第一节 投影法 第二节 点的投影、直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 点在直线和平面上的投影 第五节 ※ 直线与平面以及平面之间的 相对位置关系

1. 第一节投影法 第二节点的投影、直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 点在直线和平面上的投影 第五节 ※ 直线与平面以及平面之间的 相对位置关系

2. §2--1 投 影 的 基 本 知 识 一、投影法 投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。 投影中心 投射线 正投影法 投影面 投影 二、中心投影法 投射中心位于有限远处，投射线汇交于一点的投影法，称为中心投影法。 三、平行投影法 正投影法－投射方向与投影面垂直 斜投影法－投射方向与投影面倾斜 斜投影法

3. 四、正投影法基本特性 1、实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面图形的实形。 2、积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一直线。 3、类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小实长。平面图形的投影小于真实形状，但类似于空间平面图形，图形的基本特征不变，如多边形的投影仍为多边形。 4、平行性 空间两平行直线的投影必定互相平行。 5、从属性 点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上，且分线段的比，投影后保持不变（AC：CB=ac:cb）；点和直线在平面上，它们的投影必在该平面的同面投影上。

4. 五、多面正投影------三视图 如图所示，设一直立投影面，把物体放在观察者和投影面之间，将观察者的视线视为一组互相平行，且与投影面垂直的投射线，对物体进行投射所得的正投影图，即物体在该投影面上的视图。 用正投影法画出的物体图形称为视图。 视图(正投影) 投射线(垂直投影面) 物体(V形块) 投 影 面 投射方向

5. 一个视图不能确定物体形状

6. V-正立投影面(简称正面) 由上向下 Z H-水平投影面(简称水平面) W-侧立投影面(简称侧面) O 三个投影面的交线OX、OY、OZ互相垂直，分别代表长、宽、高三个方向、称为投影轴。 Y X 由左向右 由前向后 三面视图的形成

7. 主视图 左视图 三视图的展开 俯视图

8. 三视图之间的对应关系 物体左右之间的距离为长（X）---主、俯视图反映物体的长 1、投影关系 物体前后之间的距离为宽（Y）--- 俯、左视图反映物体的宽 物体上下之间的距离为高（Z）--- 主、左视图反映物体的高 长对正 主、俯视图 ---- 三等关系 主、左视图---- 高平齐 宽相等 俯、左视图 ----

9. 2、方位关系 上 后 右 前 左 下

10. §2--2 点 的 投 影 （1）点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即s’s⊥OX； （2）点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴，即s’s’’⊥OZ； 1、点的投影规律 （3）点的H面投影至OX轴的距离等于其W面投影至OZ轴的距离， 即ssx=s’’sz. 例： 已知点A的V面投影a’与H面投影a，求作W面投影a’’。 (1) 点到W面的距离为Ss’’=s’sz=ssy=Osx=X轴坐标; 2、点的投影与直角坐标 (2) 点到V面的距离为Ss’=ssx=s’’sz=Osy=Y轴坐标； (3) 点到Ｈ面的距离为Ss=s’sx=s’’sy=Osz=Z轴坐标.

11. §2--2 点 的 投 影 例：已知空间点Ｂ的坐标为:X=15,Y=10,Z=20,也可写成B(15,10,20).求作B点的三面投影。 3、两点的相对位置 X坐标大为左 Y坐标大为前 Z坐标大为上 重影点---两个点的两对坐标相等

12. §2--3 直 线 的 投 影 与三个投影面都倾斜的直线 1、一般位置直线 只平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线 2、投影面平行线 垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行的直线 3、投影面垂直线

13. 例： 判断立体表面上线段相对于投影面的位置

14. Z V b' c' b" B W a' c" Z C o b" b' X c' c" a" A b a' c a" a H X YW Y o b c a YH §2--4 直线与点以及直线的相对位置 • 直线上的点 其投影必在该直线的同面投影上， • 且符合点的投影规律。 点C的三面投影必在AB的同面投影上 点分线段成定比 AC:CB = ac : cb=a’c’ : c’b’ =a”c” : c”b”

15. 从属关系：点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。从属关系：点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上。 反之，若点的各个投影在直线的同面投影上,则点一定在该直线上。 例：判断点K是否在直线AB上。 方法一 利用从属性作图 方法二 利用定比性作图

16. §2--4 直线与点以及直线的相对位置 2、两直线的相对位置有三种： 平行 相交 交叉（既不平行，又不相交，亦称异面）。 平行两直线---- 空间两直线平行，它们的各同面投影也互相平行。 反之，若三组同面投影都互相平行的两直线，在空间也一定相互平行。 相交两直线---- 空间两直线相交，其交点属于两相交直线。 交点的各投影应同属于两直线的各同面投影（即交点的投影符合点的投影规律）。 交叉两直线---- 空间两直线既不平行，又不相交。 它们的三对同面投影可能相交，可能不相交。但投影的交点不符合点的投影规律。 k’k垂直于X轴

