El número Π

1. El número Π ¿Qué es el número Π? Fórmulas que contienen el número Π Problema de la cuadratura del círculo Aplicaciones del número Π

2. ¿Qué es el número Π? π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente: π≈3,14159265358979323846…

3. Fórmulas que contienen el número Π En geometría • Longitud de la circunferencia L = 2 π r Áreas: • Área del círculo de radio r A = π r² • Área de la elipse con semiejes a y b A = π ab Ecuaciones expresadas en radianes • Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

4. Fórmulas que contienen el número Π Áreas de cuerpos de revolución: • Área del cilindro A=2 π r ² + 2 π r h • Área del cono A=π r² + π r g • Área de la esfera A=4 π r²

5. Fórmulas que contienen el número Π Volúmenes de cuerpos de revolución: • Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³ • Volumen de un cilindro de radio r y altura h V = π r² h • Volumen de un cono de radio r y altura h V = π r² h / 3

6. Fórmulas que contienen el número Π En probabilidad • La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π² • Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4 • El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante) • Experimento de la Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

7. Fórmulas que contienen el número Π En Análisis Matemático Fórmula de Leibniz: Producto de Wallis:

8. Fórmulas que contienen el número Π Identidad de Euler: Euler: Fórmula de Stirling:

9. Fórmulas que contienen el número Π Área bajo la campana de Gauss Una representación de Π como suma de fracciones

10. Fórmulas que contienen el número Π Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735 Euler

11. Fórmulas que contienen el número Π Expresión de Π como desarrollo en series Fracciones con representación aproximada a Π

12. Problema de la cuadratura del círculo Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático consistente en hallar — con sólo regla y compás — un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.

13. Problema de la cuadratura del círculo Si queremos resolver el problema, por ejemplo para un círculo de radio r=1, tenemos que el área del círculo sería π·1²= π, por lo que el área del cuadrado debería ser también π, es decir, que l²= π, es decir, que entonces debe ser l =√Π

14. Problema de la cuadratura del círculo Pero π es un número trascendente, y estos números cumplen, entre otras, la propiedad de que no pueden ser calculados con sólo regla y compás. Como π es trascendente, √Π también lo es, y de ahí que este problema no pueda resolverse con sólo regla y compás

15. Aplicaciones del número Π • Pi en los deportes • Una espiral formada por semicírculos • La forma del delfín • El área del círculo perdido • Formas de cortar una pizza en tres partes iguales • Trozos tradicionales • Trozos concéntricos • Trozos de fantasía

16. Aplicaciones del número Π • Π en los deportes ¿Alguna vez se te ha pasado por la cabeza que en las carreras de atletismo el atleta que corre por la calle de dentro tiene ventaja sobre los demás atletas porque recorre menos metros? El recorrido de los atletas estándar es de 400 metros y la anchura de cada calle es de 1,25 metros, y el recorrido se compone de dos tramos rectos y dos semicirculares.

17. Aplicaciones del número Π Calle 1=2·a+ 2Π(r+0,2)=2·a+2Πr+ 2Π·0,2 Calle 2=2·a+ 2Π(r+b+0,2)=2·a+2Πr+2Πb+2Π·0,2 2Πb metros de ventaja Calle 3=2·a+ 2Π(r+2b+0,2)=2·a+2Πr+4Πb+2Π·0,2 4Πb metros de ventaja Calle 4=2·a+ 2Π(r+3b+0,2)=2·a+2Πr+6Πb+2Π·0,2 6Πb metros de ventaja

18. Aplicaciones del número Π Sustituyendo los datos que teníamos de partida, a= 100 m, b=1,25 m, por lo tanto, como el recorrido ha de ser de 400 m, tenemos que 2·a+2Πr+ 2Π·0,2= 400 de donde r=(500-Π)/(5 Π)≈31,63 m Las ventajas de los demás atletas serían las siguientes: El de la Calle 2 tendrá una ventaja= 2Πb ≈7,85 m El de la Calle 3 tendrá una ventaja= 4Πb ≈15,71 m El de la Calle 4 tendrá una ventaja= 6Πb ≈23,56 m

