《天体物理中的辐射机制》

研究生课程 《天体物理中的辐射机制》授课教师：吴学兵（北大天文系） http://vega.bac.pku.edu.cn/~wuxb/radiation.htm 2013.12.2

12月2日复习题 1、何为轫致辐射？为何只考虑电子与离子的轫致辐射而忽略电子与负离子的轫致辐射？ 2、写出以速度v和瞄准距离b入射的电子在离子有心力场中产生轫致辐射的主要辐射频率表示式？定性说明为何轫致辐射谱功率P(v,)只随频率而缓慢变化？ 3、何为冈特(Gaunt)因子？写出经典近似下冈特因子在低频时的表示式。在高频时其值一般大约为多少？ 4、用量子力学推导轫致辐射截面公式时一般采用何种近似？它的适用条件是什么？比它更精确的是什么公式。分别写出这些近似下的冈特因子表示式。 5、单个非相对论电子的轫致辐射总功率与电子速度和离子密度有何关系？电子系集体轫致辐射的谱发射系数与电子密度和温度、离子密度有何关系？ 6、电子系集体的热轫致辐射谱在低频和高频分别有何特点？它常被用来解释宇宙X射线源的何种观测现象？ 7、何为自由-自由吸收？对热平衡等离子体，在高频和低频时自由-自由吸收系数与频率各有何关系？自由-自由吸收在哪些情况下不能忽视？

五、轫致辐射(bremsstrahlung radiation) 参考：尤峻汉书第6章 Ribicki & Lightman书第5章 Shu书第15章

五、轫致辐射(bremsstrahlung radiation) 轫致辐射: 等离子体中电子与离子发生近碰，库仑力使电子获得加速度从而产生辐射。轫致辐射是无磁场的热等离子体中主要的辐射机制。在轫致辐射影响下，热等离子体将逐渐冷却。系团

Soft X-ray image of solar flare Radio emission of HII region NGC 3603 Radio emission of Orion Nebula Lunar occultation of Sco X-1 (by ROSAT) X-ray emission of Coma cluster of galaxies

由于两个具有相同荷质比的粒子(如两电子)不会有辐射(因质心作匀速运动，无加速度)，因此只考虑电子与离子碰撞产生的辐射。又因电子和负离子间是库仑斥力而使它们难以靠近，因此电子与负离子碰撞产生的轫致辐射可以忽略。由于两个具有相同荷质比的粒子(如两电子)不会有辐射(因质心作匀速运动，无加速度)，因此只考虑电子与离子碰撞产生的辐射。又因电子和负离子间是库仑斥力而使它们难以靠近，因此电子与负离子碰撞产生的轫致辐射可以忽略。电子沿双曲线作加速运动的过程中辐射光子，电子的瞄准距离b代表电子在远离离子时的直线轨道至离子的垂直距离。严格来说，轫致辐射是量子过程(电子的自由-自由跃迁)，当辐射光子能量可与热电子能量比较时，必须用量子理论处理。但以下仍着重经典理论分析。

定性讨论： 对速度为v, 瞄准距离为b的入射到正离子有心力场中的电子，其主要轫致辐射频率为。由于轫致辐射光子能量来自热电子动能，因此热运动速度大的电子产生频率较高的轫致光子。另外对近距碰撞(b小)，电子加速度大，应对应于较高轫致频率。对给定速度v的电子，与正离子发生远距离碰撞次数比近碰撞多，产生的低频光子数远多于高频光子，但低频光子能量h远小于高频光子，因此对给定速度v的电子，轫致谱功率P(v,)为一很平的谱，P(v,) 只随频率而缓慢变化。这与定量推导得到的结果一致。

1、电子运动方程 电子与离子碰撞时可认为离子不动，只讨论电子在静止离子的有心力场中的运动。在极坐标(r, )中，由能量守恒和角动量守恒得到： E和M分别代表电子的总能量和角动量。消去时间参量t, 得到r~关系，即电子轨道方程：

适当选择的起点使常数为零，并引入： 此即圆锥曲线方程，P为半通径，为偏心率。当E<0时，<1，电子轨道为椭圆(elliptical) 当E=0时，=1，电子轨道为抛物线(parabolic) 当E>0时，>1，电子轨道为双曲线(hyperbolic)，碰撞问题中总有E>0(因无穷远处位能V=0，动能T>0)。近心点(=0) 到力心的距离为： a为双曲线的“半轴”，

