统计物理学与复杂系统

统计物理学与复杂系统 陈晓松中国科学院理论物理研究所兰州大学,2013年8月

报告内容 • 统计物理学简介 • 相变与临界现象简介 • 复杂系统研究的几个例子

物理学研究的对象:

物理学研究的两个角度: • 还原论: 探索物质的深层次结构及相互作用分子,原子,质子,中子,夸克…. • 统计物理学: 由大量个体组成统的集体规律超越个体特性，呈现合作、有序、聚集等行为

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●经典系统：气体、液体、固体 ●量子系统：金属和半导体中的电子、光子、声子等新物态：超导、超流、玻色凝聚、拓扑量子序人工量子结构：相干量子器件、量子计算、量子器件 ●复杂系统：生物、生态系统、网络系统、社会系统等趋势：有限系统、非平衡态、复杂系统统计物理: 绚丽多姿的世界--我们身边的科学

统计物理学: • Statistical physics is the branch of physics that uses methods of probability theory and statistics, and particularly the mathematical tools for dealing with large populations and approximations, in solving physical problems. It can describe a wide variety of fields with an inherently stochastic nature. Its applications include many problems in the fields of physics, biology, chemistry, neurology, and even some social sciences, such as sociology. Its main purpose is to clarify the properties of matter in aggregate, in terms of physical laws governing atomic motion.[1]

几种聚集系统 • 聚集体 • 是相互作用多组元的复杂体系 • 具有超越个体行为的整体特征：合作、聚集玻色爱因斯坦凝聚纳米微观结构冰花

社会系统的物理学 起源：T. Hobbes（1588-1679），W. Petty，P.S.Laplace 对Maxwell、Boltzmann等建立统计物理学产生了启发作用

社会物理学的综述文章 • Reviews of Modern Physics, 81,591(2009) “Statistical physics of social dynamics” 综述了：观点、文化、语言、集体行为、阶层形成等的动力学总的点评：当前比较缺乏实证研究 • Reviews of Modern Physics,81,1703(2009) “Statistical mechanics of money,wealth, and income”

统计物理的计算: 配分函数: 状态q的几率:

个体的运动完全随机、无规 个体之间存在相互作用如何描述这样的统计系统？简单系统的统计物理

系统的粒子总数为 N和体积为 V,温度为 T 个体无规运动（微观）  压强 P（宏观）理想气体（点粒子、无相互作用）状态方程 P V = NKBT 宏观量及状态方程

van der Waals 状态方程： 1873年van der Waals的博士论文1910年获诺贝尔物理学奖 ( P + aN2/V2 )( V - bN) = N KB T 粒子尺寸（微观） bN（宏观）粒子间相互作用（微观） aN2/V2 （宏观）

气-液相变图:

温度 T  TC 气体  液体密度跳跃变化  一级相变温度 T = TC 临界现象 响应函数：   ，无限大 “牵一发动全局” 气体  液体密度连续变化  连续相变 Van der Waals方程的气-液相变

气体  液体，过冷气体（亚稳态） 液体  气体，过热液体（亚稳态）亚稳态“1”：局域稳定整体不稳定扰动可导致相变一级相变中的亚稳态

 社会变革、经济危机、股市崩溃等 共同语言和文化的自发产生、议题共识形成等共同特征：微小、偶发事件可导致突变使突变不可避免诱发原因及突变时间偶然发生时“牵一发动全局” 社会系统的相变与临界现象特征

临界现象的标度性： • 通过引入约化量 • 获得状态方程的标度形式 • 不同数据落在同一条线上

相变与临界现象：

4He的相图：

相变与临界现象研究的三个里程碑： Van der Waals 理论（平均场理论） Onsager 二维 Ising 模型的精确解 • 临界现象的重正化群理论 • 说明：普适性，标度性

临界现象重正化群理论的巨大成功： 比热： C = A |T - T|- 太空实验：  = - 0.01060.0004 (Lipa et al.) A/ A = 1.0440.001 理论：  = - 0.0110.004 A/ A = 1.0460.002

还在继续发展： Critical phenomena in microgravity: Past, present, and future Rev. Mod. Phys：79, 2007 It is importantto note that this simple property oftwo-scale-factor universality is valid for isotropic systems like fluids but not for anisotropicsystems with noncubic symmetry ( Chen and Dohm, 2004)

临界现象的基本特性

关联长度趋于无穷大为物理根源

自由能密度： f(t,h) = fs (t,h) + fns (t) fs ：由涨落引起，非解析函数 fns ：解析函数  标度性： fs(t,h) = A1 t dW ( A2h t -bd ) 临界现象的标度性和普适性 x = x0 |t|-n Correlation length:

临界现象的普适性 临界指数 , b,, ... 和标度函数 W 不依赖于：

 解释和证实了标度性和普适性  RG概念在统计物理、凝聚态物理、粒子物理、湍流… 都具重要性  尽可能精确地检验标度性和普适性具有非常广泛的重要性重正化群理论(K.G. Wilson, 1971)

普适 finite-size scaling: (Privman+Fisher,1984) fs(t,h,L) = L-d Y(c1tL1/, c2hLbd/n) L: 系统的特征长度 Y: 普适, 依赖于系统的几何形状和边界条件只存在两个非普适参数c1和 c2 有限系统的标度性和普适性

 格点模型（Ising, XY, Heisenberg 等）  场论模型： Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) 场论模型临界现象的理论研究

统计物理学 与复杂系统