调研高三数学复习

1. 调研高三数学复习 杭州市普通教育研究室 李学军

2. 复习调研: • 2010年调研学校22所 • 2011年已调研7所 • 分析高考各校数学成绩 • 高三数学复习调研报告

3. 高三复习调研: 1. 共性： 1）9月各校基本进入数学复习 2）复习教学的安排基本相同（二轮为主） 3）复习教学模式基本相同（教师带着学生走） 4）高三教师能胜任复习教学工作（形成复习经验） 2. 差异： 1）关于制定复习计划 2）课堂复习水平（数学理解） 3）学生复习习惯 4）一轮与二轮复习的差别

4. 高三复习调研: 3. 主要问题： (1) 复习有效性： 1) 目标：要使学生增长什么？达成什么？不清； 2) 过程：能举一反三，具有重点，能概括到位，以点带面的学生参与的教学情况出现不多；部分课，知识的落实未体现。 3) 知识：建立联系，结合方法、思想待升。 4 )方法：演绎为主，学生跟着老师走；就事论事分析，小结 (2) 两类学生的正常发展：优秀学生和后进学生数学复习 (3) 区别：新授课与复习课，一轮与二轮 (4) 经验：互联网

5. 教师归因: • 对高考现实的理解 • 对生源基础的看法 站在老师角度: • 近观复习 • 远望高考 → 改进数学复习方式

6. 改进数学高考复习方式 合理定位 可动有效 两路着力 详细材料（面向学生）见 浙江教育资源网：www.zjer.cn学生天地栏目

7. 当z =1+ i时，由共轭复数概念知 =1 – i， 则(1+1+ i)·(1 – i ) = 3 – i . 所以选择A 做一做 理2.把复数z的共轭复数记作 ，i为虚数单位，若 z =1+ i， 则(1+ z)· = A．3-i B．3+i C．1+3i D．3 一看，会做，有信心做之. 称：可做题.

8. 试卷定有可做题 解1 由偶函数定义： 当x属于关于原对称的定义域时，恒有 f (-x) = f (x) 成立， 理11．若函数 f (x) = x2 – | x + a |为偶函数，则实数a =.（填空题） 得：xR时，恒有 (– x)2 – | –x + a | = x2 – | x + a |成立， 即：xR时，恒有| x– a | = | x + a |成立，得: a = 0. 依据最基本的概念，解决本题. 解2 由扩充知识“偶函数偶函数”仍为偶函数， 由题设“x2是偶函数”，当且仅当a = 0时| x + a |为偶函数”， 掌握扩充知识，快速解决本题. 得a = 0. 同样解决了可做题，但解题速度有差异！

9. 试卷定有可做题 理1．设函数 ，若f ( a ) =4，则实数a = （ ） A.–4或 –2 B. –4 或2 C.–2 或4 D. – 2或2 （选择题） 解1. 解方程f ( a ) =4， 当a > 0时，由条件得 a2 =4，解得 a = 2, 当a 0时，由条件得 –a =4，解得 a = – 4, 所以选择B. 解2. 函数值为4时，求自变量a. 不同理解下，解可做题 --- 代数、几何. 作函数f (x)的图象， 可做题：解题角度多样！

10.      试卷定有可做题 理4．下列命题中错误的是 A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂于平面； C.如果平面平面，平面平面 ， ∩=l，那么l平面 ； D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面. 运用基本知 识与方法！   l 涉及的知识并不少！运用的方法不惟一 “一点点理解错误” →做错！

11. 试卷定有可做题 理21．已知抛物线C1：x2 = y，圆C2：x2 + (y – 4)2= 1的圆心为M. （1）求点M到抛物线C1的准线的距离； （2）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线l的方程. 点M坐标(0，4) , 抛物线C1：x2 = y的准线 y = – (1/4) , 点M到C1的准线的距离4 –[– (1/4)]=17/4. 可见：倒数第2题中，也有可做题.

12. 特点 高考数学试卷必有可做题！ 分布于各类题型之中 看视容易的题，应该如何对待！ 考查基本知识与方法 解题角度、方法多样 解题正确，仍会有用时上的差距 看似简单，也有出错可能 对策 做题追求：做对、省时. 如何让更多的题成为可做题？ 复习追求：重视双基，多角度 让更多的题成为可做题.