对dt/dr进行积分，得到 用和a代替M和E，则利用代换，积分变为：适当选择计时原点使c=0，即得r~t的参数关系式：

用电子的笛卡尔坐标x=rcos, y=rsin得到 和a与M和E有关，在讨论碰撞问题时常用电子在无穷远处的初始速度v及电子对离子的瞄准距离b, 电子经过离子近旁后的散射角(电子入射与出射方向间夹角)由下式决定：

a代表电子受到90o散射(= 90o)时具有的瞄准距离，电子轨道方程可改写为：式中以上方程只是对电子运动的近似描写，事实上由于轫致辐射，电子能量将逐渐减少。仅当辐射光子能量远小于电子能量时，能量守恒才近似满足。

2、轫致辐射的谱分布 • 经典公式及其适用范围 • 电子运动方程-->电子在单位时间中在单位频率间隔中辐射的能量-->谱功率 • 对给定入射速度v的电子, 不同的瞄准距离b近似对应于不同的辐射频率. 电子仅在近心点附近获得较大加速度并引起辐射，加速时间的量级为，叫做碰撞时间。只有当和满足时，该频率的辐射才是显著的。由此可估计一个具有参量b,v的电子的辐射频率： • 可见，速度大的电子产生的轫致辐射频率高，较小的瞄准距离对应于较高的辐射频率。

严格来说，对给定b,v的电子其辐射远非单色，上式给出的只是该电子的主要辐射频率。严格来说，对给定b,v的电子其辐射远非单色，上式给出的只是该电子的主要辐射频率。举例：对v=108cm/s(Te~105K)的热电子，假如产生低频射电辐射( )，可求得双曲线轨道偏心率。表示轨道近似为直线，电子几乎未受离子场加速，故低频辐射的确来自远距离的碰撞。定量计算入射电子沿双曲线轨道运动的轫致辐射谱，应采用非相对论电子作非周期运动情况下的谱公式：可见需求出偶极矩或其二阶导数的傅里叶分量。由电子轨道方程可求的傅氏分量。

位矢的参数形式为： 的傅氏分量由下式给出：由而对直接作傅氏展开得到故

由于而作积分变量的替换(t-->), 即：得到x(t), y(t)的傅氏分量为：

按Bessel函数理论，有 称为含虚宗量的第一类Henkel函数, 表示对宗量ix的导数。

偶级矩d的傅氏分量为： 及代入谱分布公式上式给出了以初速v,瞄准距离b入射电子与正离子碰撞产生频率为的单色辐射总能量。

电子与负离子的碰撞情况完全类似，只是傅氏分量电子与负离子的碰撞情况完全类似，只是傅氏分量与上述情况相差一个因子。求出的也要乘上一指数衰减因子，因而辐射较弱。在低频( )及远碰撞( )情况下，注意到利用Henkel函数近似式式中，c是Euler常数(0.577)，，曲线如图。可见辐射主要集中在的范围中，的高频辐射可忽略。

现求初速为v的电子的轫致辐射的谱功率P() 先求它在离子电量为Ze, 离子密度为Nz的等离子体中穿行时，以瞄准距离b-b+db和离子碰撞的次数。考虑以围绕电子速度方向的环形面积为底，以电子速度v为高的圆柱壳层，其中正离子数为，此即单位时间里电子以瞄准距离b-b+db 和离子碰撞的次数。b值越小,碰撞次数越少，辐射的高频光子数目越少，因此单电子的轫致辐射谱功率应随频率的增加而下降。将乘以单位时间碰撞次数，再对b从0到积分，即得电子的谱功率P()，

用代替b作积分变量，由得，代入上式，即有：用代替b作积分变量，由得，代入上式，即有：利用Henkel函数性质求出积分，即得到初速为v的电子的轫致辐射的谱功率公式：显然，P()与速度有关，即P()= P(,v)。

A：在低频极限下， (小角度散射，，轨道近于直线) 低频率时只有大的的区间才重要，大的对应于，因此近似有：利用Henkel函数近似式(当x<<1时) 可得： ( )

因此在低频极限( )下电子轫致辐射谱功率为：可见在低频时功率随频率增加而对数式下降。 B：在高频极限下， (大角度电子散射) 高频时积分式中只有小的的区间才重要，可近似得到：利用函数公式：当时有

因此在高频极限( )下电子轫致辐射谱功率为：可见在高频时功率不随频率变化。综合上述结果，有： P()随频率的增大而缓慢下降的物理原因：低频辐射对应于电子有大的瞄准距离b，电子发生b值大的散射次数较多，即辐射低频光子数目略多，故低频处功率较大。但尽管低频光子数目多，每个光子能量较小，因此P()随频率的增加只是很缓慢的对数式下降。

