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函数的最大值和最小值

函数的最大值和最小值. 复习和引入. 1. 函数的最大值和最小值是怎样定义的？. 定义 : 一般地 , 设函数 y= f （ x ）在 x 0 处的函数值是 f （ x 0 ） , 如果不等式 f （ x ）≥ f(x 0 ) 对于定义域内任意 x 都成立 , 那么 f （ x 0 ）叫做函数 y=f （ x ）的最小值 , 记作 y 最小 =f （ x 0 ） ; 如果不等式 f （ x ）≤ f （ x 0 ）对于定义域内任意 x 都成立，那么 f （ x 0 ）叫做函数的最大值，记作 y 最大 =f （ x 0 ）。.

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Presentation Transcript

  1. 函数的最大值和最小值

  2. 复习和引入 1.函数的最大值和最小值是怎样定义的？ 定义:一般地,设函数y= f（x）在x0处的函数值是f（x0）, 如果不等式f（x）≥ f(x0)对于定义域内任意x都成立,那么f（x0）叫做函数y=f（x）的最小值,记作y最小=f（x0）;如果不等式f（x）≤ f（x0）对于定义域内任意x都成立，那么f（x0）叫做函数的最大值，记作y最大=f（x0）。

  3. 2.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大（小）值如何确定? 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),先配方,写成 y=a(x+b /2a)2+(4ac-b2)/4a,再根据a的正负,得出 所要求的最大(小)值. 若a>0,当x=-b/2a时,y最小= (4ac-b2)/4a 若a<0,当x=-b/2a时,y最大= (4ac-b2)/4a

  4. 3.求函数y=8+2x-x2的最大值或者最小值. 解:因为y=8+2x-x2=-(x-1)2+9 ≤9,所以当x=1时,y最大=9.

  5. 变式一:求函数y= √ 8+2x-x2 的最大值和最小值. 有一位同学给出这样的解法，你认为是正确的吗？ 解：设u(x)=8+2x-x2，则y=√ u，由上题知，u≤ 9。由不等式性质得，y= √u ≤ 3。因此，当x=1时，u最大=9，y最大=3。 事实上,函数的定义域为-2 ≤ x ≤ 4,0 ≤u ≤9,由不等式性质得,0 ≤√u ≤3. 因此,当x=-2,或x=4时,u最小=0,y最小=0; 当x=1时， u最大=9，y最大=3。

  6. 例1.在x ≤ 0的条件下,求函数y= √ 8+2x-x2的最大值和最小值. 解：由8+2x—x2≥0解得-2≤x≤4。得函数y=√8+2x—x2的定义域是[-2，4]。 又已知x≤0,因此需要在-2≤x≤0的条件下，求函数y=√8+2x—x2的最大值和最小值。 因为8+2x—x2=-(x-1)2+9，所以当x ≤1时，函数u(x)=8+2x-x2为增函数,从而当-2≤x≤0时,函数u(x)=8+2x- x2为增函数. 因为x=-2时,8+2x- x2=0;x=0时,8+2x- x2=8.所以 0≤8+2x-x2≤8. 利用不等式性质，得 0≤√8+2x-x2≤2√2. 即 0≤y≤2√2 因此，当x=-2时，得y最小=0；当x=0时，得y最大=2√2。

  7. 变式二:在上题中,若条件改为x＞0呢? 由函数的定义域和条件知,需要在0<x≤ 4的条件下,求函数的最大值和最小值.显然,此时函数u(x)=8+2x-x2无单调性.由图象知, 当x=4时,u最小=0,y最小=0;当x=1时,u最大=9,y最大=3.

  8. 思考与讨论:在上面的题中,结论发生改变的原因是什么?思考与讨论:在上面的题中,结论发生改变的原因是什么? 从图形上看: 函数的最大值和最小值与其定义域密切相关.

  9. 例2.求函数f(x)=2x+1-√ 7-4x的最大值. 分析:如果设t= √ 7-4x,则x=(7-t2)/4,t≥ 0. 函数f(x)=f(t)=-t2/2-t+9/2,t ≥ 0.于是问题转化为求f(t)的最大值. 答案:当x=7/4时,函数的最大值是9/2.

  10. 思考:由例1和例2,我们可以得到怎样的结论? 结论:某些函数的求最值问题可以转化为二次函数的求最值问题.在转化过程中,要注意定义域的变化 .这种解题思想在数学上叫做化归思想.

  11. 例3：一块铁皮零件，它的形状是由边长为40厘米正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF长等于12厘米，BF长等于10厘米，如图所示。现在需要截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上.请问如何截取,可以使得到的矩形面积最大?例3：一块铁皮零件，它的形状是由边长为40厘米正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF长等于12厘米，BF长等于10厘米，如图所示。现在需要截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上.请问如何截取,可以使得到的矩形面积最大?

  12. 解:在AB上取一点P,过点P作CD、DE的平行线， 得矩形PNDM。延长NP、MP分别与EF、CF 交于Q、S。 设PQ=x厘米（0≤x≤10）,那么PN=40-x。 由△APQ∽△ABF，得 AQ=1.2x，PM=EQ=EA+AQ=28+1.2x. 如果矩形PNDM的面积用y厘米2表示,那么 y=PN·PM=(40-x)(28+1.2x) (0 ≤ x ≤10) . 由配方法,得 y=-1.2(x-25／3)2+3610／3 ≤ 3610／3.

  13. 由上面的不等关系可知,当x取[0,10]内任何实数时,面积y的值不大于3610／3厘米2.又因为25／3∈[0,10],所以当x=25／3厘米时,面积y的最大值是3610／3厘米2.由上面的不等关系可知,当x取[0,10]内任何实数时,面积y的值不大于3610／3厘米2.又因为25／3∈[0,10],所以当x=25／3厘米时,面积y的最大值是3610／3厘米2.

  14. 于是,可在铁皮ABCDE的边ED上先取点M,使EM=25／3厘米,然后过点M作ED的垂线交边AB于点P,再过点P作边CD垂于点N.最后沿线段MP与PN截铁皮,这样截得的矩形MPND的面积为最大.于是,可在铁皮ABCDE的边ED上先取点M,使EM=25／3厘米,然后过点M作ED的垂线交边AB于点P,再过点P作边CD垂于点N.最后沿线段MP与PN截铁皮,这样截得的矩形MPND的面积为最大.

  15. 练习： 把长为L的铁丝折成一个矩形。问怎样折法能使所得的矩形的面积最大？ 答案:当x=L/4时,y最大=L2/16

  16. 小结： 运用化归思想可以把某些函数的求最值问题转化为二次函数的求最值问题，在转化过程中一定要注意函数的定义域的变化。解实际问题时，要考虑实际意义。

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