13. 可做题： 每次作业、周练、月考、模拟考必有的题； 复习课中，可以有的题，但不是主流的题。 什么是研究学生？ 什么是由学生基础出发的复习教学？ 复习课中，用可做题的目标是什么？ 成功体验，奠定起点，变式、引伸、拓展！

14. 做一做 文8．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （ ） A. 1/10 B.3/10 C. 3/5 D.9/10 理9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机地摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ） A. 1/5 B.2/5 C.3/5 D.4/5 B 语数选1，2种，选中选1，2种 未选选1，2种 共8种； 剩余放入，1种 一看，能动手，但心中无底. 语数选1，2种，选中选1，2种 未选选1，2种 共8种； 同科不相邻，1种 称：可动题. 语数选1，2种，选中选1，2种 未选选1，2种 共16种； 同科不相邻，2种 未选选1，2种 语数选1，2种，选中选1，2种 共8种； 同科不相邻，1种 未选选1，2种 语数选1，2种，选中选1，2种 共8种. 剩余放入，1种 可能会做错！ 可能动不到底！ 5类合计48种， 得所求概率=48/120=2/5种. 又，总计120种，

15. 试卷定有可动题 理22．设函数 f (x) =(x– a)2 lnx , aR. （1）若x = e为y= f (x) 的极值点，求实数a； （2）求实数a的取值范围，使得对任意的 x(0,3e]，恒有f (x) 4e2成立. 注：e为自然对数的底数. 看（1），能动手 可见：最后1题中，也有可动题. f `(x) =2(x– a)lnx +(x– a)2 /x , 可能做不到底！ 可能做不完整！ ∵x = e为y= f (x) 的极值点 ∴f `(x) =2(e– a)lne +(e– a)2 /e =0, 得: (e– a)[2 +(e– a) /e ]=0, 对部分学生而言： 这是可做题！ 解得： a=e，或a = 3e, 经检验，符合题意，所以 a=e，或a = 3e.

16.  做一做 D A 文6．若a,b为实数，则“0< ab <1”是“b < 1/a”的 ( ) 理7．若a,b为实数，则“0< ab <1”是“a < 1/b 或b > 1/a”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 a >0,b>0  a < 1/b 所以条件是充分的 由“0< ab <1”  a与b同号  a<0,b<0 b>1/a 若“a < 1/b” 所以条件不必要  a与b可以异号 由“0< ab <1” 或“ b>1/a” 是可做题，还是可动题？ 因人而言！因时而言！

17. 特点与对策 高考数学试卷不全是可做题！ 看视可动的题，应该如何对待！ 可动题： 做题时，要进得去，又出得来！ 掌握基本知识与方法. 心理过关，有亲历形成的经验. 能力到位，能理解题意，能推理、计算，能调整过程. 有把可动题，变为可做题的意识（顺其自然操作）. 可动题功能：学生先做互相交流归纳概括 做题追求：先自主独立探索，后交流反思过程. 复习追求：做到底！ 培养能力，提升心理品质.

18. 可动题： 需要跳一跳可解决的题； 能产生学生数学思维的题； 有“教”、“学”价值的题。 复习课中，主流的题！ 怎么用可动题？ 学生先行，交流在中，教师断后 促成学生活动，（主动） 提供交流机会，（班级） 发挥教师作用。（助学） 改进复习方式！

19. 做一做 一看，不知如何动手，心中无底. 称：可怕题.

20. 试卷有无可怕题 2011年高考卷无可怕题？ 理22．设函数 f (x) =(x– a)2 lnx , aR. （2）求实数a的取值范围，使得对任意的 x(0,3e]，恒有f (x) 4e2成立. 注：e为自然对数的底数. 题意不难理解 , 即为： 当0< x 3e时，恒有 (x– a)2 lnx4e2. 当0< x1时，恒有 lnx 0, ∴恒成立. ∴1 < x 3e时，h1(x)递增， 当1 < x 3e时，恒有 lnx > 0, 则可得： 可证x =e时，h2(x)取最小值， 问题转化为：

21. 试卷有无可怕题 因人而言！因时而言！ 高三数学复习自评指标： 可做题增加， 可怕题减少， 可动题动至底、动得对！ 高三考试追求： 可做题全得分，且省时； 可怕题得点分； 可动题多得分。 试题分类为三种，意义何在？

22. 高三复习 1.正确定位 2.用什么题？如何用？

23. 如何定位？ 学生分析： 可做题总分 实际得分 可动题总分 实际得分 可怕题总分 • 试题分类： • 可做题　　 • 2. 可动题　 • 3. 可怕题 根据自己的数学水平，正确定位！ --- 做好自己能做到的事！ 学会舍，才会得！

24. 复习教学用什么题？如何用？ 用可做题：回忆、熟练、重复、思路，思维　　 用可动题：能带动两头；学生先行，交流，概括 用可怕题：吃力、费时、吓人，教不会 网上题千千万万 选好用好能有效 选择，组合好可动题 学生先动，中间交流 教师断后 促进可做题的产生 促进解决可怕题的能力　

25. 做一做 做过吧？ 文17．若数列 中的最大项是第k项，则k = . 理科做过！ 设最大项为Tr，则有 已知x = 5, 求( 1 + x )15的展开式中最大项为第几项?

