我們知道： 邊長為 1 公分的正方形，面積為 12 ＝ 1 平方公分； 邊長為 2 公分的正方形，面積為 22 ＝ 4 平方公分；

2. 我們知道： 邊長為 1 公分的正方形，面積為 12＝1 平方公分； 邊長為 2 公分的正方形，面積為 22＝4 平方公分； 邊長為 3 公分的正方形，面積為 32＝9 平方公分； ⋯ 反過來說， 若正方形面積為 1 平方公分，因為 1＝12，所以它的邊長為 1 公分； 若正方形面積為 4 平方公分，因為 4＝22，所以它的邊長為 2 公分； 若正方形面積為 9 平方公分，因為 9＝32，所以它的邊長為 3 公分； ⋯ 現在我們來想一想： 是否有面積為 2 平方公分的正方形？

3. 探索面積為 2 的正方形邊長 拿出附件二中邊長為 2 的正方形，依照下列的步驟摺紙，再回答問題。 步驟： 1. 將附件二的正方形對摺兩次後攤開，如圖1∼圖4得到 4 個面積為 1 的小正方形，在摺痕的交點上標示 O。

4. 2. 將圖4中正方形的 4 個頂點分別向 O 點對摺，得到正方形 ABCD。 問題： 1. 正方形 ABCD 的面積為多少？ 2. 利用附件三的直尺量一量，正方形 ABCD 的邊長大約是多少？ 3. 將量出來的結果平方，並把平方後的結果與正方形 ABCD 的面積值作比較，看看是否相等？ 2。 約 1.4。 不相等。

5. 從問題探索 1 中，我們找到了面積為 2 的正方形，但是也發現在測量這個正方形的邊長時，每位同學的測量值不會完全一樣，即使用刻度很精密的直尺去量，也會有同樣的情形。把測量得到的值平方，結果很「接近」2，但都不會等於 2。事實上，我們沒有辦法用過去曾經學到的數字(如整數、分數和小數)來表示面積為 2 的正方形邊長是多少，因此以新的符號「 」(讀作「根號二」)來代表這個邊長的實際數值，滿足( )2＝2。 一般來說，若一個正方形面積為 a，則它的邊長為「 」，滿足( )2＝a。

6. 面積為 3 平方公分的正方形其邊長為 公分 面積為 4 平方公分的正方形其邊長為 公分 邊長為 公分的正方形其面積為( )2＝7 平方公分 邊長為 公分的正方形其面積為( )2＝64 平方公分 1. 分別以「√」表示面積為 3 平方公分和 4 平方公分的正方形邊長。 2. 邊長分別為 公分和 公分的正方形面積各為多少平方公分？

7. 若設 a 為正數，那麼面積為 a2的正方形其邊長為 ，又因為面積為 a2的正方形其邊長為 a，因此可得 ＝a (a＞0)。 例如： 其實可以將上述說明加以推廣， a、b 為兩個正數，且滿足 a＝b2，則 。 例如： 100＝102，所以 。 0.04＝0.22，所以 。

8. 其中 100 可以寫成 102，像這樣可以寫成某個整數平方的數，我們稱為完全平方數。下表是 1∼400 內的完全平方數。

9. 計算下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹

10. 因為 a 是一個負數，所以－a 是一個正數，所以 若 a 是一個負數，說明 ＝－a。

11. ⑴ 576 ＝26×32 ＝(23)2×32 ＝(8×3)2＝242 所以 例1 利用標準分解式求值 利用標準分解式計算下列各數的值。 ⑴ ⑵ 解

12. 計算下列各數的值。 ⑴ ⑵ 784＝24×72＝(22)2×72＝(4×7)2＝282 所以

13. 如果一個數的平方等於 a，這個數就叫做 a 的平方根。例如：32＝9，所以3 是 9 的平方根；(－3)2＝9，所以－3 也是 9 的平方根。事實上，每一個正數都有兩個平方根，其中一個是正的，另一個是負的，而且這兩個平方根互為相反數。通常，我們以 表示正數 a 的正平方根，以 表示正數 a 的負平方根。這兩個平方根可以合併記為 ，讀作「正負根號 a」。例如：2 有正、負兩個平方根，正平方根記為 ，負平方根記為 ，合併記為 。 有時候我們會稱「 」中的 a 為被開方數。另外，由 02＝0 知道：0 是 0的平方根，記作 ＝0。

14. 平方根 若 ，則： 1. a 的平方根為 。 2. ( )2＝a。

15. ⑴ 100 的平方根為 。 ⑵ 的平方根為 。 ⑶ 2.5 的平方根為 。 例2 平方根 求下列各數的平方根。 ⑴ 100 ⑵ ⑶ 2.5 解

16. (1) 51 的平方根為 。 (2) 196 的平方根為 。 (3) 的平方根為 。 (4) 1.44 的平方根為 。 求下列各數的平方根。 ⑴ 51 ⑵ 196 ⑶ ⑷ 1.44

