运 筹 学

1. 运 筹 学 黑龙江工程学院数学系 吴 昶

2. 课程简介 课程名称：运筹学 英文名称：Operations Research(缩写 O.R.) 运筹学：主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据问题的要求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理安排，以达到较经济较有效地使用人力。 运筹帷幄之中，决胜千里之外

3. 教学内容： 第一章 线性规划及单纯形法 第二章 线性规划的对偶理论 第三章 运输问题 第四章 整数规划与分配问题 第五章 目标规划 第八章 动态规划 教学时数： 3×13=39

4. 教材及主要参考书： 教材：胡运权，运筹学，哈尔滨工业大学出版社。 参考书：运筹学教材编写组，运筹学，清华大学出版社。

5. 第一章 线性规划及单纯形法 §1．一般线性规划问题的数学模型 § 2．图解法 § 3．单纯形法原理 § 4．单纯形法的计算步骤 § 5．单纯形法的进一步讨论 § 6．改进单纯形法 § 7．应用举例及Matlab求解方法

6. §1．一般线性规划问题的数学模型 一、问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。

8. 需满足条件： 实现目的：

9. 二、线性规划问题的数学模型 三个组成要素： 1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的方案、措施，是问题中要确定的未知量。 2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表示为决策变量的函数。 3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可用资源的限制，表示为含决策变量的等式或不等式。

10. 一般线性规划问题的数学模型： 目标函数： 约束条件：

11. 简写形式：

12. 矩阵形式表示为： 其中：

13. 三、线性规划问题的标准形式 标准形式： 标准形式特点： 1. 目标函数为求极大值； 2. 约束条件全为等式； 3. 约束条件右端常数项全为非负值； 4. 决策变量取值非负。

14. 1. 目标函数求极小值： 令： ，即化为： 一般线性规划问题如何化为标准型：

15. 2. 约束条件为不等式： 如： 可令： ， 显然 称为松弛变量。 如： 可令： ， 显然 称为剩余变量。 （1）当约束条件为“≤”时 （2）当约束条件为“≥”时

16. （3）目标函数中松弛变量的系数 由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利润，因此在目标函数中系数为零。 松弛变量和剩余变量统称为松弛变量

17. 4. 变量 xj≤0 ，显然 令 3. 取值无约束的变量 如果变量 x 代表某产品当年计划数与上一年计划数之差，显然 x 的取值可能是正也可能是负，这时可令： 其中：

18. 例.将下述线性规划模型化为标准型

19. 得标准形式为： 解：令

20. 求解线性规划问题： 就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取值中，找出使得目标函数达到最大的值。 四、线性规划问题的解 可行解：满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：约束方程组的一个满秩子矩阵称为规划问题的一个基，基中的每一个列向量称为基向量，与基向量对应的变量称为基变量，其他变量称为非基变量。 基解：在约束方程组中，令所有非基变量为0，可以解出基变量的唯一解，这组解与非基变量的0共同构成基解。 基可行解：满足变量非负的基解称为基可行解 可行基：对应于基可行解的基称为可行基

21. §2. 线性规划问题的图解法 求解下述线性规划问题： 为了便于建立 n 维空间中线性规划问题的概念及便于理解求解一般线性规划问题的单纯形法的思路，先介绍图解法。

22. 画出线性规划问题的可行域：

23. 目标函数的几何意义：

24. 最优解的确定：

25. 图解法的步骤： • 建立坐标系，将约束条件在图上表示； • 确立满足约束条件的解的范围； • 绘制出目标函数的图形； • 确定最优解。

26. 无穷多最优解的情况： 目标函数与某个约束条件恰好平行

27. 无界解（或无最优解）的情况： 可行域上方无界

28. 无可行解的情况： 约束条件不存在公共范围

29. 图解法的启示： • 求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解，无穷多最优解，无界界，无可行解； • 若线性规划问题可行域存在，在可行域是一个凸集； • 若线性规划问题最优解存在，在最优解或最优解之一一定能够在可行域的某个顶点取得； • 解题思路是，先找凸集的任一顶点，计算其目标函数值。比较其相邻顶点函数值，若更优，则逐点转移，直到找到最优解。

