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数形结合思想

数形结合思想 1 、数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2. 运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则： （ 1 ）等价性原则 . 在数形结合时，代数性质和几何 性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏

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数形结合思想

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  1. 数形结合思想 1、数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

  2. 2. 运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则： （1）等价性原则.在数形结合时，代数性质和几何 性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏 洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数 的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅 显的说明，要注意其带来的负面效应. （2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何 分析容易出错. （3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结 合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

  3. 二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系， 做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量 的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择 动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： （1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范 围; （2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范 围； （3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间 的大小关系； （4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的 最值问题和证明不等式； （5）构建立体几何模型研究代数问题; （6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型 研究最值问题；

  4. （7）构建方程模型，求根的个数； （8）研究图形的形状、位置关系、性质等. 4. 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方 法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着 奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方 面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时， 应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程） 的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的 是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的

  5. 表达式（有时可能先作适当调整,以便于作图），表达式（有时可能先作适当调整,以便于作图）， 然后作出两个函数的图象，由图求解. 5. 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需 做到以下四点： （1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及 曲线的代数特征； （2）要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化； （3）要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗 漏； （4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决 的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问 题求解. 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用 这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果.

  6. 一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的一、数形结合思想在解决方程、函数及不等式的 问题中的应用 例1 （1）已知：函数f（x）满足下面关系. ①f（x+1）=f（x-1）； ②当x∈［-1，1］时，f（x）=x2，则方程f（x）=lg x解的个数是（ ） A.5 B.7 C.9 D.10 （2）设有函数f(x)=a+ 和g(x)= 已知x∈［-4,0］时恒有f(x)≤g(x)，则实数a的取 值范围是 . 热点问题突破

  7. 思维启迪 （1）在同一坐标系中画出y=f(x)和y=lg x的图象,由它们交点个数判断方程的解的个数; (2)先将不等式f(x)≤g(x)转化为 然后在同一坐标系中分别作出函数 的图象，移动 的图象使其 满足条件，数形结合得要满足的数量关系. 解析 （1）由题意可知，f(x)是以2为周期，值域 为［0，1］的函数. 又f(x)=lgx，则x∈(0,10］,画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.

  8. （2）f(x)≤g(x). 即 变形得 令 ①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0), 即表示以(-2，0)为圆心,2为半径的圆的上半圆； ① ②

  9. ②表示斜率为 纵截距为1-a的平行直线系. 设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为 , 则有

  10. 要使f(x)≤g(x)在x∈［-4,0］时恒成立， 则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重 合， 故有1-a≥6, ∴a≤-5. 答案 （1）C （2）a≤-5 探究提高（1）用函数的图象讨论方程（特别是 含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程） 的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想 是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的 表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟

  11. 悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解的个数. （2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不 等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函 数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数 量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免 繁琐的运算，获得简捷的解答. （3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降； 奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域） 经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.

  12. 变式训练1已知f(x)是定义在 （-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时， f(x)的图象如图所示，那么不等式 f(x)cos x ＜0的解集是（ ） A. B. C. D. 解析 不等式f(x)cos x＜0等价于  f(x)＜0, cos x＞0, f(x)＞0, cos x＜0, 或

  13. 画出f(x)在（-3，3）上的图象，cos x的图象又 熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找 出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间 为 答案 B

  14. 二、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、二、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、 最值问题中的应用 例2已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)， （1）求m的取值范围； （2）求证： 思维启迪m可以看作两点（x,y）与(-3,-1)连线 的斜率，b可以看作直线y=-2x+b在y轴上的截距. (1)解m可看作过半圆x2+y2=3(y≥0)上的点 M（x,y）和定点A（-3，-1）的直线的斜率.

  15. 由图可知k1≤m≤k2(k1,k2分别为直线AM1，AM2的 斜率)， 圆心到切线k2x-y+3k2-1=0的距离为

  16. (2)证明 基 b可看作斜率为-2,过半圆 (y≥0)上一点P（x,y）的直线在y轴上的截距. 由图可知n2≤b≤n1,P2C的方程为 探究提高 条件中的数量关系决定了几何图形的 性质，反之，几何图形的性质反映了数量关系， 数形结合思想能将抽象思维与形象思维有机地结 合起来，恰当地运用可提高解题速度，优化解题 过程. x2+y2=3 ∵圆心到切线P1B：2x+y+c=0的距离

  17. 变式训练2已知实系数一元二次方程x2+ax+2b=0 有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根 在区间（1，2）内，求： （1）点（a,b）对应的区域的面积； （2） 的取值范围； （3）(a-1)2+(b-2)2的值域. 解 方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和 (1,2)上的几何意义分别是：函数 与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1）和 （1，2）内，由此可得不等式组 y=f(x)=x2+ax+2b f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0, b>0, a+2b+1<0, a+b+2>0.

  18. 在如图所示的aOb坐标平面内,满 足约束条件的点（a,b）对应的平 面区域为△ABC（不包括边界）. （1）△ABC的面积为 (h为A到Oa轴的距离).

  19. （2） 的几何意义是点（a,b）和点D（1，2） 连线的斜率. (3)∵(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点 (1，2)之间距离的平方,∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).

  20. 三、数形结合思想在几何问题中的应用 例3已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB 是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C 是圆心，求四边形PACB面积的最小值. 思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆.作出圆 的切线PA、PB,则四边形PACB的面积S四边形PACB =S△PAC+S△PBC=2S△PAC.把S四边形PACB转化为2倍的 S△PAC 可以有以下多条数形结合的思路. 利用数形结合 明确所求 画出对应图形 求解得结果

  21. 解方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直 线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动 时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC 越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变 小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂 直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时

  22. 方法二 利用等价转化的思想,设点P坐标为（x,y）， 则 由勾股定理及│AC│=1，得 从而欲求S四边形PACB的最小值， 只需求|PA|的最小 值， 只需求|PC|2=（x-1)2+(y-1)2的最小值，即定点C（1， 1）与直线上动点P（x,y）距离的平方的最小值，它

  23. 也就是点C（1，1）到直线3x+4y+8=0的距离的平 方，这个最小值 方法三 利用函数思想，将方法二中 中的y由3x+4y+8=0中解出， 代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最 值，也可得 PACB

  24. 探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法： 数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思 想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数 学问题快速得以解决.  变式训练3（1）已知点P在抛物线y2=4x上，那么 点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距 离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

  25. A. B. C.(1,2) D.（1，-2） （2）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆 的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径 作圆M.若过点 作圆M的两条切线互相垂直, 则该椭圆的离心率为. 解析(1)定点Q(2，-1)在抛物线内部，由抛物线 的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准 线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的 准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是 直线y=-1和抛物线y2=4x的交点，解得这个点的坐 标是

  26. (2)设切点为A，B，如图所示，切线AP、PB互相 垂直，又半径OA垂直于AP，所以△OPA为等腰直 角三角形，可得 所以 答案 (1) (2) A

  27. 规律方法总结 1.利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出 即可，不需要精确图象. 2.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度. 3.数形结合思想常用模型： 一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数的模）；点到直线的距离公式等.

  28. 一、选择题 • 设函数 若f（x0）＞1，则x0的 取值范围是 （ ）A.（-1，1） • B.（-1，+∞） • C.（-∞，-2）∪（0，+∞） • D.（-∞，-1）∪（1，+∞） • 解析方法一 因为f（x0）＞1，当x≤0时， •  ∴x0＜-1；当x0＞0时， ∴x0＞1. • 综上，x0的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞） 3、演练提升

  29. 方法二 首先画出函数y=f（x）与y=1的图象（如 图），解方程f（x）=1，得x=-1，或x=1.由图中易 得f（x0）＞1时，所对应x0的取值范围为(-∞，-1) ∪（1，+∞）. 答案 D

  30. 2.（2009·天津理，8）已知函数 若f(2-a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是 （ ）A.（-∞,-1）∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 〖解析 由f(x)的图象 可知f(x)在（-∞,+∞）上是单调递增函数，由 f(2-a2)＞f(a)得2-a2＞a,即a2+a-2＜0,解得-2＜a ＜1. C

  31. 3.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈ ［3,4］时，f(x)=x-2，则 （ ）A. B. C. D. 解析 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设 x∈［-1,0］,知x+4∈［3,4］,f(x)=f(x+4)=x+4- 2=x+2，画出函数f(x)的图象，

  32. 如图所示： 答案 C

  33. 4.方程 的实数解的个数是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.以上均不对 解析 分别作出 的图象，如图: B 由图象知方程的实数解有三个

  34. 5. 若{an}是等差数列，首项a1＞0,a2 003+a2 004＞0, a2 003·a2 004＜0,则使前n项和Sn＞0成立的最大 自然数n是 （ ） A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008 解析 方法一 ∵a2 003＞0,a2 004＜0, ∴4 006为Sn＞0的最大自然数n.

  35. 方法二a1＞0,a2 003+a2 004＞0且a2 003·a2 004＜0, ∴a2 003＞0且a2 004＜0, ∴S2 003为Sn中的最大值,∵Sn是关于n的二次函数，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离 小， ∴ 在对称轴右侧,据二次函数图象的对称性: 4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008 都在其右侧. ∴Sn＞0中最大的自然数是4 006. 答案 B

  36. 二、填空题 6.函数 的最大值为. 解析 可以与两点连线的斜率联系起 来,它实际上是点P（cos ,sin ）与点A（ ， 0）连线的斜率，而点P（cos ,sin ）在单位圆 上移动,问题变为：求单位圆上的点与A( ，0) 连线斜率的最大值.如右图，显然， 当P点移动到B点（此时，AB与圆 相切）时，AP的斜率最大，最 大值为 1

  37. 7. AB是过椭圆b2x2+a2y2=a2b2的中心弦，F（c,0）为 它的右焦点，则△FAB面积的最大值是. 解析 如图所示，F′为椭圆的左焦点，连结 AF′，BF′，则四边形AFBF′为平行四边形， 当A与短轴端点重合时，（S△ABF）max=bc. bc

  38. 8. 函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成 图形的面积称为函数f（x）在［a，b］上的面积. 已知函数y=sin nx在 上的面积为 (n∈N*）, 则 （1）函数y=sin 3x在 上的面积为； （2）函数y=sin（3x- ）+1在 上的面积为 . 解析 （1）函数y=sin 3x在 上的面积为 根据y=sin 3x的对称性可知y=sin 3x在 上

  39. 上的面积也为 ∴y=sin 3x在 上的面积 为 (2)y=sin(3x- )+1=1-sin 3x，其图象如下图所 示. 其面积如上图中阴影所示，由三角函数的对称性 可知其面积为 答案

  40. 三、解答题 9. 不等式x2+|2x-4|≥p对所有x都成立，求实数p的 最大值.  解 构造函数f(x)=|x-2|,g(x)= 解不 等式 f(x)≥g(x)，即确定使函数y=f(x)的图象在函 数y=g(x)“上方”的点的横坐标x的取值范围， 而 本题是已知这个范围对一切x成立，求p的最大值. 如图， 的图象可以由 的图象的 顶点在y轴上下移动而得，满足题目条件的解应为 y=|x-2|的图象在 的图象上方的极端 情况.

  41. 即x2-2x-(p-4)=0, Δ=4+4(p-4)=0,p=3. 即p的最大值为3.

  42. 10. 已知A（1，1）为椭圆 内一点，F1为 椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|+|PA| 的最大值和最小值. 解 由 可知a=3,b= c=2,左焦点F1(-2， 0），右焦点F2（2，0）.由椭圆定义， |PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|， ∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.  如图，由||PA|-|PF2||≤|AF2|=

  43. 当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“=”； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”， 即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为 于是|PF1|+|PA|的最大值是 最小值是 返回

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