JEDNAČINA PRAVE

1. JEDNAČINA PRAVE Begzada Kišić

2. Osnovni zadaci analitičke geometrije su : - nacrtati liniju čija je jednačina data - naći jednačinu date linije. Postoje razni oblici jednačine prave u zavisnosti od toga čime je ona određena.

3. Eksplicitni (glavni) oblik • Položaj prave u koordinatnom sistemu jednoznačno je određen: - uglom α koji prava zatvara (gradi) sa pozitivnim smjerom ose x i - odsječkom n koji prava odsijeca na osi y.

5. Ako posmatramo jednu pravu i znamo ugao α i odsječak n naš zadatak je odrediti njenu jednačinu. • Uzećemo proizvoljnu tačku date prave M(x,y). • Veza između koordinata x i y predstavljaće jednačinu date prave.

7. U pravouglom trouglu imamo ugaoα pa primjenom trigonometrije dobijamo:

8. Jednačina (1) : y=kx+n predstavlja eksplicitni ili glavni oblik jednačine prave. • Da bi neka tačka pripadala datoj pravoj njene koordinate moraju zadovoljiti jednačinu prave. • Parametri k i n su za datu pravu konstante i od njih zavisi položaj prave u koordinatnom sistemu.

9. Specijalni slučajevi

10. Primjer 1.Napisati jednačinu prave koja sa osom x gradi ugao α=60˚, a na osi y odsijeca odsječak n=-2. Rješenje: Tražena jednačina u eksplicitnom obliku je y=kx+n pri čemu je:

12. Segmentni oblik • Položaj prave jednoznačno je određen odsječcima (segmentima) koje prava odsijeca na koordinatnim osama. • Postoji samo jedna prava koja na osi x odsijeca odječak m, a na osi y odsijeca odsječak n. • Treba odrediti jednačinu te prave.

14. Kod sličnih trouglova stranice su proporcionalne pa je:

15. Jednačina (2) predstavlja segmentni oblik jednačine prave. • Primjer 2. Nacrtaj grafik prave čija je jednačina Rješenje: Datu jednačinu možemo napisati u obliku:

16. Zaključujemo da data prava odsijeca na koordinatnim osama odsječke n=1 i m=3.

17. Implicitni (opći) oblik • Svaka linearna jednačina: ax+by+c=0 (3) sa dvije nepoznate predstavlja jednačinu prave u implicitnom obliku.

18. Implicitni oblik možemo prevesti u eksplicitni oblik

19. Takođe implicitni oblik možemo prevesti u segmentni oblik

20. Primjer 3. Data je jednačina prave u implicitnom obliku 2x-3y+6=0. Odredi njen koeficijent pravca k i odsječke m i n koje ona odsijeca na koordinatnim osama. Rješenje: Da bismo odredili parametre k, m i n moramo jednačinu prave napisati u eksplicitnom i segmentnom obliku.

21. a)

22. Sad kad znamo odsječke lako je nacrtati pravu.

23. Zaključak: • Da bismo napisali jednačinu date prave moramo iskoristiti podatke da odredimo njene parametre. • Ako odredimo koeficijent pravca k i odsječak n na osi y možemo je napisati u eksplicitnom obliku. • Ako izračunamo njene odsječke m i n na koordinatnim osama možemo je napisati u segmentnom obliku. • Svaki oblik jednačine prave možemo transformisati u ostale oblike.

24. Zadaci: • 1. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(6,-4) i na osi x odsijeca odsječak 3. • 2. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(3,-7) i na koordinatnim osama odsijeca jednake odsječke. • 3. Prava prolazi kroz tačku M(-5,4) i sa koordinatnim osama gradi trougao površine P=5. Odredi njenu jednačinu. • 4. U jednačini 2x-(5p-2)y-3=0, odrediti parametar p tako da grafik prave sa osom x gradi ugao α=45˚.

25. HVALA NA PAŽNJI!