17. 1 的平方根為何？ 1 的平方根是 1 和－1。 2. 負數有沒有平方根？ 任何非 0 的數，其平方皆為正數，所以負數沒有平方根。

18. 例3 平方根的應用 若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。 解 根據平方根的意義知道： (－5)2＝2x－1，2x＝26，x＝13 檢驗：2x－1＝2×13－1＝25， 而－5 是 25 的負平方根， 所以 x＝13 正確。

19. 檢驗：3x＋2＝3× ＋2＝ ， 而 是 的正平方根， 所以 x＝ 正確。 若 是 3x＋2 的平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。

20. 我們知道：兩個邊長不相等的正方形中，邊長比較長的正方形，它的面積會比較大。反過來說：兩個面積不相等的正方形中，面積比較大的正方形，它的邊長會比較長。我們可以利用這樣的關係，來比較平方根的大小。我們知道：兩個邊長不相等的正方形中，邊長比較長的正方形，它的面積會比較大。反過來說：兩個面積不相等的正方形中，面積比較大的正方形，它的邊長會比較長。我們可以利用這樣的關係，來比較平方根的大小。 平方根的比較大小 已知 a＞0，b＞0： 1. 若 a＜b，則 a2＜b2。 2. 若 a2＜b2，則 a＜b。

21. 因為 72＝49，( )2＝46，( )2＝50，且 46＜49＜50， 所以得到 ＜7＜ ，即 y＜x＜z。 例4 比較平方根的大小 設 x＝7、y＝ 、z＝ ，試比較 x、y、z 三數的大小關係。 解

22. 因為 63＞56，所以 判斷下列大小關係是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。 ⑵ ( ) × ○ ⑴ ( ) ⑶ ( ) ○ ⑷ ( ) ×

23. 接下來，我們將經由在數線上找到 的大概位置，來說明求 近似值的過程。 ⑴ 整數： 由 ，得到 ，因此 在數線上是位於 1、2 之間，如圖5，即 ＝1.⋯。

26. 重複同樣的過程，如圖8，就可以找到小數第 3 位、第 4 位、⋯⋯的數，像這樣利用十等分來逐漸逼近 在數線上的位置，而求得近似值的方法，就 稱為十分逼近法。其中近似值我們常用符號「≒」表示，例如： 的近似值(以四捨五入法求到小數第一位)可以表示成 ≒1.4。

27. ⑴ 因為 22＜( )2＜32，得 2＜ ＜3，所以 ＝2.⋯。 ⑵ 在 2 和 3 之間的 10 等分點中，由 2.22＝4.84，2.32＝5.29，知道 2.22＜( )2＜2.32， 得 2.2＜ ＜2.3，所以 ＝2.2⋯。 ⑶ 在 2.2 和 2.3 之間的 10 等分點中，由 2.232＝4.9729，2.242＝5.0176，知道 2.232＜( )2＜2.242， 得 2.23＜ ＜2.24，所以 ＝2.24⋯。 以四捨五入法求到小數第一位得 ≒2.2。 例5 十分逼近法 試以十分逼近法求 的近似值(以四捨五入法求到小數第一位)。 解

28. ⑴ 因為 22＝4，32＝9，得 2＜ ＜3，所以 ＝2.⋯。 ⑵ 因為 2.62＝6.76，2.72＝7.29，得 2.6＜ ＜2.7，所以 ＝2.6⋯。 ⑶ 因為 2.652＝7.0225，所以 ＜2.65。 ⑷ 以四捨五入求到小數第一位得 ≒2.6。 試以十分逼近法求 的近似值(以四捨五入法求到小數第一位)。

29. ⑴ 因為 102＝100，112＝121，102＜( )2＜112， 10＜ ＜11 ，得 ＝10.⋯， 所以 化成小數後的近似值中，整數部分是10。 ⑵ 因為 72＝49，82＝64，72＜( )2＜82， 得 7＜＜8，所以－8＜ ＜－7， 即 介於－7 和－8 之間。 例6 十分逼近法的應用 ⑴ 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？ ⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間？ 解

30. 因為 142＝196，152＝225，142＜( )2＜152 14＜ ＜15 ，得 ＝14.⋯ 所以 的整數部分是 14。 因為 92＝81，102＝100，92＜( )2＜102 得 9＜ ＜10 所以－10＜ ＜－9 即 介於－9 和－10 之間。 1. 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？ 2. 請問 介於哪兩個連續整數之間？

