝５－２－３＋４ ↓ ②正負それぞれを合計＝（５＋４）－（２＋３）　　（正は左　負は右） ↓③合計どうしを引き算＝９－５＝４３ステップ

中学校　　数と式分科会　レポート この会場にはプリントは用意していません。後述のメールアドレスまで連絡いただければ、配信させてもらいます。以後　この説明ではプリントの表示は省略します。

中学校　　数と式分科会　レポート （３）　（　　）はずし後　正負２項ずつで最左の項が負の型（－２）－（－６）－（＋３）＋（＋１） ↓①（　）をはずす　　　　　　＝－２＋６－３＋１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓②正負それぞれの合計＝（６＋１）－（２＋３）（正は左　負は右） ↓③合計どうしを引き算＝　７－５　＝　２（４）（　）はずし後　正負の項が３つと１つの型（　　）のない項も挿入（－２）－（＋６）＋３－（＋４）　　　　　 ↓①（　）をはずす＝－２－６＋３－４　　　 ↓②正負それぞれの合計＝（　３　）－（２＋６＋４）（正は左　負は右） ↓③合計どうしを引き算＝３　－　１２　＝　－９

中学校　　数と式分科会　レポート （５）　４項すべてが負の型（－３）－２－４＋（－５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓①（　）をはずす＝－３－２－４－５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓②正負それぞれの合計＝（０）－（３＋２＋４＋５）（正は左　負は右）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓③合計どうしを引き算＝０－１４　＝　－１４　　　　　　　　　　　　　　　　正項の合計は０と表記するが、３ステップは同じ。教科書の問題　（２項）を同じ３ステップ法で計算する－５－（－３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓①（　）をはずす＝－５＋３　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓②正負それぞれの合計＝（　３　）－（　５　）（正は左　負は右）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓③合計どうしを引き算＝　３－５　＝　－２

中学校　　数と式分科会　レポート －１２＋（－５）　　 ↓①（　）をはずす＝－１２－５ ↓②正負それぞれの合計＝（　０　）－（１２＋５　）（正は左　負は右） ↓③合計どうしを引き算＝　０－１７＝　－１７　板書では各段階の式をていねいに書きますが、暗算出来る者は途中の式の省略を促します。・このようにして、教科書の各セクションの問題を説明抜きでどんどん進めて行きます。式の変形　手順は３ステップ法で行いますが、教科書の例題　については、何故それを例題に取り上げているのかの型についての説明を口頭にて簡単に行う。・数直線での加減の説明を、口頭にて簡単に説明する。　加法は数直線上を右へ進む、減法は左へ進む。負数の場合は進む方向が逆になることなど、教科書の説明の意味が理解出来るようにします。

中学校　　数と式分科会　レポート まとめです。現在の教科書流説明３ステップ法 ↓①　（　　）をはずす ↓②　正負をそれぞれ合計 ↓③　合計どうしを引き算全て同一手順で　　　　　　　　　　　　　　３時間説明が単純明快　　授業の“乗り”　が良い２項計算の後　４項計算の説明　　　　　　　　　　　標準８時間説明が多く　“乗り”が悪いさて　　先生方、　どちらの手法を採用しますか？

中学校　　数と式分科会　レポート ３ステップ法の正統性１、今までは教科書流の説明とあまりに違うし、私自身　正統な方法ではないと考えていました。 • ２、現在は小中の連携・接続を重視するならば、小学校算数の延長で説明するこの３ステップ法こそが正統ではないかと思っています。つまり、教科書の書き変えを願っています。

中学校　　数と式分科会　レポート 春の　東大寺大仏池ご静聴ありがとう御座いました。

中学校　　数と式分科会　レポート 筆者ホームページ Yahoo の画面で中学校数学　正負　奈良検索メールアドレス Fukuo-2981@kcn.jp どちらもプリントに記載しています

中学校　　数と式分科会　レポート 符号と演算記号　代数和についてこの項は授業で取り上げる内容ではなく、授業者の知識として考える材料にしてもらえば幸いです。代数和に関する考察です。　例えば　　５－３＋４－１＝（＋５）＋（－３）＋（＋４）＋（－１）　　などと、いろんな加減を全て正数と負数の合計で表したうえで考えを次に進める方法があります。　そして式をこのような形にしたものを代数和と呼んでいますこれらの式の中に出てくる　＋や－　の記号の名称というか働きは同じものに対して別の名称や働きが与えられています。つまり、同じ　＋　であっても　（　　）の中の　＋　は符号、（　　）の外の　＋　は加法を示す演算記号と呼ばれている。

中学校　　数と式分科会　レポート • 演算記号と符号では意味合いが違います。　ですから　私は若い頃、違う意味合いのものに同じ記号を使うのは不都合であり、これらの事を生徒に説明する時に誤解が生じるであろうと思っていました。 • この代数和を授業で取り上げたことはありませんが、もし取り上げるならば意味合いの違うものには別の記号を使うべきだと思っていました。　 • 例えば演算記号としての＋,－　はそのままで、符号の方には ⊕⊖などと • 別の記号を用意すべしと考えていました。 • しかし、数学のテキストでそのような区別をしているものはありません。 • 最近になり、数学の記述方法は　長年の経験で　よく出来ているものだなぁと　思いあたりました。 • 符号と演算記号、別のものと言えば別のものですが、考えようによっては同じものと解釈出来なくはないと考えられます。 • 例えば　－３、のマイナスはどちらかと言えば符号であろう。　しかし、こうとも考えられます。 • 　－３＝０－３　のことである。　加法･減法では‘０’を省略しても意味は通じます。 • ですから　－３は　０－３　の０を省略したものと考えてもよいはずです。

中学校　　数と式分科会　レポート • つまり、同じ　－　の記号を片方では符号と呼び、他方を演算記号と呼んでいますが、元々は同じものと考えられます。 • 特別な説明はどのテキストにもありませんが呼び名が違うのに別々の記号を使っていないのは　このような理由が背景にあるからではないでしょうか。 • このような意味で、符号と演算記号とを別なものを使って生徒に説明することをしなかった事をよかったと思い直しています。 • [小学校算数との関連] • 　上の考え方の結果、さらなる事に思いあたりました。　 • マイナスのマイナスはプラスになるという（　　）のはずし方です。 • 　　　７－（－２）＝７＋（＋２）＝７＋２　を説明するのに、「負数を引くことは符号を変えて加法にする」と中学校数学として新たな事として説明しますが、あらたな説明方法でなく小学校算数流に説明できます。

中学校　　数と式分科会　レポート • ７－（５－２）＝７－５＋２　　の（　　）のはずし方は小学校算数で既に修得ず • 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　みです。 • 上の式の５の代わりに　０　を入れて考えてみましょう。 • ７－（０－２）＝７－０＋２　となります。　この式で不要な‘０’を省略しますと、 • ７－（－２）＝７＋２＝７＋（＋２） • 　　　　　　　　　　　　　　　　　となり、小学校算数で十分説明がつきます。 • 「符号を変えれば　加法･減法が入れ替わる」という結果は有用な結論ですから、従来通り中学校流の説明が必要であります。 • しかし　授業者としては、 • このように小学校流の説明も可能であることを心得ていれば何かの役にたつのではないでしょうか。 • 代数和の説明を授業でしたことはありませんが、以上のような • 　　考察を　つい最近に思いあたりました。

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