26. 解：设数列第k项最大. 文17．若数列 中的最大项是第k项，则k = . 则：k (k + 4)(2/3)k  (k – 1)(k +3)(2/3)k – 1, k (k + 4)(2/3)k  (k +1)(k +5)(2/3)k + 1, 化成 ：2k (k + 4) 3(k – 1)(k +3), k2 - 2k – 9 0, 3k (k + 4) 2(k +1)(k +5), k2 – 10  0, 因为k > 0, 解得： 因为k为正整数, 得：k = 4.

27. 见题，再忆、联想或搜索、匹配是解决这类题的特点, 回忆到熟悉的类型,想到解法或套路，运用此解题. 反思 思考：是如何解决本题的？ 文17．若数列 中的最大项是第k项，则k = . 想到：平时学习过求解最大项的方法, 解决一类问题的方法 解决这类问题的一个特殊题. 可以认为是：一般到特殊. 关键：掌握了基本方法！ 理科：熟悉题！ 文科：非熟悉题？ 称这类高考题为熟悉题.

28. 做一做 理15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2/3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试的公司个数. 若P(X=0)=1/12，则随机变量的数学期望E(X) = . ↓ 求p的等式(方程) 由P(X=0)=(1 – 2/3)(1 – p)2=1/12， 熟悉题 所以, p=1/2， P(X=1)=(2/3)(1–1/2)2+ (1– 2/3)(1/2 )(1–1/2) + (1– 2/3)(1–1/2 )(1/2) = 4/12， P(X=2)=(2/3 )(1/2 )(1–1/2)+ (2/3)(1–1/2 )(1/2) + (1– 2/3)(1/2 )(1/2) = 5/12， P(X=3)=(2/3 )(1/2 )(1/2) = 2/12， 所以 E(X)=0×(1/12 )+1×( 4/12 )+ 2×( 5/12) + 3×(2/12) = 5/3. 忘了“本”，则无法做； 有了“本”，能顺利做. 回忆数学期望求法. 依次写出概率，相应乘积求和！

29. = 24种； 有无做过的题可以参照、启示？ 做一做 用最基本的方法 ---元素与位置分析 264 第一步：上午 第二步：下午 11种； 共有264种； 逻辑思维与直觉思维！ 问题转化为：把4个不同球，分两次放入上、下4个盒子，同１个球上下不重复放，有几种放法．

30. 平时，仅有示例训练，解决不了高考新颖题 ！ 平时，缺少自主探索解题的成功体验，面对高考新颖题会发怵！ 反思 学生要知： 看视可怕的题，应该如何对待！ 思考：是如何得到解法的？ 由题目条件与所求，从基础出发解决问题。 方法 --- 运用之来解题 解题 --- 过程变换驱动下，想到方法 称这类高考题为新颖题 关键：具有数学思维能力和良好心理品质！ 前提：平时经历过自主探索活动！有独立解决问题的体验. 见题，逐步理解，及时联想，尝试调整；逻辑思维与直觉思维并用，是解决这类题的特点

31. 得D(4,0), 由 ，得 ， 题说： 做一做 D 文18. 已知函数 ,xR，A>0， . y = f (x )的部分图像如图所示，P、Q分别为该图像的最高点 和最低点，点P的坐标为(1,A). （1）求f ( x )的最小正周期及的值； （2）若点R的坐标为(1，0)， ,求A的值. 题说：要求f ( x )最小正周期 想到：T = 2/ 解（1）f ( x )的最小正周期T=6. 题说：P(1,A)为最高点，要求 想到：(/3)·1 + = /2 P为图像最高点，且P(1,A). 题说：求A 想到：即求PR或DQ长 （2）作QDx轴于点D， Q是图像最低点且T=6，R(1,0), 题说：P,Q分别是最高,低点，R(1，0)，T= 6, 想到：RD=3, 需求DRQ 逻辑思维

