Medidas Alternativas de Custo de Vida

1. Medidas Alternativas de Custo de Vida Análise Comparativa de duas Metodologias Factíveis para o Cálculo de IPCs com a Utilização de Microdados do IPC-FIPE Prof. Dr. Heron Carlos Esvael do Carmo Janeiro de 2011

2. Objetivo Analisar duas metodologias factíveis para cálculo de Índices de Preços ao Consumidor baseadas nas fórmulas de Laspeyres e de Konüs-Byushgens. Os índices são considerados, "measure-estimators" na acepção de Allen (1975) e, assim, a cada índice mensal estimado serão associadas duas estatísticas de variabilidade: Calculada a partir de cotações de preços de produtos elementares nas amostras de locais e Calculada a partir da variabilidade de preços relativos de produtos.

3. Introdução • “Accurately measuring prices and their rate of change, inflation, is central to almost every economic issue” (Boskin et al.-1998) • Do ponto de vista teórico o conceito de ICV - Índice de Custo de Vida do qual o IPC é o “measure-estimator” vem se tornando menos restritivo, para dar embasamento à solução de questões de ordem prática- índices sociais, índices em cadeia, p. ex. • Assim, IPCs podem ser tratados como uma estatística por intervalo e não apenas uma “medida com teoria”. • De outro lado, o avanço da econometria e os aprimoramentos na coleta e processamento de dados têm tornado factível a aplicação de fórmulas superlativas, entre as quais a de Theil-Tornqvist.

4. Introdução • As várias vertentes desenvolvidas desde a segunda metade do século XIX, segundo Diewert (1993 e 2003) e Samuelson e Swamy (1974), podem ser assimilados por três enfoques teóricos: teoria econômica, axiomático e estocástico. • O primeira busca definir a fórmula ideal - "o verdadeiro índice" - a partir de categorias relativas à teoria econômica, como a teoria do consumidor, no caso. • A segunda parte de um conjunto de critérios lógicos, que podem ser apresentados matematicamente, para estabelecer uma ordenação de fórmulas. • O enfoque estocástico toma por base a distribuição de probabilidades de relativos de preços para determinar a fórmula adequada. Esta corresponderia ao estimador de máxima verossimilhança de uma medida de tendência central da distribuição.

5. Introdução • O texto está organizado em quatro seções, além da introdução • A segunda seção é dedicada ao enfoque da teoria econômica com uma breve consideração sobre a aproximação axiomática. • Na seção seguinte é feita uma síntese do enfoque estocástico aplicado ao cálculo de índices de preços. • Na quarta seção são especificados e estimados dois modelos factíveis, para as fórmulas de Laspeyres e de Konüs-Byushgens. • Na última seção os resultados obtidos são analisados e feitos alguns comentários sobre aspectos práticos importantes do cálculo de IPCs que não foram discutidos no texto.

6. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • A referência fundamental é o artigo do economista russo Alexander AlexandrovichKonüs (1924) • Konüs parte do problema de otimização clássico em que um consumidor (unidade de consumo) individual visa maximizar uma função utilidade , considerados dois períodos - período base (anterior), em que t= 0, e referência (atual), em que t=1. • Assim, dado um vetor de preços , o vetor correspondente de quantidades é a solução de um problema de minimização de custo, que é a outra face do problema de maximização a seguir:

7. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático

8. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Função custo unitário resultado da otimização e índice de preços de Konüs

9. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Enfoque Axiomático • Na literatura sobre números-índices é destacada, em geral, a correspondência deste enfoque, também denominado de lógico-matemático e dos "testes de Fisher", ao da teoria econômica. • A origem dessa abordagem de busca de solução para o "problema dos números-índice” é o texto clássico de Fisher (1922). Os testes de Fisher são relacionados, a seguir: • i)Teste de Identidade; • ii)Teste de Proporcionalidade • iii)Teste de Homogeneidade (invariância a mudança de unidade)

10. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • iv) Teste de reversão Temporal • v) Teste Circular: isto é, o número-índice entre quaisquer dois períodos de uma série deve ser independente de como os preços evoluíram, ao longo do tempo, nos períodos intermediários; • vi)Teste de reversão de Fatores ou decomposição das Causas: o produto de um número-índice de preços por um número-índice de quantidade deve ser igual ao número-índice de valor. • Fisher (1922) propôs um ranking das fórmulas discutidas, conforme o "viés" relativamente à fórmula considerada por ele ideal uma fórmula supostamente ideal: worthless, poor, fair,good, verygood, excellent e superlative.

11. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Quanto aos testes, os mais restritivos são os de reversão de fatores e o circular. No entanto esses testes podem ser contornados permitindo-se, no primeiro caso, a adoção de fórmulas diferentes para preços e quantidades e, no segundo, utilizando-se o conceito de índice encadeado. • No caso prático de deIPCs em que as ponderações-base são mantidas fixas, por anos, os axiomas relevantes levam em consideração apenas vetores de preços para cada período (p0, p1,...., pt). • Em vista disso, os axiomas relevantes para IPCs são apresentados, a seguir.

12. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • T1: Positividade: P(pt-1, pt)>0 se todos os preços são positivos. • T2: Continuidade: P(pt-1, pt) é uma função contínua dos preços. • T3: Identidade: P(pt, pt)=1. • T4: Homogeneidade para os preços do período t: P(pt-1, pt)=  P(pt-1, pt) para todo>0. • T5: Homogeneidade para os preços do período t-1: P(pt-1, pt)= -1 P(pt-1, pt) para todo>0. • T6: Invariância ao sistema de classificação adotado, mantida a composição do índice: P(pt-1, pt)= P(p’t-1, p’t)= em que os vetores p’t, p’t-1 têm seus elementos permutados da mesma forma relativamente a pt, p0.

13. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • T7: Comensurabilidade ou invariância a mudanças nas unidades de medida ou padrão monetário • T8: Reversão temporal: P(pt, pt-1)=1/ P(pt-1, pt). • T9: Circularidade ou Transitividade: P(p0, p2)= P(p0, p1)P(p1, p2). • T10: Valor médio: • T11: Monotonicidade com relação aos preços no período t: P(pt-1, pt)< P(pt-1, pt’) se pt< pt’. • T12: Monotonicidade com relação aos preços no período t-1: P(pt-1, pt)> P(pt-1’, pt) se pt-1< pt-1’. • .

14. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • De acordo com Eichhorn e Voeller (1976) um índice elementar de preços P(p0, p1) é uma função de 2n variáveis, que satisfaz T1, T2, T3, T4, T5, T7, T11 e T12. Essas propriedades fundamentais são atendidas pelas fórmulas elementares mais utilizadas que são: • Fórmula de Dutot: • Fórmula de Jevons

15. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Na prática, séries de números-índice de preços, como os IPCs, são calculados por um processo de encadeamento de índices bissituacionais • a elaboração de séries encadeadas pode ser ancorada no conceito de subíndice, desde que válida a hipótese de a função utilidade ser separável no tempo e/ou noconceito de índice integral de Divisia. • Uma série de índice seria a correspondente aproximação discreta ao índice integral. Divisia (1926) tomou como ponto de partida a Teoria Quantitativa da Moeda, que pode ser colocada em correspondência com o teste de decomposição das causas ou reversão de fatores de Fisher.

16. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Diferenciando • Dividindo pelo valor em t

17. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Assim, • Dividindo e multiplicando o numerador por pi(t)

18. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Como as fórmulas utilizadas na prática para cálculo de IPCs são aplicadas para períodos discretos e depois encadeadas, constituem-se em aproximações discretas à Integral de Divisa. Mostraremos isto para o caso do índice Laspeyres-preço.

19. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • as expressões apresentadas, a seguir, nota-se que o "Índice integral de Divisia" pode ser interpretado como uma média ponderada das taxas de variação instantânea de cada componente, onde os pesos correspondem à participação destes no orçamento a cada instante t. • .

20. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • O conceito ICV de Konüs para um consumidor individual pode ser utilizado como referência para a definição de índices para um grupo de consumidores (sociedade) nos moldes estabelecidos por Pollak (1989). • Esse autor discutiu dois conceitos de índice- plutocrático e democrático. • A ponderação do bem i para o grupo de consumidores g, o peso de cada grupo nos gastos totais de consumo e a ponderação de bem no total das despesas do conjunto de consumidores, no período t, são definidas, respectivamente, como,

21. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático

22. Uma Síntese da Teoria Econômica dos Números- Índice de Preços e do Enfoque Axiomático • Adotando-se Se adotarmos a hipótese de que os preços são iguais para todas as classes de consumidores, que não é uma hipótese irrealista se considerarmos que, na maioria das transações, os consumidores são tomadores de preços, as fórmulas de Laspeyres e Konüs-Byushgens podem ser simplificadas para: • :

23. Enfoque Estocástico O enfoque estocástico parte da hipótese de que a variação de preço uma mercadoria, ou o equivalente relativo de preço, pode ser decomposto em dois componentes, um de tendência comum, a inflação e outro de choque aleatório O primeiro componente, representaria uma variação proporcional do nível de preços (quantidades), enquanto os desvios, em termos de relativos de preços (quantidades) de cada bem ou serviço relativamente à inflação, corresponderiam a choques aleatórios, que poderiam ser tratados de forma análoga aos erros de observação. Este enfoque se fundamenta a utilização de amostragem probabilística na escolha de amostras de produtos e de informantes e na determinação de estruturas de ponderações.