低频部分谱功率公式中对数宗量的物理意义： 最小瞄准距离：一瞄准距离b,速度v的入射电子在时间(b/v)中走过的路程L~b. 在这段路程中，电子动能的改变为由于因此最小瞄准距离为最大瞄准距离：由条件可知，仅当时，才会对频率为的辐射有贡献。因此最大瞄准距离为

用比值表示低频谱功率的公式为： 以上谱功率公式是在经典偶级辐射近似下得到的，只有当辐射光子能量时才成立，才能对电子采用经典的轨道描述。谱功率公式中的高频仍必须远小于，即代入，由精细结构常数定义得到：或此即经典偶级辐射近似条件，它比v<<c要求更苛刻。

由此条件可限制用经典轫致辐射公式讨论的热等离子体温度Te不得超过 K，因为时，电子的平均热运动速度(假定Maxwell速度分布)为对近似条件的理解：电子最小瞄准距离测不准关系给出的最小瞄准距离：由，当电子瞄准距离小于时，经典近似失效。因此经典近似成立的最小瞄准距离为： _ _ _ _ 从而得到。当电子速度较高(但v<<c), 必须用量子理论处理轫致辐射，尤其在谱的高频端。

微分辐射截面和冈特因子(Gaunt factor, ) • 轫致辐射的微分辐射截面定义为：截面的物理意义：一速度为v的电子由于和附近离子发生碰撞，每碰撞一次而发射一频率为的光子的概率。由谱功率可定出截面：在高频极限下，，即，得到：或其中

因此，在经典高频端，截面和频率简单地成反比。因此，在经典高频端，截面和频率简单地成反比。，比例系数为。在低频极限下，，，可得或可改写为：式中对数的宗量。方括号中的因子反映低频端截面随频率的变化偏离形式的程度。推而广之，对任意频率值也可将相应辐射截面写成：，因子称为冈特因子。

冈特因子可看成截面随的变化偏离高频截面公式，即的改正因子。冈特因子可看成截面随的变化偏离高频截面公式，即的改正因子。在低频端，即时，冈特因子为：或在高频端，即时，总有：注意冈特因子经典公式的适用条件是电子速度，也即温度不太高的情况。

轫致辐射谱— 量子力学公式 当电子速度较大，时，经典公式不再适用。但对于低频端的射电谱，量子力学与经典结果基本相同，只是考虑电子波动性质，由测不准原理将最小瞄准距离取为，a为量级为1的因子。事实上，这一修正不大。如电子温度，速度，有但在高频端，量子力学的谱公式与经典谱显著不同。轫致辐射被称为自由-自由跃迁过程。也可把量子力学计算的截面写成的形式。

由量子力学可计算跃迁过程的概率，并求出微分辐射截面 (其中v是电子速度)，再对立体角积分，即可得到截面。精确计算跃迁概率通常采用玻恩近似，即采用微扰论，把离子库仑势看作微扰，考察初、终两态的电子波函数对平面波的偏离。微扰论适用的条件是比值远小于1，故玻恩近似的条件为：，即要求电子初、终速度。此外，仍要求 (偶级近似)，否则不能用经典量子力学理论。

采用玻恩近似由量子力学理论得出的截面公式为：采用玻恩近似由量子力学理论得出的截面公式为：以上公式的适用条件是：可见，对高速电子的“低频”辐射( )，冈特因子，并随频率增大(即增大)而缓慢下降；到时，。在频率较低时， 

因此，在低频极限( )下，它和经典值的唯一不同，仅在于用代替了。经典理论和量子力学的玻恩近似分别给出了两个极端情况下( 和 ) 的轫致辐射谱。对一般中间情况，即，或尽管，但产生高频辐射，终速不再远大于，玻恩近似在这两种情况下不再适用。在比玻恩近似更宽的条件下，有以下很精确的近似公式(Elwert公式)：显然在高速( )、低频( )情况下，可回到玻恩近似公式。

由Elwert公式可看出冈特因子的一般特点： 在“低频”( )情况下，不论电子初速大小，。在“中频”( )情况下，不论电子初速大小，。在“高频”( ，硬光子极限)，有三种情况： (1)、时，，但仍为有限值。(2)、为中等值时，略小于1。(3)、时，略大于1。只在高频时,冈特因子才明显依赖于电子初速度.

