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論理回路

論理回路. 第 6 回 論理回路の簡略化 ― クワイン・マクラスキ法 (1) http://www.info.kindai.ac.jp/LC 38 号館 4 階 N-411 内線 5459 takasi-i@info.kindai.ac.jp. FA. FA. FA. FA. X. X. X. X. C O. C O. C O. C O. Y. Y. Y. Y. C I. C I. C I. C I. S. S. S. S. 加算器. FA 4. C O. X 3. FA. X 2. S 3. X 1.

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Presentation Transcript

  1. 論理回路 第6回 論理回路の簡略化 ― クワイン・マクラスキ法(1) http://www.info.kindai.ac.jp/LC 38号館4階N-411 内線5459 takasi-i@info.kindai.ac.jp

  2. FA FA FA FA X X X X CO CO CO CO Y Y Y Y CI CI CI CI S S S S 加算器 FA4 CO X3 FA X2 S3 X1 X0 X CO S2 Y3 Y Y2 Y1 S1 S CI Y0 CI S0

  3. （注意）: この部分教科書には無い 減算 • 除数を 2 の補数に変換してから加算 Xの 2 の補数 : 2n - X 例: 5 (0101) の 2 の補数(4ビット) 16-5 = 11(1101) 全てのビットを反転させる 1 を加える

  4. FA4 FA FA FA FA X X X X CO CO CO CO Y Y Y Y CI CI CI CI S S S S 1 （注意）: この部分教科書には無い 減算器 FullSubtractor4 X -Y X3 Y3 CO Y をビット反転 1を足す X に加える X2 S3 Y2 S2 X1 Y1 S1 X0 Y0 S0

  5. FA4 FA FA FA FA X X X X CO CO CO CO Y Y Y Y CI CI CI CI S S S S （注意）: この部分教科書には無い 加減算器 FullAdd-Subtractor4 制御信号 CSGN X3 X +Y (CSGN=0) X - Y (CSGN=1) Y3 CO X2 S3 Y2 X1 S2 Y1 S1 X0 Y0 S0 CSGN

  6. 2進数の乗算 1110 (14) ×1101 (13) 14 ×13 42 (14×3) +14 (14×1) 182 1110 (1110×1) 0000 (1110×0) 1110 (1110×1) +1110 (1110×1) 10110110 (182) （注意）: この部分教科書には無い 乗算 10進数の乗算 左2ビットシフト 左３ビットシフト 2進数の乗算は、左シフトと加算のみで計算可能

  7. X3 X3 X2 X3 X2 X1 X2 X1 X0 X1 X0 FA44 X0 FA43 CO FA42 CO Y3 S3 CO Y3 S3 Y2 S2 0 Y3 S3 Y2 S2 Y1 S1 Y2 S2 Y1 S1 Y0 S0 Y1 S1 Y0 S0 Y0 S0 （注意）: この部分教科書には無い 乗算器 Mul4 X3 X2 P7 X1 P6 X0 P5 Y3 P4 Y2 P3 Y1 P2 Y0 P1 P0

  8. 0 1 V XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 5変数関数のカルノー図 • 5変数関数 f =(X,Y,Z,U,V ) のカルノー図

  9. V 0 1 W XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 XY ZU 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 6変数関数のカルノー図 • 6変数関数 f =(X,Y,Z,U,V,W ) のカルノー図

  10. カルノー図の特徴 • 長所 • 直感的で分かり易い • 必要な主項の選択が容易 • 短所 • 実用的に使えるのはせいぜい4変数 (無理して6変数)まで

  11. カルノー図による論理式の簡略化 • 隣接マスを併合することにより簡略化

  12. X Y Z f 最小項 X Y Z f 最小項 Zを併合 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 0 1 クワイン・マクラスキ法 • Quine-McClusky法 • 真理値表の併合・簡単化により簡略化 Z は0でも1でもいい ⇒ Zはドントケアにできる

  13. 1 1 - Zを併合 Xを併合 - 1 0 QM法による行の併合例

  14. QM法による2段論理最小化 • 最小項を併合して主項を決定する • 最小項をグループ分けする • 隣接グループの項を併合する • 主項を決定する • 必要な主項を選択する • 主項と最小項の対応表を作る • 特異最小項を決定する • 必須主項を決定する • 必須主項が包含する最小項を決定する • 残る最小項を包含する主項を選択する

  15. 主項の決定(1) 最小項のグループ分け • 最小項のグループ分け • 積和標準系にする • f = 1 となる項を取り出す • 1 の少ない項から順に並べる • 1の数でグループ分けする

  16. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1が 1個 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1が 2個 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1が 3個 主項の決定(1) 最小項のグループ分け f = 1の行を取り出し 1の少ない順に並べる

  17. 1 = 20 4 = 22 8 = 23 3 = 21+20 6 = 22+21 9 = 23+20 10 = 23+21 11 = 23+21+20 14 = 23+22+21 主項の決定(1) 最小項のグループ分け 各最小項に ラベルを 付ける 1の数でグループ分け

