REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

1. CURS 7 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE A)METODA LUI GAUSS • Metoda lui Gauss presupune transformarea sistemului [A]·{x} = {B} intr-un sistem superior triunghiular, si apoi rezolvarea acestuia prin substitutie inversa. • Constructia sistemului superior triunghiular se face astfel: • la pasul k se elimina xk din ecuatiile k + 1, ..., n, prin inmultirea ecuatiei k cu mik = −aik/akk (elementul akk = pivot) si adunarea acestora la ecuatia i (i > k). In functie de alegerea pivotului, exista urmatoarele variante ale metodei lui Gauss: 1. metoda lui Gauss clasica – in care la fiecare pas, pivotul este elementul akk, k = 1, n; 2. metoda lui Gauss cu semipivot - in care la fiecare pas, se alege ca pivot elementul aik maxim in valoare absoluta pe coloana, pentru i > k, permutandu-se linia k cu linia i; 3. metoda lui Gauss cu pivot total - in care la fiecare pas, se alege ca pivot elementul maxim atat pe linie, cat si pe coloana, pentru i > k, j > k, permutandu-se linia k cu linia i si coloana k cu coloana j;

2.       bn xn = - ann In acest fel, sistemul se reduce la forma superior triunghiulara: a11 a12 … a1,n-2 a1,n-1 a1,n 0 a22 … a2,n-2 a2,n-1 a2,n … … … … … … 0 0 0 … an-1,n-1 an-1,n 0 0 0 … 0 an,n   x1 x2 ¦ xn b1 b2 ¦ bn · =     iar rezolvarea sistemului se face prin substitutie inversa: 1 xk = (bk -  akj·xj)· k = 1, 2,…, n-1 akk

3.    APLICATIA 1 Sa se rezolve urmatorul sistem de ecuatii, folosind cele trei variante ale eliminarii Gauss: x + y + z = 6 2x − y + 3z = 9 x + 4y + z = 12. Matricea sistemului este: 1 1 1 2 −1 3 1 4 1 A = ; det A = -3  sistem compatibil determinat, deci metoda lui Gauss poate fi aplicata. Rezolvare utilizand metoda lui Gauss clasica A. Constructia sistemului superior triunghiular Pasul 1 • pivot: a11 = 1 • m21 = − 2/1 = -2 • m31 = −1/1= −1 1 1 1 6 0 -3 1 -3 0 3 0 6 L2→L2+m21L1 L3→L3+m31L1 1 1 1 6 2 -1 3 9 1 4 1 12

4. Pasul 2 • pivot: a22 = −3 • m32 = −3/(−3) = 1 1 1 1 6 0 -3 1 -3 0 3 0 6 1 1 1 6 0 -3 1 -3 0 0 1 3 L3→L3+m32L2 • z = 3 • -3y + 3 = -3  y = 2 • x = 6 – y – z  x = 1 {B} [A] Rezolvare cu metoda lui Gauss cu semipivot A. Constructia sistemului superior triunghiular Pasul 1 • Ca pivot se ia elementul ai1 de modul maxim de pe coloana 1. In cazul nostru, pivotul este a12, deci se permuta linia 1 cu linia 2, si se fac zerouri pe coloana 1 pentru i > 1: 1 1 1 6 2 -1 3 9 1 4 1 12 L2→L2−1/2L1 L3→L3−1/2L1 2 -1 3 9 0 3/2 -1/2 3/2 0 9/2-1/215/2 2 -1 3 9 1 1 1 6 1 4 1 12 L2↔L1

5. Pasul 2 • Ca pivot se ia elementul ai2 de modul maxim de pe coloana 2, pentru i ≥ 2. In cazul nostru, pivotul este a32, deci se permuta linia 2 cu linia 3 si se fac zerouri pe coloana 2, pentru i > 2: 2 -1 3 9 0 3/2 -1/2 3/2 0 9/2-1/215/2 2 -1 3 9 0 9/2 -1/2 15/2 0 0 -1/3 -1 L3→L3−1/3L2 {B} [A] In acest moment am ajuns la un sistem de forma [A]·{x} = {B}, echivalent cu sistemul initial, in care matricea A este superior triunghiulara, iar: B. Rezolvarea sistemului superior triunghiular se face ca si in cazul metodei lui Gauss clasice, si conduce la solutia x = 1, y = 2, z = 3. Rezolvare cu metoda lui Gauss cu pivot total A. Constructia sistemului superior triunghiular Pasul 1 • Ca pivot se alege elementul aij de modul maxim pentru i, j ≥ 1. In cazul nostru pivotul este a32, deci se permuta linia 3 cu linia 1, si coloana 2 cu coloana 1:

