1 / 25

PROGRAMSKI PAKET MATHEMATICA I PRIMENE U MEHANICI

PROGRAMSKI PAKET MATHEMATICA I PRIMENE U MEHANICI. Učenik: Nikola Jon čić. Mentor: dr Marko Petković. 1. Uvod. Mathematica je programski paket i programski jezik namenjen matematičarima, fizičarima, inžinjerima i svima koji se bave sličnom problematikom. Može se koristiti kao:

bryce
Télécharger la présentation

PROGRAMSKI PAKET MATHEMATICA I PRIMENE U MEHANICI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PROGRAMSKI PAKET MATHEMATICA I PRIMENE U MEHANICI Učenik:NikolaJončić Mentor:dr Marko Petković

  2. 1. Uvod • Mathematica je programski paket i programski jezik namenjen matematičarima, fizičarima, inžinjerima i svima koji se bave sličnom problematikom. • Može se koristiti kao: • numerički i simbolički kalkulator; • sistem za grafičko prikazivanje podataka i funkcija; • programski jezik visokog nivoa • Prva verzija je plasirana 23. juna 1988. a danas je aktuelna verzija 7. • Za razliku od elektronskih kalkulatora i klasičnih programskih jezika poput Fortrana i Basic-a, koji imaju oko 30 ugradjenih matematičkih operacija, Mathematica ima preko 750 operacija.

  3. Slika 1. Programsko okruzenje programa MATHEMATICA

  4. 2. Osnovne operacijeprograma MATHEMATICA • Aritmetičke operacije: In[1] := (2 + 7)*9 Out[1] = 81 In[2] := N[E,18] Out[2] = 2.71828182845904524 In[3] := Sqrt[16] Out[3] = 4

  5. In[4]:= ((x + y)^2 + 7 (3 + x) (x + y))^4 Out[4]= (7 (3 + x) (x + y) + (x + y)^2)^4 In[5] := Expand[%] Out[5] =

  6. Grafika: Dve površi četvrtog reda možemo nacrtati sledećom naredbom: In[6] := ContourPlot3D[ x^4 + y^4 + z^4 - (x^2 + y^2 + z^2)^2 + 3 (x^2 + y^2 + z^2) == 3, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}, Mesh -> None]

  7. Diferenciranje i integracija: In[7] := D[Exp[x^2Sin[x]], x] Out[7] = In[8] := Integrate[(x^2 + 1)/(x^4 + 1), x] Out[8] =

  8. 3. Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija pomoću In[1] := f[x_]:= • Parnost i neparnost In[2] := FullSimplify[f[x] - f[-x]] === 0 Out[2] = False In[3] := FullSimplify[f[x] + f[x]] === 0 Out[3] = False • Nule In[4] := Solve[f[x] == 0, x] Out[4] = {{x -> 0}, {x -> 2}}

  9. Asimptote: Kose: In[5] := k = Limit[f[x]/x, x -> -Infinity] Out[5] = -1 In[6] := l = Limit[f[x] - k*x, x -> -Infinity] Out[6] = 2/3 Prava y= -x + 2/3 je kosa asimptota sa leve strane. Analogno dobijamo i sa desne strane (kada x->+∞).

  10. Ekstremumi Lokalne minimume i maksimume dobijamo iz prvog izvoda: In[7] := D[f[x], x] Out[7] = (I) Za x<0 je brojilac veći od nule, a imenilac manji od nule pa je f’(x)<0. Drugim rečima, funkcija f je strogo opadajuća na intervalu (-∞,0). (II) Za x (0,4/3) su i brojilac i imenilac veći od nule, pa je f’(x)>0. Drugim rečima, funkcija f je strogo rastuća na intervalu (0,4/3). (III) Za x>4/3 je brojilac manji od nule, a imenilac veći od nule pa je f’(x)<0. Drugim rečima, funkcija f je strogo opadajuća na intervalu (4/3,+∞).

