第六章 电磁感应

1. 第六章 电磁感应 主 要 内 容 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。 1. 电磁感应定律 由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的感应电动势 e为 式中电动势 e的正方向规定为与磁通方向构成右旋关系。 因此，当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构成右旋关系。

2.  I e 又知 ，得 感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。 感应电流产生意味着导线中存在电场，这种电场称为感应电场，以E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即 （书中负号丢失！） 上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。

3. 根据斯托克斯定理，由上式得 由于该式对于任一回路面积 S 均成立，因此，其被积函数一定为零，即 此式为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。 电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一。

4. 2. 自感与互感 在线性媒质中， 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流I 成正比。 与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以表示，令 与 I 的比值为L，即 式中L称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。 单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。 应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。

5. z l1 I1 I2 l2 dl1 r2 - r1 dl2 r1 r2 y 0 x 若交链 N 次，则磁通链增加N 倍；若部分交链，则必须给予适当的折扣。因此，与N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 = N 。那么，由 N匝回路组成的线圈的电感为 与回路电流 I1交链的磁通链是由两部分磁通形成的，其一是 I1本身产生的磁通形成的磁通链 11，另一是电流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成的磁通链  12。 那么，与电流 l1 交链的磁通链1为

6. 在线性媒质中，比值 ， ， 及 均为常数。 令 同理定义 同理，与回路电流 I2 交链的磁通链为 式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。 式中L22 称为回路 l2的自感，M21称为回路 l1对 l2的互感。

7. 考虑到 ，所以由上两式可见， 将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得 可以证明，在线性均匀媒质中 因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为

8. 若 dl1与 dl2处处保持垂直，则互感 。 若处处保持平行，则互感 M 值达到最大。 因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。 互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感始终应为正值。 若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感为负值。

9. z b 0 I1 a I2 S2 D r dr 例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围媒质为真空，如图示。 解 建立圆柱坐标系，令 z轴方向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁感应强度为 与线圈电流 I2交链的磁通链 21 为 若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS与B1方向相同。那么

10. 求得 z b 0 I1 a I2 S2 D r dr O a b c 若线圈电流为逆时针方向时，则B1与dS反向， M21为负。 但在任何线性媒质中， M21 = M12。 例2计算载有直流电流的同轴线单位长度内的电感。 解 设同轴线内导体的半径为b，外半径为c，如图示。

11. a O  I b c I I O a c b r e dr 在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路。 内导体中电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中电流归并为外边电流。 同轴线单位长度的电感定义为 式中I 为同轴线中的电流， 是单位长度内与电流I 交链的磁通链。 该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。 由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。

12. 该磁场形成的磁通称为外磁通，以 表示，则单位长度内的外磁通为 这部分磁场形成的磁通称为内磁通，以 表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通 d为 已知内外导体之间的磁感应强度 Bo为 该外磁通与电流 I完全交链，故外磁通与磁通链相等。 又知内导体中的磁感应强度 Bi为

13. a O  I b c I I O a c b r e dr 该部分磁通仅与内导体中自内导体轴线位置 0 至 r 之间部分电流 I ‘交链，不是与总电流 I交链。因此，对于总电流 I 来说，这部分磁通折合成与总电流 I形成的磁通链应为 由此求得内导体中的磁场对总电流I提供的磁通链 i为

14. 那么，与总电流 I交链的总磁通链为（o + i） 。因此，同轴线的单位长度内电感为 式中第一项称为外电感，第二项称为内电感。 当同轴线传输电磁波时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即

15. 3. 磁场的能量 若在回路中加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。 若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在回路电流周围的磁场中。 由此可见，磁场具有能量。 根据外源在建立磁场过程中作的功即可计算磁场能量。

16. 已知反电动势为 在dt 时间内外源作的功为 设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值 I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 。 为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压U = -e，即 若时刻 t 回路中的电流为 i(t)，则此时刻回路中的瞬时功率为

17. 已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为 单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此 那么，在线性媒质中，由于回路电感 L 与电流 i无关，求得 d t时间内外源作的功为 当回路电流增至最终值 I 时，外源作的总功W为 这个总功在回路中建立的电流为 I ，在其周围建立磁场。因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。

18. 若以 Wm表示磁场能量，那么 此式又可改写为 考虑到 ，则单个回路电流周围的磁场能量又可表示为 由此可见，若已知回路电流及其磁场能量，那么利用上式计算电感十分方便。 式中 为与电流I交链的磁通链。

