مفاهیم ریاضی گرافیک

1. جلسه چهارم به نام خداوند هستی بخش یگانه مفاهیم ریاضی گرافیک Computer Graphics I SAFAEI

2. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I ادامه مفاهیم ریاضی در گرافیک

3. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران حول مبداء مختصات • در مختصات همگن دوران حول مبدا به اندازه زاویه θ عبارت است از : • زاویه مثبت دوران در جهت خلاف عقربه های ساعت می باشد، بنابراین:

4. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • سوال • ماتریس دوران در جهت خلاف عقربه های ساعت به اندازه زاویه 90 درجه روی مربع واحد به مختصات (1و1)، (1و2)، (2و2) و (2و1) تعیین نمایید.

5. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • اعمال دو تبديل خطي روي يك شكل • در مختصات همگن اعمال دو تبديل خطي روي يك شكل متناظر باحاصلضرب ماتريس هاي تبديل آنهاست. • مثال : ابتدا می خواهیم به اندازه θ شکلی را حول مبدا دوران دهیم و سپس به اندازه m واحد در راستای محور x انتقال دهیم . • می توانیم از ماتریس تبدیل زیر استفاده کنیم : =

6. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • تبدیلات متوالی • این امکان وجود دارد که نتیجه تبدیلات متوالی را بصورت یک ماتریس تبدیل واحد که تلفیق همه تبدیلات است نمایش داد. X’=R (π/2) X’’= s(1/2)x’ X’’’= T(5, 4)x” یا X’’’= Mx M=T(5,4) S(1/2) R (π/2)

7. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • ترتیب تبدیلات • ضرب ماتریس ها خاصیت جابجائی ندارند، لذا ترتیب های متفاوت نتیجه متفاوت خواهند داشت. X’’= T (2,3) R (30) X X’’= R(30) T (2, 3) X

8. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران حول نقطه دلخواه • تبدیل خطی دوران به اندازه زاویه θ حول نقطه دلخواه (X0, Y0) از سه تبدیل زیر تشکیل شده است : • نقطه (X0, Y0) را به مبدا انتقال می دهیم. • دوران به اندازه زاویه θ را انجام می دهیم. • بازگرداندن نقطه =

9. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران حول نقطه دلخواه • تمرین : فرض کنید می خواهیم مربعی با مختصات رئوس A(1,1) ، B(2,1) ، C(2,2) و D (1,2) را به اندازه 45 درجه حول نقطه B دوران دهیم. • حل تمرین : برای بدست آوردن مختصات چهارضلی حاصل ابتدا باید نقطه B را به مبدا منتقل کرده و سپس به انداره 45 درجه دوران داده و مجددا مبدا را به نقطه B بازگردانیم، بنابراین ماتریس دوران نقطه B بصورت زیر خواهد بود.

10. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران حول نقطه دلخواه • ادامه حل تمرین • با ضرب مختصات رئوس در ماتریس حاصل داریم: • در نتیجه مختصات چهارضلعی دوران یافته حول مبدا B برابر با ماتریس حاصل می باشد.

11. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران حول نقطه دلخواه • ادامه حل تمرین

12. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • انعکاس نسبت به یک خط دلخواه • انعکاس نسبت به محوره های X و Y را قبلا بدست آوردیم. • انعکاس نسبت به خط دلخواه ax+by+c=0 به صورت زیر می باشد. • تبدیل خط مذکور به یکی از محورها • انعکاس نسبت به آن محور • تبدیل معکوس تبدل اول • فرض کنید b≠0محل تقاطع این خط با محور y نقطه (0,-c/b) خواهد بود. • ابتدا نقطه فوق را به مبدا منتقل می کنیم . • خط حاصل از مبدا می گذرد و با همان شیب خط اصلی (tan θ = -a/b) • θ زاوبه بین خط و محور x ها میباشد.

13. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه • با دوران به اندازه خط مربوطه به روی محور X نگاشته می شود. • حال تبدیل انعکاس نسبت به محور X انجام می شود. • معکوس دوران را انجام می دهیم که دوران به اندازه می باشد. • مبداء را به نقطه (0,-c/b) می بریم.

14. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه

15. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I تبدیلات سه بعدی 3D

16. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • تبدیلات سه بعدی (3D) بدون تغییر مقیاس انتقال انعکاس نسبت به صفحه Y/Z

17. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران سه بعدی (3D) دوران حول محور Z X’ = x cosθ – y sin θ Y’ = x sin θ + y cosθ Z = Z’

18. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران سه بعدی (3D) دوران حول محور X y’ = y cosθ – z sin θ z’ = y sin θ + z cosθ x = x’

19. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران سه بعدی (3D) دوران حول محور Y z’ = z cosθ – x sin θ x’ = z sin θ + x cosθ y = y’

20. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • دوران در سه جهت مثبت

21. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • تبدیلات سه بعدی (3D)

22. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • تبدیلات سه بعدی (3D)

23. جلسه چهارم گرافیک کامپیوتری I • تبدیلات سه بعدی (3D)

24. گرافیک کامپیوتری I Any Question ????