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第三章 扭 转 §3-1 扭转的概念和实例 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 纯剪切 §3-4 圆轴扭转时的应力 §3-5 圆轴扭转时的变形 §3-6 等直圆杆的扭转超静定问题 §3-7 等直圆杆在扭转时的应变能 §3-8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形 §3-9开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 1．外力偶矩 直接计算
按输入功率和转速计算 已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P千瓦 求：力偶矩Me 电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
MA MD MB MC B C D A 例 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。 解：计算外力偶矩
Me Me x T Me 2．扭矩与扭矩图 T称为截面n-n上的扭矩。 扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负） 注意 用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 T x
- + T MA MD MB MC B C D A 例 计算上例所示轴的扭矩，并作扭矩图。 解：已知 955N·m 477.5N·m 作扭矩图如左图示。 637N·m
m2m3m1m4 1 2 3 n A B C D 3 1 2 例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
m2m3m1m4 n A B C D – – ③绘制扭矩图 BC段为危险截面。 T 6.37 x 4.78 9.56
§3-3 纯剪切 一、薄壁圆筒扭转时的切应力 薄壁圆筒：壁厚 （r：为平均半径） 1．实验： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2 ．实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 3 ．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
´ a dy ´ b c d dx 微小矩形单元体如图所示： ①无正应力 ②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。 4 ． 与 的关系：
5 ．薄壁圆筒剪应力 大小： A：平均半径所作圆的面积。
´ a dy ´ b t z c d dx 二、切应力互等定理： 上式称为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。 三、切应变 剪切胡克定律
T=m 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。
§3-4 圆轴扭转时的应力 一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。 平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系： 距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 —— 扭转角沿长度方向变化率。
t t max max 2. 物理关系： 虎克定律： 代入上式得： T
T dA O 3. 静力学关系： 令 代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
对于实心圆截面： 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 d D O
D d 对于空心圆截面： d O
t max ④ 应力分布 t t max max T T t max （空心截面） （实心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
三、强度条件 强度条件： ， [t]—许用切应力； 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[t]与许用正应力[σ]之间存在下述关系： 对于塑性材料． [t] ＝(0.5一0.577) [σ] 对于脆性材料， [t] ＝(0.8—1.0) [σl] 式中， [σl]代表许用拉应力。 轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得 例 一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kN·m 。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。 (2) 利用精确的扭转理论可求得
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1 、D1 ，最大许可扭矩为Ｔ1 例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。
例：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。 解：计算截面参数： 由强度条件： 故轴的强度满足要求。
，则 若将空心轴改成实心轴，仍使 由上式解出：d=46.9mm。 空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为： 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。
例：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 解：①求扭矩及扭矩图 T m x ②计算并校核剪应力强度 ③此轴满足强度要求。
§3-5 圆轴扭转时的变形 一、扭转时的变形 由公式 知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为 对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为
二、单位扭转角： 或 GIp —抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 三、刚度条件 或 [ ]称为许用单位扭转角。
刚度计算的三方面： ① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： 有时，还可依据此条件进行选材。
例：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA＝180N·m， MB＝320 N ·m， MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。 解：1．扭转变形分析 利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
由此得轴AC的总扭转角为 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为： 可见，该轴的扭转刚度符合要求。
例：长为 L=2m的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8 ，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。
解：①设计杆的外径 代入数值得： D 0.0226m。 ② 由扭转刚度条件校核刚度
③右端面转角为： 40Nm T x
N1 N2 N3 A B C 500 400 例：某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m，试确定： ①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？ ②若全轴选同一直径，应为多少？ ③主动轮与从动轮如何安排合理？
解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得： T x (kNm) – 4.21 –7.024
由刚度条件得： 综上： ②全轴选同一直径时
