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以「合併法」解一階常微分方程式

以「合併法」解一階常微分方程式.  利用「微分」與「積分」的觀念 ， 以觀察方式將微分方程式合併 成幾組常用的「全 微分 」組合 ， 再積分、還原成原函數。. 「合併法」之優點.  合併法「迅速」而「直接」 ， 常用於解「正合微分方程式」 。. 常用之「全微分」公式.  ydx + xdy = d ( xy )  dx ± dy = d ( x ± y ) 1  xdx ± ydy = ---- d ( x 2 ± y 2 ) 2 ydx - xdy x

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以「合併法」解一階常微分方程式

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  1. 以「合併法」解一階常微分方程式 利用「微分」與「積分」的觀念 ，以觀察方式將微分方程式合併 成幾組常用的「全微分」組合， 再積分、還原成原函數。 d8

  2. 「合併法」之優點 合併法「迅速」而「直接」， 常用於解「正合微分方程式」 。 d8

  3. 常用之「全微分」公式  ydx+xdy = d(xy)  dx±dy = d(x±y) 1 xdx±ydy = ----d(x2±y2) 2 ydx-xdyx  ------------- = d(----) y2y xdy-ydxy  ------------- = d(----) x2x 1 mydx+nxdy = -----------d(xmyn) xm-1yn-1

  4. 【例】解 xdx+ydy +(x2+y2)ydy = 0 --------------------------------------------------------- 1 Sol.原式為 ---d(x2+y2)+(x2+y2)ydy = 0， 2 即 d(x2+y2)+2(x2+y2)ydy = 0， d(x2+y2) 同除 (x2+y2) 成 -------------+2ydy = 0， x2+y2 積分得 ln(x2+y2)+y2 = C。 d8

  5. 【例】解 xdy-ydx +xy3dy = 0 --------------------------------------------------------- xdy-ydxy3dy Sol.同除 x2得 --------------+-------- = 0， x2 x yy3dy 即 d(----)+-------- = 0， xx y 1 y 再同除 ----得 ------d(----)+y2dy = 0， xy/xx y 1 積分得 ln|----|+----y3 = C。 x 3 d8

  6. 【例】解 xdy-ydx +xy3dy = 0 --------------------------------------------------------- 《另解》 將原式合併成 -ydx+x(1+y3)dy = 0， 1 1 同除 xy得 -----dx+----dy +y2dy = 0， xy 1 積分得 -ln|x|+ln|y|+----y3 = C， 3 y 1 即 ln|----|+----y3 = C。 x 3 d8

  7. 【練習】解 xdy+ydx +x2ydx = 0 --------------------------------------------------- Sol.原式為 (xdy+ydx)+x2ydx = 0， 即 d(xy)+x2ydx = 0， 1 同除 xy成 ----d(xy)+xdx = 0， xy 1 積分得 ln|xy|+----x2 = C。 2 d8

  8. 【練習】試解 (x2+y2+x)dx+xydy = 0 --------------------------------------------------------- Sol. 原式重組成 x2dx+xdx+y(ydx+xdy) = 0， 即 x2dx+xdx+yd(xy) = 0， 同乘 x成 x3dx+x2dx+xyd(xy) = 0， 1 1 1 積分得 ----x4+----x3+----(xy)2 = C。 4 3 2 d8

  9. 【例】解 4ydx +3xdy = 0 --------------------------------------------------------- 1 Hint.mydx+nxdy = -----------d(xmyn) xm-1yn-1 Sol.令m = 4，n = 3，則 1 4ydx+3xdy = --------d(x4y3)， x3y2 1 故原式為--------d(x4y3) = 0， x3y2 即 d(x4y3) = 0，積分得x4y3 = C。 d8

  10. 【例】解 4ydx +3xdy = 0 --------------------------------------------------------- 4 3 《另解》各項同除 xy成 ----dx+----dy = 0， xy 積分得 4ln|x|+3ln|y| = C1， 即 ln|x4y3| = C1， ∴x4y3 = eC1≡C。 d8

  11. 【練習】解 (x2+3y2)dx +2xydy = 0 --------------------------------------------------------- 1 Hint.mydx+nxdy = -----------d(xmyn) xm-1yn-1 Sol.原式重組成 x2dx+y(3ydx +2xdy) = 0， d(x3y2) 即 x2dx+y ----------- = 0， x2y 同乘 x2成 x4dx+d(x3y2) = 0， 1 積分得 ----x5+x3y2 = C。 5

  12. 【練習】解 (x2+3y2)dx +2xydy = 0 --------------------------------------------------------- 《另解》 原式重組成 x2dx+(3y2dx +2xydy) = 0， 同乘 x2成 x4dx+(3x2y2dx +2x3ydy) = 0， 1 即 ----d(x5) +d(x3y2) = 0， 5 1 積分得 ----x5+x3y2 = C。 5 d8

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