19. 设第j个回路在某一时刻 t的电流 ，式中Ij为电流最终值，为比例系数，其范围为 。那么，在 dt时间内，外源在N个回路中作的功为 对 N 个回路，可令各个回路电流均以同一比例同时由零值缓慢地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立过程无关，因此这样的假定是允许的。 已知各回路磁通链与各个回路电流之间的关系是线性的，第j个回路的磁通链 j为

20. 即 已知回路磁通可用矢量磁位 A表示为 ，因此第 j 个回路的磁通链也可用矢量磁位 A表示为 当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功W 为 那么，具有最终值电流的 N个回路产生的磁场能量为 若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算这些回路共同产生的磁场能量。

21. 若电流分布在体积V中，电流密度为 J，已知 ，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为 那么，N 个回路周围的磁场能量又可矢量磁位表示为 式中A为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的合成矢量磁位。 式中V为体分布的电流密度 J 所占据的体积。 若电流分布在表面S 上，则产生的磁场能量为 式中S为面分布的电流密度所在的面积。

22. 已知 ，代入上式，得 利用矢量恒等式 ，上式又可写为 磁场能量的分布密度 式中 V为电流所在的区域。显然，若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。令 S为半径无限大的球面，则由高斯定理知，上式第一项的

23. 再考虑到 ，求得 已知各向同性的线性媒质， ，因此磁场能量密度又可表示为 当电流分布在有限区域时，磁场强度与距离平方成反比，矢量磁位与距离一次方成反比，因此无限远处的面积分 式中V为磁场所占据的整个空间。可见，上式中的被积函数即是磁场能量的分布密度。 若以小写字母 wm表示磁场能量密度，则 可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量也不符合叠加原理。

24. 例 计算同轴线中单位长度内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流为 I，内导体的半径为a ，外导体的厚度可以忽略，其半径为 b ，内外导体之间为真空。 解 已知同轴线单位长度内的电感为 因此，单位长度内同轴线中磁场能量为 我们也可以通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的磁场强度为

25. 单位长度内同轴线的磁场能量应为 ，此结果与前式完全相同。 已知 ，可见，通过磁场能量也可计算电感。 因此内导体中单位长度内的磁场能量为 又知内外导体之间的磁场强度 Ho为 所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为

26. 已知 z I1 I2 l1 l2 dl1 r2 - r1 dl2 r1 r2 y O x 4. 磁场力 那么，由回路电流 I1产生的磁场 B1对于电流元 I2dl的作用力 dF21为 式中磁感应强度B1为 因此， B1 对于整个回路 l2 的作用力F21 为

27. 根据牛顿定律得知，应该 。这个结论也可直接由上式获得证明。 同理，回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力F12为 上述两式称为安培定律。 如果回路形状复杂，上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严格的解析表达式。 为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用虚位移方法，利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。 下面直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。

28. 设在电流 I1产生的磁场广义力 F 的作用下，使得回路 l2的某一广义坐标变化的增量为dl，同时磁场能量的增量为 dWm。 两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即 下面分为两种情况： 第一，若电流 I1 和 I2不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为 两个回路中外源作的功分别为

29. 即 那么，求得常磁通系统中广义力为 由此可见，两个回路中的外源作的总功 dW 为 求得常电流系统中的广义力F为 第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外源作的功为零，即

30. b 0 I1 I2 a D 式中 注意，广义力的方向规定为广义坐标的增加方向。 磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。 例1计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图示。 解 利用虚位移方法，且设位移过程中电流不变，则导线与电流环之间的相互作用力为

31. 又知 代入上式 又知导线与线圈之间的互感 M 为 求得 取广义坐标 l为间距 D，因 L11及 L22 与D无关，因此相互作用力为 式中负号表明，作用力的实际方向为间距D 减小方向，这就意味着F 为吸引力。若两个电流之一的方向与图示方向相反，则M 为负，F > 0，表明 F为排斥力。

32. I S B0 l 又知气隙中的磁通 ，代入上式得 例2计算电磁铁的吸引力。如图示。 解 由于铁芯可以近似当作理想导磁体，铁芯中的磁场强度为零，因而铁芯中没有磁能分布。这样，电磁铁产生的磁场能量仅分布在两个气隙中，因此总磁能 Wm为 由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作常磁通系统较为简便。

33. 最后求得 式中负号表明F为吸引力。 由此可见，电磁铁的吸力与磁铁的横截面面积及气隙中磁感应强度的平方成正比。