  11. Grafik Plot[{f[x],-x+2/3},{x,-3,3}]

  12. 4. Numerička izračunavanja • Algebarskih jednačina: In[8] := FindRoot[x^5+x^2-1==0,{x,1}] Out[8] = {x->0.808731} • Diferencijalnih jednačina: In[9] := resenje = NDSolve[{y'[x] == y[x]/5 + Sin[x], y[0] == 0}, y, {x, 0, 13}] Out[9] = {{y -> InterpolatingFunction[{{0., 13.}}, <>]}}

  13. Grafik funkcije rešenja za vrednosti x od 0 do 13: In[42] := Plot[y[x] /. resenje, {x, 0, 13}]

  14. 5. Primena na rešavanje problema matematičkog klatna • Matematičko klatno Matematičko klatno predstavlja telo zanemarljivih dimenzija i značajne mase okačeno o neistegljivu nit zanemarljive mase, a značajne dužine.

  15. Samo klatno se kreće pod uticajem gravitacione sile mg (direktno utiče samo komponenta F=mgsinθ), dok druga komponenta vrši zatezanje niti. • Važi sledeći uslov jednakosti momenata sila: • Jednačina koja opisuje kretanje klatna:

  16. Rešavanje jednačine kretanja u slučaju velikog otklona klatna g=9.81; l=1; th0=Pi/12; sol=NDSolve[{y''[t]==-g/l*Sin[y[t]],y[0]==th0,y'[0]==0}, y,{t,0,2}]; f=sol[[1,1,2]] Grafik zavisnosti otklona ugla od vremena (th[t]) za vremenski period od 0 do 5 sekundi i početni ugao od 0 do Pi/2 sa korakom Pi/10

  17. Izvodjenje izraza za period matematičkog klatna u funkciji od ugla otklona Kinetička energija tela u svakom trenutku kretanja jednaka je razlici potencijalnih energija tela na početku kretanja i u tom trenutku:

  18. Integral ćemo izračunati numerički kao funkciju dužine klatna, gravitacionog ubrzanja i početnog ugla: T[l_, g_, th0_] := 4*Sqrt[l/(2 g)]*NIntegrate[Sqrt[1/(Cos[x] - Cos[th0])], {x, 0, th0}] • Period za klatno dužine 1m, gravitacionog ubrzanja 9.81m/s2, i početnog ugla u rasponu od 0.01 do Pi/2 sa korakom 0.01: In[1] := Table[{th0, T[1, 9.81, th0]}, {th0, 0.01, Pi/2, 0.01}] Out[1] = {{0.01, 2.00608}, {0.02, 2.00612}, {0.03, 2.00618}, ... {1.55, 2.35672}, {1.56, 2.36204}, {1.57, 2.36741}}

  19. Grafik zavisnosti perioda matematičkog klatna od ugla otklona

  20. Prigušeno oscilovanje matematičkog klatna Opisuje se sledećom diferencijalnom jednačinom: Napravićemo funkciju s[i_,j_], koja će nam rešavati predhodnu jednačinu u zavisnosti od početnog ugla i brzine: s[i_,j_]:=NDSolve[{Sin[x[t]],0.5x'[t]+x''[t]==0, x[0]==i,x'[0]==j},x[t],{t,0,15}];

  21. Kretanje klatna iz maksimalnog položaja bez početne brzine In[2] := sols1=Table[s[{-1,- 0.5,0.5,1}],0][[1,1,2]],{i,1,4}] Out[2] = {InterpolatingFunction[{{0.,15.}},<>][t], InterpolatingFunction[{{0.,15.}},<>][t], InterpolatingFunction[{{0.,15.}},<>][t], InterpolatingFunction[{{0.,15.}},<>][t]},

  22. Grafik Plot[Evaluate[sols1], {t, 0, 15}, PlotRange->1]

  23. Kretanje iz ravnotežnog položaja sa početnom brzinom: sols2=Table[s[0,{-2,- 1,1,2}][[1,1,2]],{i,1,4}]; Plot[Evaluate[sols2],{t,0,15}, PlotRange->1.6]

  24. 6. Zaključak • Pokazali smo kako se može izračunati zavisnost ugla otklona klatna od vremena kako za obično, tako i za prigušeno klatno sa velikim otklonom, kao i period u funkciji od početnog ugla • Na sličan način se mogu rešavati i mnogi drugi problemi u fizici – npr. klatno na opruzi, dvostruko, n-tostruko klatno, električna kola sa nelinearnim elementima...

  25. Hvala na pažnji!!!

More Related