32. 反思 D 文18. 已知函数 ,xR，A>0， . y = f (x )的部分图像如图所示，P、Q分别为该图像的最高点 和最低点，点P的坐标为(1,A). （1）求f ( x )的最小正周期及的值； （2）若点R的坐标为(1，0)， ,求A的值. 思考：是如何想法方法的？ 由题目条件与所求，从基础出发解决问题。 由条件及所求，联想到有关知识、方法 是“数学题目的说话”， 让我们在知识海洋中，不断发现要用到的哪些“水滴”！ 让数学题目会说话--- 复习行动中不可缺少的着力点。

33. 复习行动中，需要： 根据题设，导或思解题思路，让数学题目说话！ 这样的复习，至少： 能促进对数学概念的理解，促进对数学基本方法的把握！ 这是真正地查漏补缺！ 掌握基本方法，理解概念本质 --- 数学题目会说话！ 分析2.几何角度 理解： 的几何意义 理解： 的几何性质 条件中， ，表示有两个等式， 点A，点B都在椭圆上，又有两个等式 做一做 A 理17．设F1， F2分别为椭圆 的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若 ，则点A的坐标是． B 本题与做过的题不同，属新创 --- 新颖题 F1 F2 分析1. 代数角度 求点A坐标，即求两个未知数，需要两个方程 条件中，点A，点B都未确定，共有4个未知数 与常用题相悖 --- 反“题海”，考能力 解题 --- 需要理解数学，掌握基本 方法（都是基本、基础的！）

34. ∴ 题会说话 文15，理14．若平面向量 ,  满足| | = 1, |  | 1. 且以向量 , 为邻边的平行四边形的面积为1/2，则与 的夹角 的取值范围是. 由1/2= ||| | sin  ， ∵| | = 1, |  | 1， “平行四边形面积=1/2”表示什么？ 求“夹角取值范围”需要什么？ ∴1/2 sin ， 条件“| | = 1, |  | 1”可起什么作用？ ∴0  ， 无参照、无回忆范例 根据题目说话声 调用知识方法解决本题

35. 做一做 理16．设x,y为实数，若4x2 + y2 + xy = 1, 则2x + y的最大值是. 文16．设实数x,y满足 x2 + y2 + xy = 1,则x + y的最大值是. 分析1 解2. 用判别式法 让数学题说话： 回忆套路示例： 只需要求4x2 + y2的最大值， 设2x + y=k,得y = - 2x +k, 代入条件得： 6x2 – 3kx + k2 – 1 = 0, 能说=理解掌握 不说=存在问题 做错=力量待增 找到=理解掌握 空白=存在问题 误用=存在问题 ∵x为实数， ∴ △ = 9k2 –24( k2 – 1) 0, 因为，4x2 + y2 + xy = 1, 方向反了，失败！ 得5k2 8, 由4x2 + y2 + xy = 1, 得(2x+ y)2 – 3xy = 1, 解题用时多 解题相对快 法2运用已知范例 法1直接解决 复习行动中---两路着力！

36. 高三复习 3.两路着力 复习行动中：需做可做之事！ 复习行动中：有追求能自主！

37. 两路着力： 熟悉题 --- 用演绎、迁移解决题目　　 新颖题 --- 由题设，联想尝试得解 熟悉题 --- 形成更多的典型范例　　 新颖题 --- 经历成功体验，获得能力 面对熟悉题，做对，做快 面对新颖题，能思，可动 改进高三数学复习→两路着力！

38. 点A在y = 2x上,得tan=2, 得sin = , cos = , C1把AB三等分，得点( )在C1上 C 分析 研究试题背景 研究思路产生 又由a`2 = 1, b`2 = 4, 得c2 = 5, 因为曲线C1与 C2焦点相同, 得a2– b2 =5, 点A在圆x2+y2 =a2上，可设A(acos, asin)， 由题目信息出发 借助图形（运用思想） 调用知识、方法 解得a2 =11b2, 得b2 = .

39. 两路着力 --- 有正确的用题观 追求解题思路是如何产生的指导！ 借助对新颖题解后小结，形成套路！ 1. 凭借已知、示例产生解题思路（演绎） 2. 由题目信息，产生解题思路（归纳）

40. 改进高三数学复习方式： 高考数学试题分类 = 复习题分类 之一： 复习课与新课区别 可做题 可动题 可怕题 正确定位 选题用题 之二： 一轮复习与二轮复习区别 熟悉题 新颖题 两路着力 两种研究

41. 祝2012年 一切如意！ 谢谢！