TP3: Fonctions réelles d’une variable réelle

1. TP3: Fonctions réelles d’une variable réelle

2. Rappels théoriques • Logarithmes

3. Rappels théoriques • Résolution d’une équation logarithmique du style : • Isoler le terme en n • Prendre le logarithme de chaque membre • Isoler n

4. Exercices du syllabus • 23Tracer le graphe de f(x), donner son image, les valeurs pour lesquelles la fonction est discontinue, sa parité • Reecriture de la fonction • f paire

5. Exercices du syllabus • f continue pour tout x • f(273,8) =>273<x<274 : k=137 • F(273,8)=-273,8+2.137 • = 0,2 • f(-371,4) =>-372<x<-371 : k=-165 • F(-371,4)=-371,4+2.-165 • = 0,6

6. B. Exercices du syllabus • Q26 a):si f et g sont paires, f+g et fg sont-elles des fonctions paires? • f(-x)=f(x) • g(-x)=g(x) • (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(x) • Somme de deux fonctions paires est paire • (f.g)(-x)=f(-x).g(-x)=(f.g)(x) • Produit de deux fonctions paires est pair

7. Exercices du syllabus • 26d1 • f est de periode T1 et g est de periodeT2 • Période en commun enT1=mT2 • (f+g)(x+nT1)= f(x+nT1)+g(x+nT1)= f(x+nT1)+g(x+mT2)=(f+g)(x) • (f.g)(x+nT1)= f(x+nT1).g(x+nT1)= f(x+nT1).g(x+mT2)=(f.g)(x)

8. B. Exercices du syllabus • 29. périodique? • 1) 1-sin3x • Périodique • Période • 3) |cos4x| • Périodique • période= • 5)x sin3x • Non périodique

9. B. Exercices du syllabus • 33 • Période = 8

10. Exercices du syllabus • 30 c • 2)

11. Exercices du syllabus • 30 c • 6)

12. belamine@ulb.ac.be,alaamoure@ulb.ac.be,sbedrici@ulb.ac.be,julien.hocquet@ulb.ac.be,benchillal_sami@hotmail.be,ilias_bouzidi@hotmail.com,royverstraeten@gmail.com,magrandm@ulb.ac.be,morgane.cloesen@ulb.ac.be,jeremy.fichaux@live.be,evarisan@ulb.ac.be,sara.jamali@ulb.ac.be,sirin.gunes@ulb.ac.be,david.chan@ulb.ac.be,rmactell@ulb.ac.be,manon.springal@ulb.ac.be,alexandrine.pimont@orange.fr,lauriane_guyard@yahoo.fr,mpays@ulb.ac.be,mbiaggi@ulb.ac.be,mlefranc@ulb.ac.be,caroline.dejace@gmail.com,boutaima_hlt@hotmail.com,myriem.bounaim@ulb.ac.be,barbara.ditvaiava@ulb.ac.be,avulare@uv.ac.be,rizlaneelhadji@hotmail.fr,tamarabresinski@hotmail.fr,julieep6488@hotmail.com,shery.g1988@gmail.com,manon.wauters@hotmail.com,zarema1966@hotmail.com,salwa-x3@hotmail.com,bachar@hotmail.be,eli_mathijs@hotmail.com,asm_29_3@hotmail.com,tcetik@ulb.ac.be,charlottebibaut@orange.fr,emil-94@hotmail.fr,petite.fat@hotmail.be,ines_128@hotmail.com,amel_2413@hotmail.frbelamine@ulb.ac.be,alaamoure@ulb.ac.be,sbedrici@ulb.ac.be,julien.hocquet@ulb.ac.be,benchillal_sami@hotmail.be,ilias_bouzidi@hotmail.com,royverstraeten@gmail.com,magrandm@ulb.ac.be,morgane.cloesen@ulb.ac.be,jeremy.fichaux@live.be,evarisan@ulb.ac.be,sara.jamali@ulb.ac.be,sirin.gunes@ulb.ac.be,david.chan@ulb.ac.be,rmactell@ulb.ac.be,manon.springal@ulb.ac.be,alexandrine.pimont@orange.fr,lauriane_guyard@yahoo.fr,mpays@ulb.ac.be,mbiaggi@ulb.ac.be,mlefranc@ulb.ac.be,caroline.dejace@gmail.com,boutaima_hlt@hotmail.com,myriem.bounaim@ulb.ac.be,barbara.ditvaiava@ulb.ac.be,avulare@uv.ac.be,rizlaneelhadji@hotmail.fr,tamarabresinski@hotmail.fr,julieep6488@hotmail.com,shery.g1988@gmail.com,manon.wauters@hotmail.com,zarema1966@hotmail.com,salwa-x3@hotmail.com,bachar@hotmail.be,eli_mathijs@hotmail.com,asm_29_3@hotmail.com,tcetik@ulb.ac.be,charlottebibaut@orange.fr,emil-94@hotmail.fr,petite.fat@hotmail.be,ines_128@hotmail.com,amel_2413@hotmail.fr B. Exercices du syllabus

13. B. Exercices du syllabus • Q42: • c) • d) • e)

14. B. Exercices du syllabus • Q43 • e)

15. B. Exercices du syllabus • Q44: résoudre les (in)équations (on suppose toujours que les conditions d’existence sont satisfaites) • b) • g)

16. B. Exercices du syllabus • i)

17. B. Exercices du syllabus • 47a. Résoudre

18. B. Exercices du syllabus • x=1/4 •  y=400 • x=1 • y=100

19. B. Exercices du syllabus • 51. Discuter les valeurs de c dans y=ln(x²+c) • c=1 : y=ln(x²+1) • 0<c<1:

20. B. Exercices du syllabus • Q52 : Tracer ln(f), ln|f| et ln²f

21. B. Exercices du syllabus • Q52 : ln(f(x))

22. B. Exercices du syllabus • Q52 : ln|f(x)|

23. B. Exercices du syllabus • Q53:1er janvier 1979 , une ville a 3000 habitants, la population diminue de 4% par an, quel est le nombre d’habitants au premier janvier de l’année 1979+n? • f(n)=3000(1-4%)n

24. B. Exercices du syllabus • Q55:introduction de bactéries, N0=2.103 bactéries, Tg=45min, Quel est le nombre de bactéries après 9h? Quelle est la formule générale en fonction du temps? • Formule générale

25. B. Un petit test • Q1:Combien vaut 1/12 * 1/12? • C • 1/(12*12)=1/144 • Q2:89e chiffre après la virgule de 1/11? • A • 0,09090909… •  position impaire=0, position paire=9

26. B. Un petit test • Q3: Est-ce que ? Doit-on savoir (1): et/ou (2): • A: l’affirmation 1 seule suffit

27. B. Un petit test • Q4: Que vaut le reste de la division de 715+3 par 15? • B • Terminaisons des puissances de 7 • 715 fini par 3  +3 = 6 • Reste de 6 divisé par 5=1

28. B. Un petit test • Q5: Si , que vaut m? • C

29. B. Un petit test • Q6:Le polynôme ax² + bx + c = 0 admet-il deux solutions distinctes ? • (1) a = 1 et b < 0. (2) a = 1 et c < 0. • B: affirmation 2 suffit mais 1 ne suffit pas • 2 racines distinctes D strictement positif

30. B. Un petit test • Q7: Cherchez l’intru : • A. e³ sin x B. 1 + 2 sin 3x C. x + sin 3x D.2 + sin² 3x E. x - └x┘ • C • C’est la seule fonction qui n’est pas périodique • Ou E car c’est la seule fonction qui n’est pas dérivable sur R