Trysekcja przybliżona Steinhausa – 1/3

1. Trysekcja przybliżona Steinhausa – 1/3 k1. Dany jest kąt AOB o mierze równej 2t. k2. Przyjmijmy, że wyznaczają go punkty A i B odległe od O o 1. k3. Na dwusiecznej kata AOB zaznaczamy punkt C odległy od O o 1. k4. Łączymy ze sobą punkty B i C. Wykonanie podziału metodą Steinhausa – cz.1 k5. Powstaje trójkąt OCB, w którym kąt przy wierzchołku O jest równy t. k6. Każdy z pozostałych kątów tego trójkąta równoramiennego jest równy  = 90º–t/2. k7. Na mocy wzoru kosinusów zastosowanego w trójkącie OCB: |BC|2 = |OB|2+|OC|2–2|OB|·|OC|·cost = 1+1–2cost = 2{1–cost} = 2·2sin2(t/2).

2. Trysekcja przybliżona Steinhausa – 2/3 k8. Odcinek BC dzielę – punktem D – w proporcji 2:1, tj. tak że |BD|=2/3·|BC|. A ponieważ |BC|=2sin(t/2), więc |BD|=4/3·sin(t/2) k9. Wprowadźmy układ Oxy współrzędnych prostokątnych tak jak na rysunku. k10. B = (cost, sint) i C = (1,0), więc D = 2/3C+B/3 = ( 2+cost), sint )/3. Wykonanie podziału metodą Steinhausa – cz.2 k11. Zatem odległość punktu D od O wynosi | OD|= . k12. Łącząc punkt D z O otrzymujemy trójkąt ODB. W tym trójkącie kąt przy O oznaczamy przez  i ze wzoru sinusów mamy sin=

3. Trysekcja przybliżona Steinhausa – 3/3 Uzasadnienie konstrukcji Steinhausa Hugo Dyonizy Steinhaus (1887-1972),profesor uniwersytetów we Lwowie (1920-41) i Wrocławiu (1945-61) oraz University of Notre Dame (USA, 1961-62) i University of Sussex (1966). Autor 170 prac z analizy matematycznej, teorii prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej i jej zastosowań. Mawiał, iż jego największym odkryciem był Stefan Banach (1892-1945). Wraz z nim założył, w r.1929, czasopismo Studia Mathematica. Obaj są przedstawicielami tzw. lwowskiej szkoły matematycznej, jej inni wybitni członkowie to Stefan Kaczmarz, Stanisław Mazur, Władysław Orlicz, Juliusz Schauder i Stanisław Ulam. Wykresy funkcji: y(t)=sin(3/2·t) i jej przybliżenia taylorowego y(t)=4/3645· t5-4/81·t3+2/3·t, oraz funkcji y(t)=2sin(t)/{5+4cos(t)}1/2 i jej przybliżenia taylorowego y(t)=t5/1620-t3/27+2/3·t. Jak widać, dla t</2 konstrukcja Steinhausa wyznacza sinus kąta 2t/3 z wielką dokładnością. A więc i kąt 2t/3 jest też wyznaczony z dużą dokładnością.