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Chap03. 심플렉스법 ( 개요 ). 심플렉스법 (simplex method) 은 1947 년 George B. Dantzig 가 개발한 선형계획법의 해법으로 역행렬 (inverse matrix) 을 찾는 과정에 기초를 두고 있음 . Dantzig 가 심플렉스법을 개발한 이후 여러 학자들에 의해 수정되고 보완되어 왔음
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심플렉스법 (개요) • 심플렉스법(simplex method)은 1947년 George B. Dantzig가 개발한 선형계획법의 해법으로 역행렬(inverse matrix)을 찾는 과정에 기초를 두고 있음. • Dantzig가 심플렉스법을 개발한 이후 여러 학자들에 의해 수정되고 보완되어 왔음 • 1960년대 W. J. Baumol과 1970년대 N. K. Kwak(곽노균)은 Dantzig가 개발한 연산과정에서 계산에 필요한 인자들을 줄여서 계산의 복잡성을 대폭 줄인 수정심플렉스법(modified simplex method)을 개발하였음.
Baumol과 Kwak의 수정심플렉스법은 Dantzig의 심플렉스표에 나타나는 항등행렬(identity matrix)이 의미있는 정보를 제공하지 않는 점에 착안하여 항등행렬을 생략하므로써 계산의 복잡성을 감소하였음. • Olson등의 연구결과에 의하면 여러 해법 중에서 Baumol과Kwak이 개발한 수정심플렉스법의 계산시간이 가장 짧다고 지적하고 있음.
정규식과 표준식 • 제약조건이 부등식으로 이루어진 모형을 정규식(canonical form)
잔여변수나 잉여변수를 도입하여 제약조건이 등식으로 표현된 모형을 표준식(standard form)
꼭지점과 임의의 점 비교 • 가해영역
기본가능해 • 가해영역의 꼭지점에서는 항상 0의 값을 가지는 변수의 수는 결정변수의 수와 같고, 양수 값을 가지는 변수의 수는 제약조건의 수와 같음. • 이러한 특성을 가진 가능해를 기본가능해(基本可能解; basic feasible solution) • 가해영역의 꼭지점만이 이러한 특성을 가지고 있고, 최적해는 꼭지점에서 나타나기 때문에 최적해는 기본가능해에서 나타남.
기저변수/비기저변수 • 기본가능해에서 • 양수의 값을 가지는 변수를 기저변수(基底變數; basic or nonzero variable)라 하고, • 0의 값을 가지는 변수를 비기저변수(非基底變數; nonbasic or zero variable)라고 한다.
퇴화현상 • 가해영역을 보면 • 꼭지점 O는 2개의 직선만으로 만들어진 꼭지점이 아니라 3개의 직선이 만나 형성된 꼭지점이기 때문에 • 0의 값을 가지는 변수가 3개로 결정변수의 수보다 많고, • 양수의 값을 가지는 변수의 수는 4개로 제약조건의 수보다 적다. • 이러한 현상은 선형계획법의 비정상적 현상의 하나로 퇴화현상(退化現象; degeneracy)이라고 하며, 어느 꼭지점에서나 발생할 수 있다.
심플렉스법 • 심플렉스법은 꼭지점을 이동해 가면서 최적해 여부를 판정하는 연산과정이다. • 꼭지점은 기본가능해의 속성을 가지고 있기 때문에 기저변수나 비기저변수가 되는 변수만 바뀔 뿐이지 각 꼭지점에서 기저변수나 비기저변수의 수는 항상 같다. • 따라서 한 꼭지점에서 다른 꼭지점으로 이동한다는 것은 그 꼭지점의 기저변수 중 하나와 비기저변수 중 하나를 맞바꾸어 가면서 새로운 해를 찾는 과정이라 하겠다.
<최초의 심플렉스표의 작성> • 최초의 심플렉스표(initial simplex table)란 가해영역의 꼭지점들에 대한 검토를 시작할 꼭지점을 나타낸 심플렉스표를 말한다. • 심플렉스법은 원점이 가해영역이든 아니든 원점에서 시작한다. • 심플렉스표란 표준식에서 기저변수, 비기저변수 및 상수를 구분하여 계수들만으로 만든 행렬이다. • 표준식에서 등호의 왼쪽에 기저변수를 두고 오른쪽에 상수와 비기저변수를 순서대로 나열한 후 계수들만으로 행렬을 만든다.
표준식 등호의 왼쪽에 기저변수를 두고 오른쪽에 상수와 비기저변수를 배열
<추축열의 선정> • 추축열을 선정한다는 것은 현재의 심플렉스표의 비기저변수 중에서 다음단계의 심플렉스표에서 기저변수가 될 변수를 찾는 것이다. • 0의 값을 갖는 비기저변수에서 양수의 값을 가지는 기저변수로 변함에 따라 목적함수 값이 증가하여야 하므로, 심플렉스표의 비기저변수 바로 밑에 있는 양수의 기여계수 중에서 가장 큰 값을 가진 열이 추축열(pivot column)이 된다. • 양수의 값을 가진 기여계수를 선정한다는 것은 목적함수 값을 증가 시켜야 함을 뜻하며, 가장 큰 값을 선정한다는 것은 목적함수 값을 가장 많이 증가시켜야 한다는 것을 의미한다.