6.       1 1 1 6 2 -1 3 9 1 4 1 12 4 1 1 12 -1 2 3 9 1 1 1 6 1 4 1 12 2 -1 3 9 1 1 1 6 L3↔L1 C2↔C1 • Pentru corectitudinea rezultatului final este necesar ca, ori de cate ori se permuta coloanele matricei extinse, sa se permute si elementele corespunzatoare ale vectorului x. Astfel, avem: x y z y x z  x2↔x1  x =     • In final, obtinem: L2→L2+1/4L1 L3→L3−1/4L1 4 1 1 12 -1 2 3 9 1 1 1 6 4 1 1 12 0 9/4 13/4 12 0 3/43/4 3 Pasul 2 • Ca pivot se alege elementul aij de modul maxim pentru i, j ≥ 2. Deoarece pivotul este a23, se permuta coloana 3 cu coloana 2:

7.             4 1 1 12 0 9/4 13/4 12 0 3/43/4 3 4 1 1 12 0 13/4 9/4 12 0 3/43/4 3 C3↔C2 y z x y x z x3↔x2 x = [A] {B} 4 1 1 12 0 13/4 9/4 12 0 3/43/4 3 4 1 1 12 0 13/4 9/4 12 0 0 3/133/13 L3→L3− 3/13 L2 B. Rezolvarea sistemului superior triunghiular se face ca si in cazul metodei lui Gauss clasice, si conduce la solutia x = 1, z = 3, y = 2.

8. l11 0…. 0 l21 l22 ... 0 …. ln1 ln2 … lnn B) FACTORIZAREA CHOLETSKI In cazul matricelor simetrice ([A]=[A]T) si pozitiv definite ([X]T[A]·[X] > 0 , pentru orice vector {X} nenul) una dintre cele mai eficiente metode de rezolvare a sistemelor liniare este factorizarea Cholesky. Metoda consta in descompunerea matricei [A] in [L] si [L]T astfel incat: [A]=[L]·[L]T unde [L] este matrice inferior triunghiulara. Aceasta descompunere se poate face pentru orice matrice [A] simetrica si pozitiv definita: [L] = Elementele matricei [L] se obtin in functie de cele ale matricei [A] prin identificarea termen cu termen a rezolvarii produsului matriceal. Se obtin urmatoarele relatii de recurenta: i - 1  2 l11= a11 ; li1 = ai1/l11 ; lii = aii - lii , 1 < i = j l = 1 j - 1  -1 lij = (aij - llillj)·ljj , i > j > 1, lij = 0 pentru i < j l = 1

9. Relatia anterioara arata ca termenii de pe diagonala principala rezulta sub forma radacinii patrate din diferenta dintre elementele diagonalei respective aii si suma patratelor tuturor elementelor de pe aceeasi coloane calculate anterior. Termenii secundari se calculeaza ca diferente intre elementele respective aij al matricei [A] si suma unor produse de cite doi factori, reprezentind elementele coloanelor i si j, totul impartit la termenul corespunzator de pe diagonala principala lii. Rezolvarea sistemului de ecuatii: [L]T·[L]·[X] = [B] Cu notatia [L]·[X]= [B'] procedura de rezolvare in doua etape se aplica dupa cum urmeaza: • • Substitutia inainte:[L]·[B'] = [B]⇒[B'] • Substitutia inapoi: [L]·[X]= [B']⇒[X] i - 1  -1 -1 ‘ ‘ = (bi - lji·bj)·lii , i = 1, 2, 3,…, n b1 ‘ = b1·(l11) ; bi j = 1 -1 ‘ xn = bn / lnn , i = n-1, …, 1 n  -1 ‘ xi = (bi - lij·xj)· lii , i = n-1, …, 1 j = i+1