31. 要利用十分逼近法求平方根的近似值，過程實在太繁瑣了，為了方便，常將一些整數的平方與正平方根(或近似值)列成乘方開方表，供隨時查閱。要利用十分逼近法求平方根的近似值，過程實在太繁瑣了，為了方便，常將一些整數的平方與正平方根(或近似值)列成乘方開方表，供隨時查閱。 下面就來看看如何用乘方開方表(附件四)求出平方根的近似值。 自左向右看乘方開方表：

32. 第一行是 N，表示這一行所列出的是自然數(正整數)。 第二行是 N2，表示這一行所列出的是自然數的平方。 第三行是 ，表示這一行所列出的是自然數的正平方根。 第四行是 ，表示這一行所列出的是自然數的 10 倍的正平方根。 例如： 在第一行 N 中，有一個自然數 17； 在第二行 N2中且與 17 同列的數是 289， 即得 172＝289； 在第三行 中且與 17 同列的數是 4.123106， 即得 ≒4.123106； 在第四行 中且與 17 同列的數是 13.03840， 即得 ≒13.03840。

33. ⑴ 先從第一行 N 中查出 45，再查出位於第三行 中和 45 同列的數是 6.708204，即得 ≒6.708204。 ⑵ 先從第一行 N 中查出 45，再查出位於第四行 中和 45 同列的數是 21.21320，即得 ≒21.2132。 ⑶ 先從第二行 N2 中查出 2025，再查出位於第一行 N 中和 2025 同列的數是 45，即得 ＝45。 例7 查表法 請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶ 解

34. 422＝1764 故 ＝42 ≒6.928203 ＝20.24846 請根據附件四的乘方開方表，求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶

35. 一般電算器上有一個「 」鍵，它可以用來求某數值的正平方根或其近似值。

36. 在算每一題時，請先將螢幕顯示的值歸零(按 鍵)。 例8 利用電算器求平方根值 請利用電算器，求下列各數的近似值(以四捨五入法求到小數第四位)。 ⑴ ⑵ ⑶ 解

37. 若一個正方形面積為 a，則它的邊長為「 」，滿足( )2＝a。 例 若一個正方形面積為 16，則它的邊長為 「 」，滿足( )2＝16。 1 正方形的面積與周長

38. a、b為兩個正數，若滿足 a＝b2，則 ＝ ＝b。 例 16＝42， ＝ ＝4。 2 「√」的意義

39. 若整數 a 可以寫成某個整數的平方，a 就稱為完全平方數。 例 16＝42，所以 16 是完全平方數。 3 完全平方數

40. 若 a 是一個正數，則 是 a 的正平方根， 是 a 的負平方根。 註：0 是 0 的平方根，記作 ＝0。 例 是16 的正平方根， 是16 的負 平方根。 4 平方根

41. 已知 a＞0，b＞0： ⑴ 若 a＜b，則 a2＜b2； ⑵ 若 a2＜b2，則 a＜b。 例 已知 15＜17，則 152＜172； 已知( )2＜( )2，則 ＜ 。 5 平方根的比較大小

42. 6 平方根近似值的求法 ⑴ 十分逼近法。 ⑵ 查表法。 ⑶ 利用電算器。

43. 1 求下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶

44. 1.96 的平方根為 157 的平方根為 2 求出下列各數的平方根。 ⑴ 157 ⑵ 1.96 ⑶

45. 3 判斷下列各敘述是否正確，對的打「○」，錯的打「×」。 ⑴ ( ) ( )2＝5，所以 5 是 的平方根。 ⑵ ( ) 16 的平方根是 ±4。 ⑶ ( ) －32＝－9，所以－3 是－9 的平方根。 ⑷ ( ) －2 是 的平方根。 × ○ × ○

46. 若 是 8 的正平方根 則( )2＝8 3x－1＝8，3x＝9，x＝3 檢驗： ＝ ＝ 為 8 的正平方根，所以 x＝3正確。 4 已知 x 是一個整數、小數或分數，若 是 8 的正平方根，求 x 的值，並檢驗是否正確。

47. a＝－12 b＝ ＝ ＝－13 c＝ ＝－11 所以－11＞－12＞－13 故 c＞a＞b 設 a＝－12、b＝ 、c＝ ，試比較 a、b、c 三數的大小關係。 5

48. 因為 142＝196，152＝225， 142＜( )2＜152 14＜ ＜15 得 ＝14.⋯，所以 的整數部分是 14。 由⑴知 14＜ ＜15 所以－15＜ ＜－14 即 介於－14 和－15 之間。 6 ⑴ 請問 化成小數後的近似值中，整數部分為何？ ⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間？

49. 262＝676 故 ＝26 ≒5.196152 7 利用下面的乘方開方表，求下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