<추축행의 선정> • 추축행(pivot row)의 선정은 현재의 심플렉스표의 기저변수 중에서 다음 단계의 심플렉스표에서 비기저변수가 될 변수를 선정하는 것이다. • 추축열에서 음수의 기술계수만이 추축행이 될 수 있다. • 추축열에 있는 음수의 기술계수들을 각각 같은 행에 있는 상수에서 나눈 몫의 절대값 중에서 가장 작은 값을 가진 행이 추축행이 된다. • 음수의 기술계수만을 추축행의 대상으로 하는 이유는 기술계수는 단위당 자원의 소요량을 의미하고, 목적함수의 증가에 따라 가용자원은 감소하기 때문이다. • 몫의 절대값은 주어진 자원량으로 변수가 취할 수 있는 최대값을 의미한다.
이 중에서 최소값을 택하는 이유는 모든 제약조건을 동시에 충족해야하는 선형계획법의 요구조건 때문이다. • 가장 작은 값을 택하지 않으면 기저변수 값이 음수로 나타나 비음조건에 저촉되게 된다. • 추축열과 추축행이 만나는 기술계수를 추축원소(pivot element)라고 한다.
<다음 심플렉스표의 구조결정> • 다음 단계의 심플렉스표의 구조는 목적함수와 상수를 구분하기 위해 표를 4부분으로 나누고 추축열과 추축행에 있는 비기저변수와 기저변수를 맞바꾸어 놓고 다른 변수들은 그대로 둔다.
<다음 심플렉스표의 원소계산> • 다음 단계의 심플렉스표에 현 단계의 추축원소와 같은 위치에 들어갈 원소의 값은 추축원소의 역수(= 1 / 추축원소)이다. • 현 단계의 추축행과 같은 위치에 들어갈 다음 단계 심플렉스표의 원소값은 추축행의 원소를 추축원소로 나눈 몫의 부호를 바꾼 것이다. • 현 단계의 추축열과 같은 위치에 들어갈 다음 단계 심플렉스표의 원소값은 추축열의 원소를 추축원소로 나눈 몫이다.
현 단계의 추축열이나 추축행의 위치에 있지 않는 원소들의 다음 단계 심플렉스표에서의 값은 다음의 Gauss-Jordan공식에 따른다. • 새 원소의 값 = 현재의 원소의 값 - {(대각 모서리의 두 원소 값의 곱) 추축원소}
<최초의 심플렉스표의 작성> • 최초의 심플렉스표를 작성하는 방법은 최대화문제와 마찬가지로 아래와 같이 부등호의 작은 쪽에 잉여변수를 더하여 표준식으로 만들고 결정변수를 비기저변수로하는 행렬을 만든다.
최소화문제의 최초의 심플렉스표를 보면 s1, s2, s3의 값이 음수로서 표준식의 비음조건을 충족하지 못하고 있다. • 이는 원점이 가해영역의 밖에 있음을 의미한다. • 수정심플렉스법은 가해영역에서 시작하여 최적해에 도달하는 최대화문제와는 달리 최소화문제는 가해영역 밖에서 시작하여 가해영역으로 접근하면서 최적해에 도달한다. • 이러한 해법은 Dantzig가 정의한 심플렉스법에 부합하지는 않지만 본 장의 뒤에서 설명하는 쌍대이론을 응용한 방법이므로 쌍대접근법(雙對接近法; dual approach)이라고 한다.
<추축행의 선정> • 추축행의 선정이란 현재의 심플렉스표의 기저변수 중에서, 다음 단계 심플렉스표에서 비기저변수로 바뀔 변수를 찾는 것이다. • 기저변수들의 상수열에서 음수 중에서 가장 작은 수(절대값으로는 가장 큰 수)를 추축행으로 선정한다. • 이는 가해영역 밖에서 가장 빠르게 가해영역으로 접근하기 위한 것이다.
<추축열의 선정> • 추축열의 선정은 현 심플렉스표의 비기저변수 중에서 다음 단계 심플렉스표에서 기저변수로 바뀔 변수를 찾는 것이다. • 추축행에 있는 양수의 기술계수만을 선택하여 같은 열의 기여계수에다 나누어 가장 작은 몫을 갖는 열이 추축열이 된다. • 이는 목적함수 값이 가장 작게 증가하도록 하기 위한 것이다.
<다음 심플렉스표의 구조결정> • 최대화문제의 경우와 차이점이 없다.
<다음 심플렉스표의 원소계산> • 다음 심플렉스표의 원소를 계산하는 방법은 최대화문제와 차이점이 없다.
<최적해의 결정 및 해의 해석> • 비음조건과 제약조건의 충족은 최적해가 되기 위한 필요조건이다. 따라서 최적해가 되기 위해서는 심플렉스표의 상수열에 음수가 없어야 한다. • 또한 기저변수 아래의 기여계수에 음수가 존재하면 목적함수 값을 줄일 수 있다는 의미이므로 최적해가 될 수 없다. 그러므로 상수열의 원소 값과 기여계수가 모두 음수가 아닐 때 최적해가 된다. • 개선된 심플렉스표가 최적해의 조건을 충족하지 못하면 충족하는 심플렉스표를 찾을 때까지 추축행을 선정하는 절차부터 시작하여 심플렉스표의 개선과정을 반복하여야 한다.