30. §3．单纯形法原理 凸集：如果集合 C 中任意两个点 ，其连线上的所有点也都是集合C 中的点。 顶点：如果对于凸集 C 中的点 X ，不存在C 中的任意其它两个不同的点 ，使得 X 在它们的连线上，这时称 X 为凸集的顶点。 上图中（1）（2）是凸集，（3）（4）不是凸集

31. 一、线性规划问题基本定理 定理一 若线性规划问题存在可行解，则问题的可行 域是凸集。 定理二 线性规划问题的基本可行解 X 对应线性规划 问题可行域（凸集）的顶点。 定理三 若线性规划问题有最优解，一定存在一个基 可行解是最优解。 从上述三个定理可以看出，要求线性规划问题的最优解，只要比较可行域（凸集）各个顶点对应的目标函数值即可，最大的就是我们所要求的最优解。

32. 二、确定初始基可行解 设给定线性规划问题： 线性规划问题的最优解一定会在基可行解中取得，我们先找到一个初始基可行解。然后设法转换到另一个基可行解，直到找到最优解为止。

33. 其标准形为： 因此约束方程组的系数矩阵为： 由于该矩阵含有一个单位子矩阵，因此，一这个单位阵做基，就可以求出一个基可行解：

34. 三、从初始基可行解转换为 另一个基可行解 对初始可行解的系数矩阵进行初等行变换，构造出一个新的单位矩阵，其各列所对应的变量即为一组新的基变量，求出其数值，就是一个新的基可行解。

35. 四、最优性检验和解的判别 设基可行解 令 ，其中 随基的改变而改变 • 当所有 时，现有顶点对应的基可行解即为最优解。 • 当所有 时，又对某个非基变量 有 • 且可以找到 ，则该线性规划问题有无穷多最优解。 • 3. 如果存在某个 ，又 向量的所有分量 ，对任意 ，恒有 ，则存在无界解。

36. §4．单纯形法的计算步骤 • 表中最上端一行是各变量在目标函数中的系数， • 最左端一列是各基变量在目标函数中的系数值。 • 2. 表中最后一行就是检验数 。 第一步：求初始可行解，列初始单纯形表

37. 如果表中，所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算到此为止，否则转入下一步。 第二步：进行最优性检验

38. 取使得 所对应的 作为换入基的变量。 取使得 所对应的 作为换入基的变量。 第三步：转换到新的基可行解， 构造新单纯形表 1. 确定换入变量 2. 确定换出变量

39. （1） （2） （3）检验数 的求法与初始单纯形表中求法相同 3. 用换入变量替换换出变量，做新单纯形表

40. 例5用单纯形法求解线性规划问题 第四步：重复第二、三步直到计算结束

41. 第一步： 取系数矩阵中单位阵部分为基，得初始基可行解 解：将原线性规划问题化为标准型

42. 第二步： 由于： 都大于零，因此，目前没有得到最优解。 列出初始单纯形表

43. 由于 所以确定 为换出变量 在大于零的检验数中，由于 ，且 所以 为换入变量。 第三步： 1. 确定换入变量 2. 确定换出变量

44. 第四步：由于还存在检验数 ，因此重复上述步骤。 3. 作新单纯形表

46. 由于上表中所有检验数都小于等于零，因此已经得到最优解，最优解为：由于上表中所有检验数都小于等于零，因此已经得到最优解，最优解为： 代入目标函数得最优值： 当计算 值出现相同时，也可以从中任选一个作为换出变量 注意： 当计算检验数有相同值的时候，可从中任选一个变量作为换入变量。

47. §5．单纯形法的进一步讨论 一、人工变量法 考察上一节例5中的线性规划问题：

48. 化标准形为： 它的系数矩阵是：

49. 例6 化为标准型： 由于系数矩阵中存在单位阵，很容易找到初始可行基。但存在着不同的情况，考察下面的线性规划问题：

50. 该问题的系数矩阵为： 这个矩阵中不含有单位矩阵，因此很难找到初始基。 对于这种线性规划问题的系数矩阵不含有单位矩阵的情况，我们往往采用添加人工变量 的方法，来认为构造一个单位矩阵。这样的方法就是人工变量法。