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Problemas de Rede. Conteúdos do Capítulo. Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas Sem/Com Dummy Como Modelos de Rede Caso LCL Fórmula 1 Ltda. Caso LCL Construções S.A. Problemas de Rede de Distribuição; Caso Frod Brasil Caso LCL Eletrodomésticos Problemas do Menor Caminho;
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Conteúdos do Capítulo • Problema de Transporte • Caso LCL Bicicletas • Sem/Com Dummy • Como Modelos de Rede • Caso LCL Fórmula 1 Ltda. • Caso LCL Construções S.A. • Problemas de Rede de Distribuição; • Caso Frod Brasil • Caso LCL Eletrodomésticos • Problemas do Menor Caminho; • Problemas de Fluxo Máximo;
Problema de TransporteCaso LCL Bicicletas • A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.
- - ì ì 1 Rio 1 Recife ï ï = - = - i 2 São Paulo j 2 Salvador í í ï ï - - 3 Belo Horizonte 3 Manaus î î Problema de Transporte:Modelo Tradicional • Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. • xij = Quantidade transportada da fábrica i para o centro consumidor j.
Problema de Transporte:Variáveis de Decisão x11 REC RIO x12 x13 x21 x22 SP SSA x23 x31 x32 MAN BHZ x33
Problemas de Transporte:Propriedades • Soluções Inteiras: • Para problemas de transporte onde os valores das ofertas,oi e demandas dj , sejam números inteiros, todos os valores das variáveis das soluções básicas viáveis, incluindo a solução ótima, também serão inteiros.
n m å å = f d i j = = i 1 j 1 Problemas de Transporte:Propriedades • A condição necessária e suficiente para um problema de transporte com n fábricas e m centros consumidores tenha solução é dada por: Total da Capacidade = Total da demanda
Problema de TransporteOferta Diferente da Demanda • A regra das variáveis fantasma (Dummy): • No caso de Oferta ³Demanda devemos introduzir um destino fantasma; • No caso de Demanda ³ Oferta devemos introduzir uma oferta fantasma; • Todos os custos relacionados às variáveis fantasma serão nulos; • A oferta ou a demanda fantasma será dada pela diferença entre o total ofertado e total demandado.
Problema de TransporteCaso LCL Bicicletas • Modificando a oferta de São Paulo de 1500 para 3000 • Demanda total menor que a Oferta total!
Problema de TransporteCaso LCL Bicicletas • Cria-se um consumidor Dummy:
Problemas de TransporteSolução Alternativa • As Variáveis Dummy não são obrigatórias, apenas facilitam a interpretação do resultado da otimização. • Capacidade > Demanda: • Criação de consumidor dummy • Interpretação: capacidade ociosa • Alternativa: restrições de oferta com sinal • Demanda > Capacidade: • Criação de fábrica dummy • Interpretação: demanda não atendida; • Alternativa: restrições de demanda com sinal
Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel • Todas as fórmulas são idênticas...
Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel As restrições de oferta estão com sinal
Modelos em Rede • Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas. • Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos. arcos Nós
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede • Sem Utilização de Variáveis Dummy
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede • Com Utilização de Variáveis Dummy
Regra de Fluxo Balanceado • Uma maneira de modelar um problema de rede é seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada nó. • No Caso de Oferta Total = Demanda Total
Regra de Fluxo Balanceado • Caso a Oferta Total > Demanda Total • Caso a Oferta Total < Demanda Total
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede =SOMASE($C$4:$C$15;H4;$F$4:$F$15) -SOMASE($A$4:$A$15;H4;$F$4:$F$15)
Problema de TransporteAplicações • O problema de transporte não é aplicado apenas a problemas de distribuição de mercadorias das fábricas para centros distribuidores; • O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros tipos de problema, tais como: • Problemas de Escalas de Produção; • Problemas de Lay-out de fábricas;
Caso LCL Fórmula 1 Ltda. A LCL Fórmula 1 Ltda. fornece motores para um grande nº de equipes de fórmula 1. A companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com as necessidades das equipes. A tabela resume as entregas programadas, a capacidade máxima de produção, o custo de produção por trimestre e o custo de armazenamento. Formule o problema para achar o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre de maneira a atender os pedidos contratados. * em milhões de reais
Fonte i = Produção de motores no trimestre i (i=1,..,4) Destino j= entrega dos motores às equipes no trimestre j (j=1,..,4) xij = nº de motores produzidos no trimestre i para entrega no trimestre j cij = custo associado ao motor xi Dj = nº de pedidos contratados Fi = capacidade de produção no mês i Entrega dos Motores (trimestre) 1 2 3 4 5(D) Oferta Produção no Trimestre 1 1,080 1,095 1,110 1,125 0 25 1,110 2 1,125 1,140 0 35 1,10 3 1,115 0 30 4 1,130 0 10 Demanda 10 15 25 20 30 Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil • A Frod Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma na Bahia e outra em São Paulo, e está estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas de Minas Gerais. A seguir é apresentada a possível rede de distribuição dos veículos, seus custos de transporte unitários, demandas por revenda e as capacidades das fábricas. Formule o Problema de LP que resolva as rotas que devem ser seguidas a partir das fábricas para atender as diversas revendas.
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil 5 +250 40 SP 1 +200 20 -500 3 15 10 25 10 6 demanda 35 +350 oferta 10 4 +300 10 10 20 25 BA 2 -600 7 40 +350
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil • Variáveis de Decisão • xij – Nº de Carro remetidos de i para j • Exemplo: x14 – Nº de Carro remetidos de 1 para 4 • Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil • Como a oferta total é menor que a demanda total devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós: Entradas – Saídas < Oferta / Demanda no nó
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. • A LCL Eletrodomésticos Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua produção para os próximos 4 meses. Sua fábrica pode produzir mensalmente em horário normal 150 ferros de passar a um custo de R$5, e em horário extra, 50 unidades a um custo de R$ 7. Considere que é possível armazenar durante um mês a um custo unitário de R$1. Suponha que as demandas para os próximos quatro meses são de 120, 200,120 e 180.
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. • Para resolver este problema, criaremos uma rede onde: • Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 8 unidades produtoras (2 por mês), e 5unidades receptoras (4 meses mais o Dummy – visto que a capacidade produtiva é maior que a demanda); • Cada arco está relacionado ao custo de produção ou armazenagem.
-150 5 1 +120 A -50 7 0 2 1 0 -150 +800-620= +180 3 +200 0 5 B -50 0 4 1 7 0 -150 E 5 +120 0 C -50 5 6 Dummy 0 1 0 -150 7 7 +180 D -50 8 5 7 Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda. =somarproduto(D3:D21;E3:E21) =SOMASE($C$3:$C$21;F15;$E$3:$E$21) -SOMASE($B$3:$B$21;F15;$E$3:$E$21)
Problemas de Menor Caminho • Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a distância entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a rota que une estes pontos com distância mínima, teremos um problema do tipo do Menor caminho. • Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a distribuição de produtos, entre outros.
30 3 1 20 40 20 B A 20 30 4 2 30 Problemas de Menor Caminho Exemplo • Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.
30 3 1 20 40 20 B A 20 30 4 2 30 Problemas de Menor Caminho Exemplo • Este problema pode ser visto como um problema de rede de distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos da malha sem demanda ou oferta (=0) [-1] [+1]
