DG2 – Zylinderschnitte

1. Aufgabenstellung: Ein Kegel wird mit einem Zylinder geschnitten DG2 – Zylinderschnitte

2. In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf P2 steht, geschnitten wird. DG2 – Zylinderschnitte 2

3. In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf P2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Es gibt mehrere Möglichkeiten diese Verschneidung zu lösen. Als erste wird die Verschneidung durch horizontale Schnittebenen gelöst. Das Prinzip wird nun kurz erläutert. DG2 – Zylinderschnitte 3

4. Es kann an jeder beliebigen Stelle ein horizontaler* Schnitt gelegt werden, der beide Elemente, Kegel und Zylinder, schneidet. In diesem Beispiel wurde ein Schnitt unterhalb der Zylinderachse gewählt. DG2 – Zylinderschnitte * „horizontaler“ Schnitt ist im gegebe-nen Beispiel richtig. Hätte der Kegel eine andere Lage, z.B. Grundfläche in P2, dann müsste es genau und allgemeingültig lauten, „die Schnitt-ebenen werden senkrecht auf die Kegelachse gelegt“ Zurück zu Folie 21 4

5. Der Schnitt des Kegel ergibt einen Kreis. Der Radius wird in den Grundriss übertragen … DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 5

6. Der Schnitt des Kegel ergibt einen Kreis. Der Radius wird in den Grundriss übertragen und der Kreis auch gezeichnet. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 6

7. Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 7

8. Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 8

9. Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. Nun wurde auch die Kreisfläche eingefärbt. Die Schnittpunkte der beiden Schnittfiguren, Rechteck und Kreis, liegen in einer Ebene und …. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 9

10. Der gleiche Schnitt schneidet auch den Zylinder und ergibt ein Rechteck als Schnittfigur (dies deshalb, da der Schnitt parallel zur Zylinderachse geführt wurde). Im Bild ist dieses Rechteck stark eingezeichnet und eingefärbt. Nun wurde auch die Kreisfläche eingefärbt. Die Schnittpunkte der beiden Schnittfiguren, Rechteck und Kreis, liegen in einer Ebene und ergeben somit vier Punkte der Ver-schneidung von Kegel und Zylinder. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 10

11. Wenn die Konstruktionen entfernt sind, werden die vier Verscheidungspunkte deutlich sichtbar. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 21 11

12. Wenn die Konstruktionen entfernt sind, werden die vier Verscheidungspunkte deutlich sichtbar. Normalerweise werden bei der Konstruktion der Verschneidung nicht die ganzen Schnittkreise gezeichnet, sondern es wird in diesem Beispiel der Radius aus dem Aufriss entnommen und dann im Grundriss von der Achse des Kegels aus auf die Schnittseiten des Zylinderschnittes aufgetragen, in diesem Fall vier mal. DG2 – Zylinderschnitte 12

13. Es gibt auch Schnittebenen, die nur zwei Schnittpunkte ergeben, da nur eine Seitenkante des Zylinderschnit-tes den Kegel durchdringt. DG2 – Zylinderschnitte 13

14. Es gibt auch Schnittebenen, die nur zwei Schnittpunkte ergeben, da nur eine Seitenkante des Zylinderschnit-tes den Kegel durchdringt. Der Radius vom Aufriss wird über-nommen und im Grundriss über-tragen. Bevor mit den eigentlichen Schnitt-ebenen begonnen wird, werden jene Punkte der Verschneidung gezeich-net, die eine besondere Lage haben. DG2 – Zylinderschnitte 14

15. In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf Pi2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Die linke Erzeugende des Kegels ist im Aufriss als Begrenzungslinie zu sehen und im Grundriss verläuft sie von der Spitze weg nach links. Sie ist parallel zu P2. Daher ist auch im Aufriss die Durchdringung durch den Zylinder zu sehen. DG2 – Zylinderschnitte 15

16. In der Angabe ist ein aufrechter Kegel zu sehen, der mit einem horizontalen Zylinder, der senkrecht auf Pi2 steht, geschnitten wird. Die Angaben werden in den Grund-riss übertragen. Der horizontale Zylinder ist als Rechteck abgebildet. Die linke Erzeugende des Kegels ist im Aufriss als Begrenzungslinie zu sehen und im Grundriss verläuft sie von der Spitze weg nach links. Sie ist parallel zu P2. Daher ist auch im Aufriss die Durchdringung durch den Zylinder zu sehen. Die Durchdringungspunkte werden in den Grundriss übertragen. DG2 – Zylinderschnitte 16

17. Es gibt mehrere Möglichkeiten die Verschneidung dieser beiden runden Körper zu konstruieren. In diesem Beispiel wurde die Methode mit horizontalen Kegelschnitten, die immer kleiner werdende Kreise ergeben, gewählt. Die zweite Möglichkeit mit vertikalen Schnitt-ebenen (Folie 36) erfolgt im zweiten Teil der Präsentation. Im Aufriss ist eine horizontale Schnittebene durch den Kegel gelegt worden, der den Zylinder unten tangential berührt. Dieser Schnitt schneidet den Kegel kreisförmig. Der Radius dieses Kreises ist im Aufriss als stärkere rote Linie sichtbar. DG2 – Zylinderschnitte 17

18. Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. DG2 – Zylinderschnitte 18

19. Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. Dieser Kreis schneidet die Tangente des Zylinders, die genau unter den Achse des Zylinders liegt. DG2 – Zylinderschnitte 19

20. Dieser rot gezeichnete Radius wird in den Zirkel genommen und im Grundriss von der Mittelachse des Kegels aus gezeichnet. Dieser Kreis schneidet die Tangente des Zylinders, die genau unter der Achse des Zylinders liegt. Damit sind zwei weitere Schnitt-punkte konstruiert. DG2 – Zylinderschnitte 20

21. Nun werden weitere horizontal Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. DG2 – Zylinderschnitte 21

22. Nun werden weitere horizontal Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. Die Schnittebenen wurden färbig eingezeichnet, sodass eine Zuord-nung der Schnittpunkte leichter erfolgen kann. DG2 – Zylinderschnitte 22

23. Nun werden weitere horizontale Schnittebenen durch den Kegel gelegt, die wieder Kreise ergeben Diese Schnittebenen schneiden den horizontalen Zylinder in horizontale Rechtecke. Dieses Prinzip wurde ab Folie 4 ausführlich erklärt. Die Schnittebenen wurden färbig eingezeichnet, sodass eine Zuord-nung der Schnittpunkte leichter erfolgen kann. Es wurden zunächst alle Schnittpunkte jener horizontalen Ebenen gezeichnet, die unterhalb der Zylinderachse gelegt wurden. DG2 – Zylinderschnitte 23

24. In dieser Zeichnung ist eine Über-prüfungsmöglickeit gegeben. Eine der beliebig gelegten Schnittebenen (vierte Schnittebene von unten) wurde genau durch den unteren Schnittpunkt der linken Erzeu-genden gelegt. Damit muss der Radius dieses Schnittkreises auch exakt diesen Schnittpunkt der Erzeugenden erreichen, in der Zeichnung mit der Farbe Pink eingefärbt. DG2 – Zylinderschnitte 24

25. Im Grundriss wurden die Konstruk-tionen der bisherigen Schnittpunkte entfernt, damit für die Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse die Konstruktionen besser zu erkennen sind. Das Prinzip bleibt immer das selbe, die horizontalen Schnittebenen schneiden den Kegel in Kreisen, die mit den rechteckigen Schnitten des Zylinders die Schnittpunkte der Körperverschneidungen ergeben. DG2 – Zylinderschnitte 25

26. Im Grundriss wurden die Konstruk-tionen der bisherigen Schnittpunkte entfernt, damit für die Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse die Konstruktionen besser zu erkennen sind. Das Prinzip bleibt immer das selbe, die horizontalen Schnittebenen schneiden den Kegel in Kreisen, die mit den rechteckigen Schnitten des Zylinders die Schnittpunkte der Körperverschneidungen ergeben. Auf diese Weise sind die Schnitte der Schnittebenen oberhalb der Zylinderachse konstruiert worden. DG2 – Zylinderschnitte 26

27. Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. DG2 – Zylinderschnitte 27

28. Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. Die obere Tangentialebene des Zylinders ergibt zwei wichtige Punkte. DG2 – Zylinderschnitte 28

29. Nun wurden wieder die Konstruk-tionen im Grundriss entfernt, um die Sichtbarkeit der bisher konstruierten Punkte zu erhöhen. Es ist die eigentliche Verschneidung schon recht gut zu sehen. Allerdings sollten noch einige Schnittebenen gelegt werden, damit die Verschnei-dung genauer wird. Die obere Tangentialebene des Zylinders ergibt zwei wichtige Punkte (orange Konstruktion). Ebenso wurde eine Schnittebene durch die Zylinderachse gelegt (blaue Konstruktion). DG2 – Zylinderschnitte 29

30. Nach dem entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. DG2 – Zylinderschnitte 30

31. Nach dem entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. DG2 – Zylinderschnitte 31

32. Nach dem Entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. Der Zylinder „steckt“ in dem Kegel und daher ist die Verschneidung oberhalb der Achsenebene sichtbar, ….. DG2 – Zylinderschnitte 32

33. Nach dem Entfernen der Konstruk-tion ist die Verschneidung nun schon sehr gut zu sehen. Werden die Punkte nun verbunden erhöht das nochmals die Sichtbar-keit. Der Zylinder „steckt“ in dem Kegel und daher ist die Verschneidung oberhalb der Achsenebene sichtbar, unterhalb unsichtbar. DG2 – Zylinderschnitte 33

34. Wäre die Verschneidung als zylin-drische Durchbohrung eines Kegels angegeben, würde die Sichtbarkeit wie in dieser Zeichnung zu sehen sein. DG2 – Zylinderschnitte Im zweiten Teil wird diese Ver-schneidung noch verfeinert und auf Folie 58 ist das Ergebnis zu sehen. 34

35. Die zweite Möglichkeit die Ver-schneidung zu lösen ist mit vertikalen Schnittebenen (vertikal in diesem Beispiel, bei anderer Lage des Kegel müsste es „Schnittebene senkrecht auf die Kegelgrundfläche“ lauten). Allgemein ergeben senkrecht auf die Grundfläche stehende Schnitte grundsätzlich Hyperbeln als Schnitt-figur. DG2 – Zylinderschnitte 35

36. Die zweite Möglichkeit die Ver-schneidung zu lösen ist mit vertikalen Schnittebenen (vertikal in diesem Beispiel, bei anderer Lage des Kegel müsste es „Schnittebene senkrecht auf die Kegelgrundfläche“ lauten). Allgemein ergeben senkrecht auf die Grundfläche stehende Schnitte grundsätzlich Hyperbeln als Schnitt-figur. Schnitte durch die Achse des Kegels ergeben ein Dreieck, Spitze und zwei Punkte auf dem Basiskreis. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 36

37. Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 37

38. Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 38

39. Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, … DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 39

40. Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, werden diese in den Grundriss übertragen, … DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 40

41. Der Schnitt wird Grundriss gelegt und die Punkte des Basiskreises in den Aufriss übertragen. Verbunden mit der Spitze ergibt dies das Schnittdreieck. Im Aufriss sind die Schnittpunkte mit dem Zylinder zu sehen, werden diese in den Grundriss übertragen, ergeben sich die Verschneidungs-punkte am Mantel des Zylinders. DG2 – Zylinderschnitte Zurück zu Folie 17 41

42. Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. DG2 – Zylinderschnitte 42

43. Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. DG2 – Zylinderschnitte 43

44. Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. Im Aufriss ist das Schnittdreieck zu sehen und … DG2 – Zylinderschnitte 44

45. Ein weiterer Schnitt durch die Kegel-achse. Die Schnittpunkte mit dem Basiskreis werden in den Aufriss übertragen. Im Aufriss ist das Schnittdreieck zu sehen und Schnittpunkte auf dem Mantel des Zylinders. DG2 – Zylinderschnitte 45

46. Diese Schnittpunkte werden in den Grundriss übertragen und … DG2 – Zylinderschnitte 46

47. Diese Schnittpunkte werden in den Grundriss übertragen und ergeben die Verschneidungspunkte am Zylinder. DG2 – Zylinderschnitte 47

48. Wird nun die Verschneidung aus dem ersten Teil der Präsentation übernommen, ist zu sehen, dass die nunmehrigen Punkte die bisherige Verschneidung gut ergänzen. DG2 – Zylinderschnitte 48

49. Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um besondere Lagen der Körper handelt, gerader Kegel mit Grundfläche in erster Hauptlage, Zylinder senkrecht auf Pi2, ergibt sich eine symmetrische Verschnei-dung im Grundriss. Somit können auch die bisherigen senkrechten Schnittebenen gespiegelt werden. Im linken Bild die rote Schnittebene und … DG2 – Zylinderschnitte 49

50. Da es sich bei dem gegebenen Beispiel um besondere Lagen der Körper handelt, gerader Kegel mit Grundfläche in erster Hauptlage, Zylinder senkrecht auf Pi2, ergibt sich eine symmetrische Verschnei-dung im Grundriss. Somit können auch die bisherigen senkrechten Schnittebenen gespiegelt werden. Im linken Bild die rote Schnittebene und nun auch die blaue… DG2 – Zylinderschnitte 50