3、轫致辐射的总功率 轫致辐射的总功率可通过对电子的辐射谱功率求对各种频率的积分而得到。如对一给定速度的电子，其谱功率可用截面表示为：对频率积分，即得电子轫致辐射总功率：由于辐射光子的最高频率由确定，故积分上限为。以上积分可表示为：

由可得 积分变量用代替，得到利用玻恩近似给出的冈特因子公式，完成积分得到轫致辐射的总功率公式：其中是电子经典半径，是精细结构常数。与的关系为：可见，非相对论电子轫致辐射总功率P与电子速度及离子密度Nz成正比。

由于采用玻恩近似，总功率公式有一定误差。玻恩近似的准确范围是在低频部分( )。在高频端，玻恩近似不再适用。求出的截面比实际的小，因此给出的总功率低于真实值。对高速电子，用玻恩近似计算得功率误差为，可忽略不计。低速情况下，误差可达~50%。

4、电子系集体的轫致辐射 一速度为的电子在频率间隔中的辐射功率为：如单位体积中速度为的电子数为，则这些电子的单色辐射功率为：考虑各种初速度的电子对范围单色辐射的贡献，对速度积分，得到谱发射系数：即积分下限由给出，此条件下该电子对频率的辐射才有贡献。

用冈特因子表示截面，，则： 注意是速度的函数，完成积分需给出电子的速度分布。一般感兴趣的是热平衡等离子体的轫致辐射，此时电子速度具有Maxwell分布，即单位体积中速度为的电子数为：式中Ne为单位体积中电子数。将上式代入积分式，考虑的变化缓慢，且在1附近，故近似将提出积分号外并用平均因子代替，完成积分得到：

式中代表温度T下的电子平均热运动速度， 为温度T下的平均冈特因子，是电子经典半径。

从以上公式可见： (1)、轫致谱发射系数。 (2)、与温度关系密切。主要体现在公式的指数因子中，T升高时，作指数式的增加。 (3)、热轫致谱的特点：对的低频部分，因，故谱很平。几乎和无关，。此平谱是热轫致辐射的标志之一。在许多弥漫射电源中观测到较平的连续谱，即来源于自由电子-离子的热轫致辐射。对的高频部分，有，即为随指数下降的陡谱。在许多宇宙X射线源中，X射线流量随频率作指数下降，热轫致辐射是很可能的机制。

Spectrum produced in the Bremsstrahlung process. The spectrum is flat up to a cutoff frequency cut, and falls off exponentially at higher frequencies.

高低频段的分界大体由确定。 热轫致辐射平谱特征的原因：电子以大瞄准距离b和正离子相碰撞的机会多，但产生能量h小的光子；小瞄准距离碰撞次数少，但产生的光子能量较高，结果使谱功率几乎与频率无关。高频( )时轫致谱指数陡降的原因：光子能量取自电子动能，应有。故时会有的指数下降。从分界点可知，随温度增加，热轫致辐射的平谱范围会向高频端延展。如T~3000K等离子体，平谱可延展到红外连续谱部分。

如考虑等离子体中各种离子成分，谱发射系数公式如考虑等离子体中各种离子成分，谱发射系数公式应对Z求和，出现一因子。对一般宇宙等离子体，丰度：氢~90%，氦~9%，其它~1%。对完全电离等离子体，考虑电中性条件得到。将谱发射系数公式对Z求和，并对频率积分，得到总发射率：用变量代替，注意，则有

式中利用的近似公式可计算。对T ，。利用此值和S，得到：对的高温等离子体，轫致辐射是主要冷却机制，冷却时标为：其实也可直接利用经典偶级辐射公式简单导出发射率。电子辐射的瞬时总功率为：

故电子辐射的瞬时功率值取决于它和离子的接近程度，即r值。若电子密度为Ne, 对等离子体中任一离子，与其距离为的电子数为，考虑周围所有电子与该离子的碰撞，则该离子对轫致辐射的贡献为：考虑测不准原理，电子到离子距离r小于时经典假设失效，因此距离存在下限如电子温度为T，则电子平均热运动速度为：

故因此若单位体积中离子数是Nz, 则单位体积中的总辐射功率，即发射率为，结果得到：可见，这与前面导出的谱发射系数符合得很好。

5、自由-自由吸收(free-free absorption) 当电子与离子发生碰撞时，不仅可能发射光子，也可能吸收光子，同时电子从动能较低的自由态跃迁到动能较大的自由态，此吸收过程称为逆轫致吸收或自由-自由吸收。对热平衡的温度为T的等离子体，由Kirchhoff定律，只要已知轫致辐射的谱发射率，即可定出自由-自由吸收系数，即：

可见，自由-自由吸收系数与频率密切相关， 高频时(h>>kT), 正比于  -3。故高频部分吸收很弱，如对X射线，等离子体几乎不产生吸收。低频时(h<<kT), Rayleigh-Jeans形式成立，变为：故对低频(如射电)辐射，吸收非常重要。甚至对很稀薄的等离子体，射电波段的自由-自由吸收不能忽视。一般认为，很多射电源的低频谱形状都是由自由-自由吸收决定的。

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