17. 例：判断两侧平线的相对位置。 a’1=ab a’2=cd a’3=c’d’ 12//3b’ k’ k

18. §2--5 直 角 投 影 定 理 一、一直线平行投影面的垂直相交两直线的投影 一边平行于某一投影面的直角，在该投影面上的投影仍是直角。

19. §2--5 直 角 投 影 定 理 二、一直线平行投影面的交叉垂直两直线的投影 其中一直线平行于某一投影面的垂直交叉两直线， 在该投影面上的投影仍是直角。

20. 例：如图，过点C作正平线AB的垂线CD及其垂足D。例：如图，过点C作正平线AB的垂线CD及其垂足D。

21. 例：如图，求作交叉两直线AB、CD的公垂线。

22. 一、平面的表示法 §2--6 平 面 的 投 影 1、几何元素表示法

23. 2、平面迹线表示法 迹线---- 迹线是平面与投影面的交线。 侧面迹线（W面迹线） 正面迹线（V面迹线） 水平迹线（H面迹线） 迹线是投影面上的直线，它在该投影面上的投影位于原处，用粗实线表示，并标注符号如图；它在另外两个投影面上的投影，分别在相应的投影轴上，不需作任何表示和标注。

24. 二、各类平面及其投影特性 1、投影面垂直面 垂直于 一个投影面，倾斜于另外两个投影面的平面 铅垂面： 垂直于H面并与V、W面倾斜的平面 正垂面： 垂直于V面并与H、W面倾斜的平面 侧垂面： 垂直于W面并与V、H面倾斜的平面 投影特性 1、在所垂直的投影面上的投影为倾斜于投影轴的直线，有积 聚性，它与相应投影轴的夹角即该平面与相应投影面的倾角。 2、平面多边形的其余两投影均为类似形。 一线两面

25. 用迹线表示的投影面垂直面的投影特性 （1）投影面垂直面的迹线有积聚性；它与投影轴的夹角，分别反映平面对另两投影面的真实倾角。 投影特性 （2）在另两投影面上的迹线，分别垂直于相应的投影轴。 γ α 投影面垂直面可只用一条倾斜于投影轴的有积聚性的迹线表示

26. 2、投影面平行面 平行于一个投影面，并垂直于另外两个投影面的平面 水平面：平行于H面并垂直V、W面的平面 正平面：平行于V面并垂直H、W面的平面 侧平面：平行于W面并垂直H、V面的平面 投影特性 1、在所平行的投影面上的投影表达实形 2、其余投影均为直线，有积聚性，且平行于相应的投影轴 两线一面

27. 用迹线表示的投影面平行面的投影特性 （1）在平行的投影面上无迹线。 投影特性 （2）在另两投影面上的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴 投影面平行面可用一条或两条有积聚性的迹线表示

28. 3、一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面 投影特性 三个投影面上的投影都具有类似形 例： 分析正三棱锥各棱面与投影面的相对位置 SAB 一般位置平面 SBC 一般位置平面 水平面 ABC SAC 侧垂面

29. g’’ h’’ c’’ d’’ b’’ e’’ a’’ f’’

30. 例：注出平面P、Q和直线AB、CD的三面投影，并根据它们对投影面的相对位置填空例：注出平面P、Q和直线AB、CD的三面投影，并根据它们对投影面的相对位置填空

31. 例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。

32. §2--6 圆的投影 圆的投影特性： 1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形； 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径； 3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；

33. §2---7 平面上的直线和点 点和直线在平面内存在的几何条件： （1）点在平面上，则该点必定在这个平面的一条直线上。 （2）直线在平面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一直线。 （a）点D在平面ABC的直线AB上 （b）直线DE通过平面ABC上的两个点D、E （C）直线DE通过平面ABC上的点D，且平行于平面ABC上的直线BC

34. 例：如图，判断点D是否在△ABC上？

35. 例：在已知平面上作一条正平线，使它距V面20mm。例：在已知平面上作一条正平线，使它距V面20mm。 2’ 1’ 1 2

36. §2—9 直线与平面、 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

37. k ● 2 ● ● 1 ● k 例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 1(2) a ● c m 作 图 ① 求交点 m c ② 判别可见性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。 b a n 还可通过重影点判别可见性。

38. k ● 2 ● ● 1 ⑵ 直线为特殊位置 m 空间及投影分析 b 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 c a ● 1(2) n 用面上取点法 作图 b k ① 求交点 ● m(n) c ② 判别可见性 a 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k 2为不可见。

39. ⒉ 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。

40. n ● m ● 能否不用重影点判别？ 例：求两平面的交线MN并判别可见性。 ⑴ f a b e 空间及投影分析 ● m(n) c 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。 d e a c 作 图 d ① 求交线 f b ② 判别可见性 如何判别？ 能! 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。 可通过正面投影直观地进行判别。

41. m n 1 ● ● ● 2 ● ● m n ● ⑵ 空间及投影分析 b 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。 e f h c a 作 图 b e ① 求交线 h ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故f h可见，n2不可见。 1(2) ● a c f

42. m k n ● ● ● m ● ● k n ● ⑶ b 投影分析 f d e N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。 a c b f e a c 互交 d

43. (4) 1 ’ 2’ Ⅰ 1(2) Ⅱ