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微分方程

微分方程. 主要内容：. 1. 微分方程的定义 。 2. 微分方程的阶、解、通解和特解等定义 。 3. 可分离变量的微分方程及计算 。 4. 一阶线性微分方程及计算 。. （ 1 ）. (3). 一、 微分方程的定义. 微分方程的定义. 1. 引例. 例 1 已知曲线过点 (1,2) ，且曲线上任一点 P( x , y ) 处切线的斜率为该点横坐标的平方，求该曲线的方程。. 解：. 设所求曲线方程为 y = f ( x ). 则根据导数几何意义有：. 曲线过定点 (1,2) ，.

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  1. 微分方程

  2. 主要内容： • 1.微分方程的定义。 • 2.微分方程的阶、解、通解和特解等定义。 • 3.可分离变量的微分方程及计算。 • 4.一阶线性微分方程及计算。

  3. （1） (3) 一、微分方程的定义 微分方程的定义 1.引例 例1 已知曲线过点(1,2)，且曲线上任一点P(x,y)处切线的斜率为该点横坐标的平方，求该曲线的方程。 解： 设所求曲线方程为y = f (x) 则根据导数几何意义有： 曲线过定点(1,2)， 故 y|x = 1 = 2 (或写成 y (1) = 2 ) (2) 对(1)式两边积分得： 将(2)式代入(3)式得: 于是所求曲线方程为：

  4. 2.微分方程定义 此类问题在工程和科学研究中经常遇到。 引例中方程(1)就是一个含有导数的方程， 为此我们给出定义： 凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间关系的方程称为微分方程。 定义1 如引例中的方程(1)就是微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程, 常微分方程： 简称微分方程。 如方程(1)。 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程 。 偏微分方程： 我们只学习常微分方程的一些初步知识。

  5. 二、微分方程的阶、解、通解和特解 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 阶： 如方程(1)是一阶的。 则称此函数为该微分方程的解。 如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等， 解： 如函数(3)是微分方程(1)的解。 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 。 通解： 如果微分方程的解含有任意常数， 如函数(3)是方程(1)的通解。 这样的解称为通解。 如(2)式是方程(1)的初始条件。 初始条件： 用来确定任意常数的条件称为初始条件。 确定了微分方程通解中的任意常数之后所得到的解称为特解。 特解： 如函数(4)是方程(1)的特解。

  6. 或 或 其中　　　　为已知数。 微分方程初始条件的一般形式: 一阶微分方程初始条件为： 二阶微分方程初始条件为：

  7. 例2验证：函数 是微分方程 的通解。 所以 是原方程解。 解： 对函数求导得 代入方程得： 故所给函数是原方程的通解。 又解中含有两个任意常数，

  8. 例3　 验证函数y = C1coskx + C2sinkx是微分方程　　　　　 的通解，并求满足初始条件　　　　　　　 的特解 ，其中C1,C2,k为任意常数，且非负。 故函数 是方程 的解 解： 代入原方程得： 又解中含有两个独立的任意常数， 故它又是通解。 代入初始条件易得： 故所求特解为：

  9. 如一阶微分方程可写成 (1)分离变量 (2)两边积分 二、可分离变量的微分方程 1.定义 则称此方程为可分离变量的微分方程。 2.可分离变量的微分方程求解步骤： (3)求通解 G(y) = F(x) + C (4)依初始条件求特解。

  10. 两边积分 求通解 即 例1 求微分方程 xdx + ydy = 0的通解。 解： 分离变量得 ydy = - xdx 故所求通解为

  11. 例2.求微分方程 的通解。 两边积分 即 从而有 于是 其中 用到了公式 ， 解： 分离变量得 故所求通解为： 本例在求解过程中， 只须记住最后得到的任意常数C可正可负即可。 今后为方便， 可将公式中的 ln|u|改为 lnu，

  12. 例3 求微分方程 2x sinydx + (x2 + 3)cosydy = 0满足初始条件 的特解。 即 解： 分离变量 两边积分 故所求通解为： 代入初始条件得 即C = 2 故所求特解为：

  13. 例4 设某养猪场现有猪1000头，如果瞬时猪的头数的变化率与当时猪的头数成正比，若10年内该养猪场猪的数量达到2000只，试确定该养猪场猪的头数y与时间 t 的函数关系。 解得 C = 1000, k = 解： 由题意得 解此微分方程得 代入初始条件 y|t = 0 =1000, y|t = 10 = 2000 故所求函数为：

  14. 如果Q(x) ≠0， 则方程变成 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程一般形式为 Q(x)称为自由项。 其中P(x)，Q(x)为某区间上的连续函数， 方程式中关于未知函数及未知函数的导数是一次式，且彼此无乘积项 。 一阶线性微分方程 的特点： 则称方程(1) 为一阶线性非齐次微分方程 ， 称 Q(x)为非齐次项。 如果Q(x)≡0， 则称方程(2)为方程(1)对应的一阶线性齐次微分方程 。

  15. 其中C为任意常数， 不再含任意常数。 1.一阶线性齐次微分方程 方程(2)是可分离变量的微分方程， 分离变量得 两边积分得 化简后得线性齐次方程(2)的通解为：

  16. 例1 求方程 满足初始条件 的特解。 解： 于是得方程通解 代入初始条件得 C = 2 故所求特解为：

  17. 2.一阶线性非齐次方程 (1)一般形式： (2)特点： 比一阶齐次方程右边多一自由项Q(x)。 (3)求解： 由方程特点，可设一阶线性非齐次方程的通解为： 求导得： 将它们代入原方程得： 积分得： 代入得原方程通解为：

  18. 一阶线性非齐次方程的通解 ： 也可写成： 一阶线性非齐次方程的通解由两部分组成， 由此可看出： 而y*是一阶线性齐次方程的一个特解。 其中Y是一阶线性齐次方程的通解， 这种通过把对应的线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数， 然后求出线性非齐次方程的通解的方法称为常数变易法。

  19. 例2求方程 的通解。 因为 解： 用公式法， 代入公式 故有 故原方程通解为：

  20. 例3 求方程 的通解。 解： 对x而言它不是线性方程式， 所给方程式含y2， 但可将方程改写成 对函数x = x(y)它是一阶线性微分方程。 对照标准形式， 有 代入求解公式解得： 即为所求通解。

  21. 则水的冷却速率为 例4 牛顿冷却定律告诉我们，物体冷却速率与当时物体和周围介质的温差成正比。设有一瓶热水，水温原来是100℃ ，空气的温度是20℃，经过20小时后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律。 解： 设瓶内水温与时间的关系是Q =Q(t) 依题意有 解方程得 将初始条件Q|t = 0 = 100代入得 于是所求规律为：

  22. 小结： • 1.微分方程的定义。 • 2.微分方程的阶、解、通解和特解等定义。 • 3.可分离变量的微分方程及计算。 • 4.一阶线性微分方程及计算 作业： 教材P90 NO 1，2，3

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