  18. 主項の決定(2) 項の併合 XYに併合可能 • 併合可能な2行は1ビットのみ異なる • 1の数でグループ分け ⇒併合可能な行は隣接グループに属する 各行が隣接グループの行と併合可能かチェックする

  19. 0 0 - 1 (1 と 3) - 0 0 1 (1 と 9) 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 主項の決定(2) 項の併合 • 各行が隣接グループの行と併合可能かチェック 1は3,9と 併合可能 併合した行には チェックを入れる

  20. 0 0 - 1 - 0 0 1 0 1 - 0 1 0 0 - 1 0 - 0 主項の決定(2) 項の併合 • 1が1個グループと2個のグループの間でチェック

  21. - 0 1 1 - 1 1 0 1 0 - 1 1 0 1 - 1 - 1 0 主項の決定(2) 項の併合 • 1が2個グループと3個のグループの間でチェック 0 0 - 1, - 0 0 1, 0 1 - 1, 1 0 0 - 1 0 - 0

  22. 1,3 0 0 - 1 1,9 - 0 0 1 4,6 0 1 - 0 8,9 1 0 0 - 8,10 1 0 - 0 3,11 - 0 1 1 6,14 - 1 1 0 9,11 1 0 - 1 10,11 1 0 1 - 10,14 1 - 1 0 主項の決定(2) 項の併合 チェックが付いた行は 主項ではない

  23. - 0 - 1 同じ項 - 0 - 1 主項の決定(2) 項の併合 1,3は9,11と 併合可能 1,9も3,11と 併合可能 1,3,9,11 : - 0 - 1

  24. 0 0 - 1 - 0 0 1 p 1,3,9,11 - 0 - 1 s 1 0 0 - 8,9,10,11 1 0 -- t 1 0 - 0 - 0 1 1 q 1 0 - 1 1 0 - 1 1 0 1 - r 主項の決定(2) 主項の決定 最後までチェックが付かなければ主項

  25. 主項 最小項 ABCD 論理式 p 4,6 0 1 - 0 q 6,14 - 1 1 0 r 10,14 1 - 1 0 s 1,3,9,11 - 0 - 1 t 8,9,10,11 1 0 -- 主項の決定(2) 主項の決定

  26. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 主項の選択(1) 主項と最小項の対応表 主項が包含する 最小項に○を付ける • 横方向に チェック

  27. 主項の選択(1) 特異最小項 特異最小項に ◎を付ける • 縦方向に チェック ◎ ◎ ◎ ◎

  28. 主項の選択(1) 必須主項 必須主項に チェックを付ける • 横方向に チェック

  29. 主項の選択(1) 必須主項が包含する最小項 必須主項が包含する 最小項にチェックを付ける • 横方向→縦方向に チェック

  30. どちらかを 選ぶ 主項の選択(1) 残る最小項を包含する主項 残る最小項を包含する主項の中でなるべく大きい主項を選ぶ • 縦方向→横方向に チェック

  31. または QM法による2段論理最小化

  32. 演習問題 : QM法による2段論理最小化 • 例題2.11

  33. 2 = 21 4 = 22 3 = 21+20 0 0 11 5 = 22+20 0101 10 = 23+21 1010 11 = 23+21+20 1011 13 = 23+22+20 1101 15 = 23+22+21+20 1111 4 5 13 3 15 11 2 10 0 010 0 100 最小項を 1の少ない順に並べ グループ分けする

  34. ラベル ABCD 主項 1個 2,3 0 0 1 - 2,10 - 0 1 0 4,5 0 1 0 - 2個 3,11 - 0 1 1 5,13 - 1 0 1 10,11 1 0 1 - 3個 11,15 1 - 1 1 13,15 1 1 - 1 各行それぞれが 隣接グループの行と 併合可能かチェック

  35. ラベル ABCD 主項 2,3,10,11 - 0 1 - t p q r s チェックが付かなかった 項が主項 各行それぞれが 隣接グループの行と 併合可能かチェック

  36. 主項

  37. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 主項と最小項の 対応表を作る

  38. ◎ ◎ ◎ ◎ 特異最小項を決定

  39. 必須主項を決定

  40. 4 5 3 11 2 10 必須主項が包含する 最小項を決定

  41. q +r または s ○ ○ sを選ぶのが最小 残る最小項(13,15)を 包含する主項を選択 qと rまたは s

  42. 最小積和形は 例題 : QM法による2段論理最小化 • 例題2.11

  43. クワイン・マクラスキ法の特徴 • 長所 • 数値化が簡単であり計算機処理に向く • 多変数論理関数にも適用可能 • 短所 • 手順が面倒 (特に主項の選択操作) • 直感性で劣る

  44. 問題: QM法による最小化 • 次の真理値表の最小積和形を求めよ

  45. 中間試験 • 試験日 : 5月29日(木) • 試験時間 : 60分 • 試験範囲 : 第1～7回 • 配点 : 30点満点 • 持ち込み : 可 • ただし外部とのネットワーク接続は不可 • TkGateを使用するのでノートPC持参 • 試験用TkGateファイル(5月22日公開)を　　　ダウンロードしておくこと

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