19. Aplicaciones del número Π • Una espiral formada por semicírculos Vamos a medir la longitud de la espiral y el área de la espiral en la siguiente figura formada por semicírculos cuyos puntos M0 y Mu están a una distancia a y son, respectivamente, los centros de los semicírculos:

20. Aplicaciones del número Π

21. Aplicaciones del número Π La longitud de de la espiral es la suma de todos los b= Πa+ 2Πa+ 3Πa+ 4Πa+ 5Πa+ 6Πa+ 7Πa+ 8Πa+ 8Πa=44Πa Para comprobar que hemos hecho bien las áreas de los semianillos vamos a sumar las áreas de cada uno de ellos, con que deberíamos obtener el área del círculo grande: Πa²1/2+ 2Πa²+ 4Πa²+ 6Πa²+ 8Πa²+ 10Πa²+ 12Πa²+ 14Πa²+ Πa²15/2=64Πa²= Π(8·a)²

22. Aplicaciones del número Π • La forma del delfín Vamos a calcular el área y el perímetro de la figura que presentamos a continuación a la que llamaremos forma del delfín, donde el lado de cada cuadrado es de longitud a

23. Aplicaciones del número Π Para ello, nos ayudamos de la figura completa: El perímetro es, por lo tanto, ¼·2Πa+ ¼·2Πa+ ¼· 2Π(2·a)+ ¼· 2Π(2·a)= 3Πa

24. Aplicaciones del número Π Vamos a calcular ahora el área del “delfín”: El área del segmento coloreado para un radio r cualquiera es ¼Πr²-r²/2=(Π-2)r²/4

25. Aplicaciones del número Π Por tanto Área S1 + Área S2= (Π-2)(2·a)²/4 + (Π-2)(2·a)²/4 = 2(Π-2)a² Área S3 + Área S3= (Π-2)a²/4 + (Π-2)a²/4 = ½(Π-2)a² Por tanto, tenemos que el área del “delfín” es 2(Π-2)a² - ½(Π-2)a² = 3(Π-2)a²/2

26. Aplicaciones del número Π • El área del círculo perdido Supongamos que tenemos cuatro trozos de cuerda iguales. Con el primero formamos un círculo, el segundo lo cortamos en dos partes iguales para formar dos círculos iguales, el tercer trozo lo cortamos en tres partes iguales y formamos tres círculos, y de forma similar formaríamos cuatro círculos con el cuarto trozo

27. Aplicaciones del número Π

28. Aplicaciones del número Π Por lo tanto, concluimos a partir de la tabla que la suma de las longitudes de las circunferencias es siempre la misma, pero las áreas son más pequeñas cuantos más círculos formemos con el trozo de cuerda, ¡algo que aparentemente no esperábamos que ocurriese!

29. Aplicaciones del número Π • Formas de cortar una pizza para tres personas en partes iguales

30. Aplicaciones del número Π • Trozos tradicionales Es la forma más sencilla y más utilizada para cortar las pizzas. Basta con que cada trozo de pizza tenga el ángulo interior de 120º. Una forma sencilla de hacerlo consistiría en tomar una cuerda y colocarlo alrededor de la pizza. Después, cortamos la cuerda en tres partes iguales para tener los extremos de cada trozo de pizza

31. Aplicaciones del número Π • Círculos concéntricos El problema consiste en hallar, sabiendo el radio de la pizza r, los radios r1 y r2 de manera que las tres áreas sean iguales.

32. Aplicaciones del número Π El área del círculo interior es la más sencilla=πr1² El área del anillo BC sería πr2² - πr1² El área del anillo AC sería πr² - πr2² Igualamos las tres áreas y resolvemos el sistema de ecuaciones con lo que obtenemos que r1=r√3/3 y que r1=r√6/3

33. Aplicaciones del número Π • Trozos de fantasía Dado el radio del círculo r, buscamos hallar r1 y r2 de manera que el segmento AB quede dividido en tres partes iguales, de donde concluimos que r1=2r/3 y r2=r/3

34. Aplicaciones del número Π Vamos a calcular el área de la lágrima de abajo=ÁreaSC(M)-ÁreaSC(M1)+ÁreaSC(M2)= Πr²/2 - 2Πr²/9 + Πr²/18= Πr²/3 Por tanto, podemos trazar otra lágrima de igual área en la parte superior y la pizza nos quedaría así: