Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury

1. Systemy/modele rozmyte – podstawy i struktury Systemy rozmyte są modelami przetwarzającymi informację za pomocą zbioru reguł rozmytych „jeżeli – to” Rozmytość jest sposobem reprezentowania niejednoznaczności (niepewności) określeń lingwistycznych (n.p. wysoka temperatura)

2. Czy istnieje jeden rodzaj modeli rozmytych? Nie Wymienimy najczęściej stosowane w sterowaniu i podejmowaniu decyzji:  lingwistyczny model rozmyty  Takagi-Sugeno model rozmyty (TS)  Tsukamoto model rozmyty Przedstawimy w tym przedmiocie lingwistyczny model Mamdani’ego

3. Mechanizm/system wnioskowania rozmytego + y* Baza reguł rozmytych x* Jak wygląda model rozmyty i jak działa? Przykład: lingwistyczny model rozmyty zmienna rozmyta wartość zmiennej rozmytej Aktualna wartość wejścia x*, ani Small, ani Medium na pewno nie Large – jaka powinna być odpowiadająca takiej aktualnej wartości wejścia, aktualna wartość wyjścia y * ?

4. W modelach rozmytych zależności pomiędzy zmiennymi modelu są reprezentowane za pomocą reguł IF-THEN mających ogólną następującą postać Przykłady reguł nazywanych regułami rozmytymi

5. Rozmyta reguła IF – THEN – możliwa postać Inne nazwy: reguła rozmyta (fuzzy rule), rozmyta implikacja (fuzzy implication), rozmyte zdanie warunkowe (fuzzy conditional statement) Forma: gdzie x, y – zmienne rozmyte/lingwistyczne A, B – wartości zmiennych rozmytych/lingwistycznych, odpowiednio x i y, zdefiniowane jako zbiory rozmyte na przestrzeniach rozważań X i Y Określenia: x is A – poprzednik, przesłanka y is B – następnik, konkluzja, rezultat,

6. Stwierdzenie przesłanki ma zawsze postać: Stwierdzenie konkluzji może mieć różną postać w zależności od typu modelu rozmytego W modelach lingwistycznych Mamdani’ego konkluzja ma postać:

7. wartość rozmyta/lingwistyczna (zmiennej rozmytej/lingwistycznej) = zbiór rozmyty zdefiniowany funkcją przynależności na przestrzeni rozważań zmienna rozmyta/lingwistyczna Podstawowe pojęcie systemów rozmytych – ZBIÓR ROZMYTY Zbiory rozmyte są powszechnie stosowane przez ludzi do jakościowej oceny wielkości fizycznych, stanów obiektów i systemów oraz do ich porównywania

8. Definicja: - przestrzeń rozważań, uniwersalny zbiór będący przedmiotem naszego zainteresowania Wszystkie zbiory definiujemy w przestrzeni rozważań Inne nazwy: obszar rozważań, przestrzeń, zbiór, domena rozważań, domena, zakres podstawowy, zbiór odniesienia • Przykłady: • uczniowie klas pierwszych w liceach • liczby rzeczywiste • temperatura powietrza w Polsce • miasta w Polsce Przestrzeń rozważań może być zbiorem dowolnej natury (dziedzina zbioru może być dowolnej natury) – w szczególności może to być dziedzina numeryczna

9. Definicja: zbiór zwykły (1) Zwykły albo klasyczny zbiór jest definiowany jako zestaw elementów w X posiadający pewną specyficzną cechę • Przykłady: • chłopcy uczniowie klas pierwszych w liceach • dodatnie liczby rzeczywiste • temperatura powietrza latem w Polsce • miasta wojewódzkie w Polsce

10. Można inaczej definiować zbiory zwykłe korzystając z pojęcia funkcji przynależności (funkcji charakterystycznej, funkcji wskaźnikowej) Definicja: funkcja przynależności zbioru zwykłego Funkcja przynależności zbioru zwykłego A w przestrzeni rozważań X (oznaczana μA(x)) jest odwzorowaniem z X w zbiór dwuelementowy {0,1}: μA(x):X  {0,1} takim, że

11. Definicja: zbiór zwykły (2) Niech X , dziedzina rozważań,będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem zwyklym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: Ajest funkcją przynależności zbioru zwykłego A, która każdemu elementowi xX przypisuje dwuwartościowy stopień jego przynależności A(x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