24. Enfoque Estocástico • Modelos para as fórmulas de Carli e Jevons, supondo distribuição normal para os termos aleatórios: • Carli • Jevons

25. Enfoque Estocástico • variância do estimador e o estimador da variância do termo aleatório são apresentados a seguir: • Os modelos podem ser estimados por MQO

26. Enfoque Estocástico • Para as fórmulas que utilizam ponderações para os componentes, o melhor estimador deixa de ser o de MQO e passa a ser o de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG), que por sua vez pode ser considerado um caso especial do GMM • No caso de Laspeyres, tem-se:

27. Enfoque estocástico • O estimador de MQG é : • No caso de Konüs-Byushgens, tem-se:

28. Enfoque Estocástico • O modelo que tem como estimador a fórmula de Konüs-Byushgens pode ser obtido como um caso particular do modelo mais geral apresentado a seguir.

29. Enfoque Estocástico • O estimador de MQG é : • Este tem como estimador de MQG a fórmula superlativa de Theil- Tornqvist. No caso particular estruturas de ponderações fixas o estimador corresponde ao “índice geométrico”, também denominado de “índice de elasticidades unitárias” e que Diewert (2003) atribuiu a Konüs e Byushgens.

30. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Os dois modelos a serem comparados foram especificados tomando como referência o conceito de média ponderada de ordem  de relativos de preços (Hansenkamp, 1976). • Isto permite obter fórmulas considerados os três enfoques teóricos discutidos, desde se acrescente a cada modelo um termo aleatório :

31. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • A fórmula de Laspeyres, exata para funções de utilidade à “Leontief”, corresponde a uma média aritmética ponderada é obtida para • Por sua vez a fórmula de Konüs-Byushgens, exata para uma função custo homogênea linear a “Cobb-Douglas”, corresponde a uma média geométrica ponderada é obtida para: • A fórmula de Theil- Tornqvist, exata para funções translog, é obtida para e ponderações médias dos períodos 1 e 0

32. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • A dificuldade de aplicação de fórmulas superlativas ao cálculo de IPCs reside no fato de demandarem atualização do sistema de ponderações a cada etapa do cálculo. • Isto também ocorre no caso de séries de números-índice em que a cada elo da cadeia é alterada a estrutura de ponderações, que incluiria além das fórmulas citadas as de Laspeyres e o de Konüs-Byushgens. • Assim, todos os modelos analisados não são factíveis no caso de IPCs, sendo necessário aplicar adaptações • As fórmulas adaptadas de Laspeyres, conhecida como Laspeyres-BLS, e de Konüs-Byushgens, utilizada no IPC-FIPE, são mostradas a seguir.

33. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Laspeyres BLS • Konüs-Byushgens

34. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Na fórmula de Laspeyres modificado está implícita a hipótese de que o “quantum” de cada subitem é mantido fixo nos intervalos entre duas estruturas de ponderação. • Isto só é compatível com demanda perfeitamente inelástica a preço do bem composto representado pelo “produto”. • Por sua vez, o índice Konüs-Byushgens, ou índice geométrico, assume implicitamente a hipótese de elasticidade-preço da demanda unitária para cada subitem.

35. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Evidentemente se o preço relativo não se altera ou se altera muito pouco as diferenças entre os dois índices serão nulas ou muito reduzidas. • Mas, quando a estrutura de ponderação básica não é atualizada por anos e a variância de preços relativos dos produtos é elevada, as diferenças entre índices calculados por essas duas fórmulas tendem a se tornar mais significativas. • Na mesma linha de argumentação é importante avaliar a implicação de utilizar a fórmula de Dutot ou a de Jevons para o cálculo dos índices elementares

36. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Com relação às fórmulas elementares Vartia(1978) e Diewert (1995 e 2003) associam as diferenças de resultados à dispersão de relativos de preços e demonstram que as fórmulas de Dutot e Jevons se aproximam à segunda ordem • Considerando que o principal fator de divergência pode ser atribuído a opção de fórmula agregativa, mostraremos como esta divergência está relacionada ao padrão de dispersão de preços relativos. O primeiro passo é apresentar as duas fórmulas como médias de relativos de preços, como segue:

37. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Expandindo a função em uma série de potências pelo procedimento de MacLaurin, ou seja, para ai =0, e truncando no segundo termo, obtém-se • Como o peso da maioria dos subitens é inferior a 1% e, salvo casos de hiperinflações, a taxa de variação de preço de cada subitem é próxima de zero, as parcelas de grau 2 podem ser desprezadas. Assim

38. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Assumindo que cada relativo foi deflacionado pelo índice geral, de modo que sua média é igual à unidade, podemos interpretar o termo à direita como uma medida de dispersão de preços relativos. • Assim, quanto maior a dispersão maior seria a diferença entre os dois índices. • Uma vez especificados os dois modelos estatísticos, com a inclusão de um termo aleatório, é possível estimá-los como “measure-estimators” para obter índices mensais e as respectivas medidas de dispersão

39. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • O grau de precisão do índice é obtido a partir do erro padrão de cada especificação de produto estimado a partir de cotações de preços nos períodos de referência e base de cálculo. • Por sua vez, para estimar a dispersão entre produtos, que é relacionada a diferença de resultados entre as duas fórmulas factíveis analisadas será utilizada a “variância de preço de Divisia” • A base de dados de preços e ponderações foi a do IPC-FIPE em que foram selecionados, mensalmente de janeiro de 2000 a novembro de 2010, amostras de especificações de produtos representativas de todos os grupos de despesa do IPC-FIPE.

40. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Para facilitar o processamento só foram incluídos os produtos que compõem atualmente o índice • Assim, devido às substituições de produtos ao longo do tempo, a amostra variou de 446 produtos elementares (especificações de produtos) e cerca de 27000 cotações, em janeiro de 2000, até atingir 774 especificações e cerca de 50.000 cotações em novembro de 2010. • Devido a peculiaridades das amostras de produtos elementares em parte associadas ao processo de formação de preços estes foram divididos em quatro grupos.

41. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Alimentos não Industrializados com participação de 10,95% • Industrializados com participação de 38,01% • Serviços Indexados com participação de 20,99% • Serviços de Mercado com participação de 30,05% • No grupo dos Serviços Indexados foram incluídos aqueles com indexação sazonal, ou seja, cuja alteração de preços se concentra em determinados períodos e como ocorre, por exemplo, com as tarifas de transporte público • Serviços como aluguéis residenciais foram incluídos no grupo de Serviços de Mercado

42. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Além da divergência explicada pela utilização de fórmulas diferentes, a estimação de IPCs envolve outras fontes de erro, classificados por Hansen e Lucas (1984) como erros amostrais e de mensuração. • Os erros amostrais dependeriam da variabilidade intrínseca dos dados, do tamanho da amostra e do processo de amostragem utilizado. Os erros de mensuração são relacionados à aos métodos de coleta de preços • Um estimador do erro amostral, que pode ser aplicado aos dois modelos, baseado na proposta de Banerjee (1975) é o da média ponderada de erros-padrão dos produtos elementares para cada mês, ou seja

43. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • O problema passa a ser de como calcular o coeficiente de variação de cada produto elementar a cada mês. Tomando como referência a fórmula de Dutot que apresenta resultados próximos a de Jevons, o erro-padrão amostral pode ser estimado segundo Cochran (1988) por:

44. Especificação e Estimação de Modelos de IPCs Factíveis Baseados nas Fórmulas de L-BLS e KB • Outra medida de dispersão importante é a variância de preços relativos,. • Evidências empíricas indicam que fórmulas superlativas tendem a apresentar resultados próximos; em conjunturas inflacionárias a fórmula de Laspeyres tende a apresentar índices superestimados, relativamente aos superlativos, enquanto a fórmula de Konüs-Byusgens tende a apresentar subestimação, se bem que de menor magnitude. • Uma medida dessa dispersão, segundo Selvanathan e Rao (1994), é dada por:

45. Considerações Finais • Nas tabelas de resultados mostradas em anexo duas questões são merecedoras de atenção especial: • o fato da fórmula de Laspeyres-BLS ter apresentado uma variação acumulada de 95.31% e a de Konüs-Byushgens de 85,76%, quando aplicadas a mesma base de dados • o grau elevado de dispersão medido pelo erro-padrão. • Uma implicação importante dos resultados obtidos na comparação entre fórmulas diz respeito à utilização de IPCs como deflatores e inflatores de valores.

46. Considerações Finais • Do ponto de vista restrito de sua utilização para a construção de variáveis utilizadas em modelos econométricos a diferença obtida dá uma medida do erro em variáveis deflacionadas que pode se constituir em fator de viés, correspondente ao viés de erro nas variáveis. • Finalmente no que se refere ao erro-padrão, observa-se que em geral foi afetado pelos valores estimados para o grupo de serviços de mercado, que inclui o aluguel e planos de saúde, cujos erros-padrão devem estar superestimados devido ao modo como é constituída a amostra para fins de cálculo dos índices mensais

47. Considerações Finais • Além disso, a fórmula utilizada não considerou a possibilidade de correlação entre os relativos de preços de produtos elementares, como por exemplo, os cortes de carne de primeira. • Assim, o refinamento da modelagem com relação ao termo idiossincrático, no enfoque estatístico, nos modelos especificados para a estimação de índices para produtos elementares, tenderá a levar à redução dos valores obtidos para medidas de dispersão em IPCs.

49. FIPE - Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas

50. FIPE - Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas