피타고라스 삼각형이야기

1. 피타고라스 삼각형이야기 한광고등학교 영재학급 정원식

2. 차례 피타고라스 소개 피타고라스의 생애 피타고라스의 업적 나의 견해 피타고라스의 삼각형 느낀점

3. 소개 이름 : 피타고라스 국적 : 그리스 학문 분야 : 음악 ·수학 ·천문학 ·의학 명언 ; 만물의 근원은 수이니라

4. 에게 해(海) 사모스섬 에서 태어났다. 아버지 므네사르코스 (Mnesarchos)는 이집트, 그리스, 이탈리아, 에게 해 등지를 돌아다니며 장사를 하는 상인이었으며 아들이 최고의 교육을 받을 수 있도록 배려하였다. 어려서부터 리라 연주와 그림, 운동을배울 수 있도록 하였고긴 여정의 장사 길에 함께 데려가기도 하였다. • 이후 피타고라스의 스승이었던 탈레스(Thales)의 주선으로 이집트로 유학을 떠나23년간 수학하였으며, 페르시아의 침략으로 이집트가 함락되고 포로가 되어 바빌론으로 이송되어 12년을 보냈다. 이집트 문명과 메소포타미아 문명을 접한 피타고라스는 56세에 고향으로 돌아와 남 이탈리아의 그리스 식민지 크로톤 섬에 학술 연구 단체이면서 수도원 성격을 띤 최초의 철학공동체를 결성하였다. 피타고라스 공동체는 영혼의 윤회사상을 가르치며 육식을 금하는 채식주의를 따랐고백색의 옷과 담요를 사용하였다. • 그 후 메타폰티온으로 이주하여 그곳에서 생애를 마쳤다. 피타고라스 공동체는 온화와 겸손, 과묵을 덕목으로 추구하였으며, 신들과 양친,친구,계율에 대하여 절대적 신실(信實)과 자제,복종을 설파하였다. 피타고라스의 생애

5. 그의 종교적 교의는 윤회(輪廻)와 사후의 응보로서 동시에 인간과 동물과의 유사성을 강조하고 육식을 금하였다. 이론적 방면의 연구에서는 음악과 수학을 중시하였는데, 음악에서는 일현금(一絃琴)에 의하여 음정이 수비례(數比例)를 이루는 현상을 발견하고 음악을 수학의 한 분과로 보았다. • 피타고라스는 자신의 사상을 기록하는 것을 금지하였으며 저서를 남기지도 않았기 때문에 그의 업적이 그 자신의 것인지 또는 초기 제자들의 것인지의 구별은 이미 아리스토텔레스 시대에 확인할 수 없게 되었다. 오늘날에는 제자인 필로라오스와 기타 학자들의 저술의 단편에 의하여 당시 피타고라스와 그 일파의 업적이 알려져 있다. 피타고라스는 만물의 근원을 ‘수(數)’로 보았다. 그 수는 자연수를 말하는 것으로 이들 수와 기하학에서의 점과를 대응시켰다. 음악을 수학의 한 분과로 본 예ex) 피타고라스의 해머 피타고라스의 업적

6. 예컨대 자연수 계열의 연속항의 임의의 항까지의 합은 삼각형수이고, 마찬가지로 기수계열의 합은 정사각형 수, 우수계열의 합은 직사각형수라는 방법으로 정의하였다.또 완전수, 인수의 합, 비례와 평균의 연구, 상가평균, 조화평균 등도 분류하였다.피타고라스의 정리도 그 자신의 업적인지 제자들의 업적인지는 불분명하며 그의 증명법도 오늘날에는 알려져 있지 않다.(오늘날의 그 정리의 증명법은 매우 다양하며 가장 대표적인 증명법은 유클리드에 유래한다 • 그런데 이의 정리에서 의외로 곤란한 문제가 발생하였다. 즉, 정사각형의 한 변과 그의 대각선과의 관계에 대한 문제이다. 이 경우 대각선의 길이는, 한 변을 1이라 할 때 √2가 되어 약분이 불가능한 무리수가 된다. 이것은 자연수만을 수로 생각한 피타고라스와 그의 제자들에 있어서는 극히 난문제였기 때문에 수로부터 제외시켰던 것이다. 또 피타고라스와 그의 제자들은 임의의 삼각형의 내각의 합이 2직각(180°)과 같음을 발견하고 이를 증명하였다.'플라톤의 다면체(多面體)'로 불리는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정 십이면체, 정 이십면체를 알고 있었다고 한다. 정 십이면체는 정오각형의 작도를 필요로 하지만 한 선분을 중 외비(中外比)로 끊는 문제로 환원시켜 이 작도에 성공하였다.

7. 그리하여 피타고라스는 이 정오각형에서 생기는 성형오각형(星形五角形)을 그의 교단의 휘장(徽章)으로 채택하였다고 한다. 피타고라스가 수학에 기여한 공적은 매우 크며, 그의 영향은 플라톤, 유클리드를 거쳐 근대에까지 미치고 있다. 천문학에서는 지구가 구형(球形)임을 확신하고, 우주의 중심은 태양이며 태양을 중심으로 지구가 공전함을, 지구 자전으로 인한 낮과밤의 생김, 기울어진 자전축으로 인한 계절의 변화가 생김을이미 설명하고 있었다.그러나 이후 다른 과학자들에 밀려 1000여년 간 다른 학자들의 인정을 받지 못하다가 16세기 코페르니쿠스의 지동설로 인해 과학혁명의 최초에 피타고라스가 있었음이 인정되었다.피타고라스에 의해 우주는 코스모스(Cosmos)로 불려지기 시작하였다.

8. 피타고라스 정리에 대한 나의 견해 • 피타고라스 정리는 실생활에서도 유용한 수학정리인 것 같다. 피타고라스 정리는 직각 삼각형을 만들 때 유용하다 하지만 피타고라스의 업적을 생각해보면 내가 발표하는 피타고라스 정리는 손톱만큼의 때도 안 된다고 본다.

9. 삼각형이란? 세 개의 변으로 이루어진 다각형 종류 • 1. 정삼각형 정의) 세 변의 길이가 같은 삼각형 정리) 세 내각이 크기가 모두 같은 삼각형 • 2. 직각삼각형 정의) 한 각이 직각인 삼각형 • 3. 이등변삼각형 정의) 두변의 길이가 같은 삼각형 정리) ① 두 밑각의 크기는 같다. ② 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. ③ 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분한다. • 4. 예각삼각형 정의)세 내각의 모두 예각인 삼각형 • 5. 둔각삼각형 정의) 한 내각이 둔각인 삼각형 피타고라스의 삼각형

10. 피타고라스의 정리

11. 위의 삼각형에서 a2+b2=c2을 만족하는 수들을 피타고라스의 수 라하며 그 수들에는 (3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (7, 24, 25),(21, 20, 29), (9, 40, 41), (35, 12, 37), (11, 60, 61), (45, 28, 53), (33, 56, 65), (13, 84, 85), (63, 16, 65), (55, 48, 73), (39, 80, 89), (15, 112, 113), (77, 36, 85), (65, 72, 97), (17, 144, 145)...등 이있다.

12. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(피타고라스의 정리) 그림에서 △ ABC ≡ △ QEB ≡ △ RDE ≡ △ PCD 이므로 □ BEDC는 정사각형이다. ∴ □ AQRP = □ BEDC + 4 △ ABC (b+c)2 = a2 + 4 * bc/2 b2 + 2bc +c2 = a2 + 2bc ∴ b2+ c2 = a2

13. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(유클리드의 정리) ‘유클리드 Euclid 원론'의 47번째 명제로 '목수의 정리'로 알려진 피타고사스의 정리의 증명법이다. 옆의 그림과 같이 ∠C=90°인 직각삼각형 ABC 에 대하여 세 변의 길이를 각각 한 변의 길이로 하는 정사각형 ADEB, ACHI, BFGC를 그린다.점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발을 M, 그 연장선과 변 BE와 만나는 점을 N이라고 하자. 이 때□ ACHI = 2 △ ACI ‥‥‥(1)또, 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,△ ACI =△ ABI ‥‥‥(2)두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로,△ ABI ≡△ ADC ‥‥‥(3)밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로,△ ADC =△ ADM‥‥‥(4)또, □ ADNM = 2 △ ADM ‥‥‥(5)(1), (2), (3), (4), (5)에서□ ACHI = □ ADNM ‥‥‥(6)같은 방법으로□ BFGC = □ MNEB‥‥‥(7)(6), (7)에서□ ADEB = □ ACHI+ □ BFGC ∴

14. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(페리갈의 정리) • △ABC에서 변 BC를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 4a+b가 됨에 주목한다.단 O는 변 AC를 한 변으로 하는 정사각형의 중심이며, O를 지나고 선분 BC에 평행 또는 수직인 선분으로 정사각형을 4등분한 것이다.

15. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(아나리지의 정리) B, D를 지나고 선분 AC, 선분 BC에 평행선을 그리면 (1), (2), (3), (4), (5)의 넓이가 각각 같아서 AC2 + BC2 = AB2

16. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(가필드의 정리) □ DECA = △ DEB + △ ABC + △ DBA ∴ a2 + b2 = c2

17. 피타고라스 정리의 다양한 증명 방법(바스카라의 정리) ∴ c2 = a2 + b2

18. 느낀점 중3때 피타고라스의 삼각형에 대해 처음 알게 되었었다. 그 때는 시험을 목적으로 해서 그냥 표면부분만을 했었는데 지금 영재학급 활동을 하면서 보니까 피타고라스에 대해 더 자세히 알 수 있었으며, 피타고라스의 정리에 대해서도 알고 있던 내용과 알지 못했던 내용에 대해 알 수 있었다. 특히 피타고라스 정리의 증명 방법을 더 많이 알 수 있어서 좋았다.