12. Definicj: Zbiór rozmyty (fuzzy set) Niech X , dziedzina rozważań,będzie zbiorem pewnych elementów x. Zbiorem rozmytym A dziedziny rozważań X , nazywamy zbiór par: gdzie: Ajest funkcją przynależności (membership function)zbioru rozmytego A, która każdemu elementowi xX przypisuje stopień jego przynależności (grade of membership) A (x) do zbioru rozmytego A, przy czym:

13. Przykład:

14. Funkcja przynależności (membership function) i stopień przynależności (grade of membership) Funkcja przynależności realizuje odwzorowanie dziedziny rozważań X danej zmiennej do przedziału [0,1]: Funkcja przynależności przyporządkowuje każdemu elementowi xX pewną wartość z przedziału [0,1]: Wartość ta, zwana stopniem przynależności informuje, w jakim stopniu element xX należy do zbioru rozmytego A

15. Funkcja przynależności i stopień przynależności - porównanie Zbiór zwykły Zbiór rozmyty

16. Funkcje przynależności i stopień przynależności elementu przestrzeni rozważań do różnych zbiorów

17. Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice klasycznej „Jan jest wysoki” Prawda czy fałsz? Wzrost Jana:

18. Ocena prawdziwości stwierdzeń w logice rozmytej „Jan jest wysoki” Prawda w jakim stopniu? Wzrost Jana:

19. Wysoki w Chinach Wysoki w Europie Wysoki w NBA Definicja zbioru rozmytego jest subiektywna (zależy od osądów autora) i zależna od kontekstu

20. Przykłady zbiorów rozmytych:  zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej nieuporządkowanej Niech X zbiór miast, spośród których ktoś może wybrać miejsce zamieszkania A – miasto pożądane do zamieszkania

21.  zbiór rozmyty na dziedzinie dyskretnej uporządkowanej Niech X zbiór liczby dzieci, jaką rodzina może mieć A – rozsądna liczba dzieci w rodzinie

22.  zbiór rozmyty na dziedzinie ciągłej Niech X możliwy wiek ludzi A – ludzie w wieku około 50 lat gdzie:

23.  zbióry rozmyte dla sterowania wahadłem odwróconym Obiekt Struktura systemu sterowania

24. Wejścia regulatora: Odchylenie od położenia pożądanego Położenie pożądane Położenie aktualne Wyjście regulatora: Zmiana odchylenia od położenia pożądanego Siła przyłożona do wózka – u(t)

25. „Zmiana odchylenia” – Zmienne lingwistyczne: Pożądane położenie: „Odchylenie” – e(t) r(t) = 0 Zależności: „Siła” – u(t) Konwencja: Położenie  +  Odchylenie - ; Położenie  -  Odchylenie + Zmiana położenia  +  Zmiana odchylenia - ; Zmiana położenia  -  Zmiana odchylenia + Siła  +

26. Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):  ujemna, duża co do wartości – „neglarge”  ujemna, mała co do wartości – „negsmall”  zero – „zero”  dodatnia, mała co do wartości – „possmall”  dodatnia, duża co do wartości – „poslarge”

27. Położenie pożądane Odchylenie dodatnie Odchylenie ujemne Odchylenie zerowe Siła dodatnia Zmiana odchylenia dodatnia Zmiana odchylenia ujemna Wahadło odwrócone w różnych pozycjach

28. Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych

29. Funkcja przynależności może być wyrażona w postaci:  diagramu ciągłego lub dyskretnego,  wzoru matematycznego,  tabeli,  wektora przynależności,  sumy lub całki Przykłady: Ciągła (a) i dyskretna (b) graficzna forma (diagram) funkcji przynależności liczby rozmytej „około zera”

30. x5=0 x7=0.5a xiX xiX x1=-a Firma1 x2=-0.75a Firma2 x3=-0.5a ..... Firma (n-1) Firman x4=-0.25a x6=0.25a x8=0.75a x9=a (x) 0 0.25 0.5 0.75 1 0.75 0.5 0.25 0 (x) 0.4 0.5 ..... 1.0 1.0 Funkcja przynależności w postaci wzoru dla liczby rozmytej „około zera” Dyskretna funkcja przynależności w postaci tabeli dla liczby rozmytej „około zera” Elementami xiw tabeli mogąbyć nie tylko liczby

31. Dyskretna funkcja przynależności w postaci wektora dla liczby rozmytej „około zera”

32. Dyskretna funkcja przynależności w postaci sumy dla liczby rozmytej „około zera” Ciągła funkcja przynależności w postaci całki dla liczby rozmytej „około zera”

33. Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego Pionowa reprezentacja zbioru rozmytego jest A jest formą przedstawiania zbioru rozmytego jako zbioru par (element x zbioru A, stopień przynależności elementu x do zbioru A) Przykłady pionowej reprezentacji zbioru rozmytego

34.  - przekrójAαzbioru rozmytego A jest nierozmytym podzbiorem przestrzeni rozważań X , którego elementy wszystkie posiadają stopień przynależności równy lub większy   - przekrójAαjest nazywany ścisłym jeżeli Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego Pozioma reprezentacja zbioru rozmytego A polega na przedstawianiu tego zbioru za pomocą tzw.  - przekrojów A tego zbioru. Wartość  nazywana jest  - poziomem Oznaczenia (inne):  - przekrój(A), przekrój(A,), Aα , A>α

35. Ilustracja graficzna Przykładowe  - przekroje zbioru rozmytego A

36. Charakterystyczne parametry zbioru rozmytego: Nośnik zbioru rozmytego A (support): Nośnik zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X, którego wszystkie elementy mają niezerowy stopień przynależności do zbioru A

37. Jądro zbioru rozmytego A (core, kernel): Jądro zbioru rozmytego A jest to podzbiór nierozmyty dziedziny rozważań X złożony ze wszystkich elementów o stopniu przynależności równym 1

38. Wysokość zbioru rozmytego A (height): Wysokością zbioru rozmytego A nazywamy supremum funkcji przynależności elementów zbioru A w całej dziedzinie rozważań zbioru X

39. Wypukłość zbioru rozmytego A: Zbiór rozmyty zdefiniowany w przestrzeni rozważań Rnjest wypukły jeżeli każdy jego  - przekrój jest zbiorem wypukłym

40. Przykład: wiek kierowcy wysokiego ryzyka dla ubezpieczeń samochodów

41. Mocą zbioru rozmytego A, A lub liczbą kardynalną card(A) tego zbioru określonego na przestrzeni dyskretnej X nazywamy a w przypadku przestrzeni ciągłej Liczba kardynalna zbioru rozmytego A:

42. Charakterystyczne zbiory rozmyte Pusty zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość zero dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem pustym i oznaczany jest symbolem : Uniwersalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) posiada wartość jeden dla wszystkich elementów dziedziny rozważań X nazywa się zbiorem uniwersalnym i oznaczany jest symbolem U:

43. Normalny zbiór rozmyty Zbiór A, którego funkcja przynależności A(x) przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 1, łącznie z 1, nazywany jest zbiorem normalnym rozmytym

44. jest nazywany Operator normalizacji: Operator operatorem normalizacji, tzn. Normalny zbiór rozmyty A (trochę inaczej): Zbiór rozmyty A jest normalny, jeżeli xX taki, że μA(x)=1. Zbiór rozmyty, który nie jest normalny nazywany jest subnormalnym

45. Liczba rozmyta: Pojęcie liczby rozmytej jest używane (czasem) dla wskazania zbioru rozmytego normalnego i wypukłego określonego na R Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

46. Rodzaje funkcji przynależności zbiorów rozmytych - jednowymiarowe - funkcje przynależności złożone z odcinków prostych Kształty najczęściej stosowanych odcinkowo – liniowych funkcji przynależności

47. Zalety wielokątnych funkcji przynależności:  mała liczba danych potrzebna do zdefiniowania funkcji przynależności  łatwość modyfikacji parametrów funkcji przynależności w oparciu o dane pomiarowe wejście – wyjście systemu Wady wielokątnych funkcji przynależności:  są nieróżniczkowalne

48. Trójkątna funkcja przynależności: Przykład: triangle(x;20,60,80)

49. Trapezowa funkcja przynależności: Przykład: trapezoid(x;10,20,60,95)

50. - intuicyjne funkcje przynależności Aksjomaty: A1. Intuicyjne funkcje przynależności (x) są ciągłe w całym zakresie dziedziny rozważań A2. Pierwsza pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A3. Druga pochodna intuicyjnej funkcji przynależności (x) jest ciągła w całym zakresie dziedziny rozważań A4. Zakrzywienia intuicyjnej funkcji przynależności (x) są minimalne