兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到 : 好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅杆和船帆。 但是：在平坦的地表上，船隻應該會先愈變愈小，最後才縮小成一點消失在視線之外，難道不是這樣嗎？

1. 歐幾里得之窗--從平行線到超空間的幾何學故事Ｅｕｃｌｉｄ‘ｓ　Ｗｉｎｄｏｗ： Ｔｈｅ　Ｓｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｆｒｏｍ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｌｉｎｅｓｔｏ Ｈｙｐｅｒｓｐａｃｅ

2. 兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅杆和船帆。兩千四百年前，亞里斯多德站在海濱，觀察到:好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅杆和船帆。 • 但是：在平坦的地表上，船隻應該會先愈變愈小，最後才縮小成一點消失在視線之外，難道不是這樣嗎？

3. 推論：地球表面應該是彎曲的。 • 透過幾何之窗，人們可以觀察到整顆地球的龐大結構。

4. 數個世紀以來，在許多天才人物與幾何學的協助下，人類得以向邊際以外的地方凝視。Ｑ：如何證明空間中的任何事物？Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？Ｑ：空間是彎曲的嗎？數個世紀以來，在許多天才人物與幾何學的協助下，人類得以向邊際以外的地方凝視。Ｑ：如何證明空間中的任何事物？Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？Ｑ：空間是彎曲的嗎？

5. Ｑ：這個世界有多少個維度　（dimensions）？Ｑ：幾何學該如何解釋宇宙的秩序和一統性？上述疑問孕育出世界歷史中五次革命性的幾何變革。

6. 第一部分 • 空間是什麼？ • 幾何學如何開始成為描述宇宙的工具？引領人們進入現代文明。

7. 空間觀念演進的第一次革命-----抽象化觀念的誕生與證明的構想。空間觀念演進的第一次革命-----抽象化觀念的誕生與證明的構想。

8. 空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測量」，希臘文是geometry。空間的概念始於位置的概念，源自埃及人與巴比倫人所稱的「大地測量」，希臘文是geometry。 • 希臘人首先從對石塊與砂礫的簡單敍述開始發展幾何學，抽離出點、線、面的觀念。

9. 早在歷史記載以前，人類便已發展出數數、計算、課稅。早在歷史記載以前，人類便已發展出數數、計算、課稅。 • 1960年中非薩伊Ishango出土的一根距今八千年的小骨頭，一端嵌有一小片石英，骨頭另一端切割出三道刻痕，這可能是最早出現的一種數量記錄工具。

10. 運算概念的發展較慢，得植基於一定程度的數字抽象觀念。運算概念的發展較慢，得植基於一定程度的數字抽象觀念。 兩個蘋菓－＞ 2兩個柳丁－＞ 22 = 2 ? 2 + 2 = 4 ?

11. 抽象化觀念的演進，大約成形於西元前6000年，每年六月，尼羅河水開始暴漲，漫過河床，為四周鄉野鋪上一層肥沃的泥土。十月河水退卻乾涸，到次年雨季前，連續八個月的乾季則可分成耕耘季和收成季。農業生活成為埃及曆法與埃及人生活的基礎。

12. 到了西元前3500年，埃及的工藝與鑄鐵等小型工業已經十分精通，文字與書寫亦已發展出來。

13. 因為徵稅的緣故，發展出幾何學。 • 理論上，法老王擁有全部的土地和財產，政府根據每年河水氾濫的高度和人民持有土地面積來計算地稅。

14. 因此，埃及人發明了一種雖然麻煩，但頗為精準的面積計算方式，適用於正方形、長方形和梯形。若要計算圓面積，埃及人利用邊長等於直徑8/9的正方形來估算。換句話說，他們以256/81（或3.16）代替π值。（誤差約為百分之0.6）

15. 金字塔的建造 想像在西元前2580年，你要建造一座，底部方形，各面呈三角，高度約146公尺的金字塔。由每塊重量超過兩公噸的巨石堆疊而成，而可用的測量工具只有木頭和繩子。

16. 「拉繩夫」 • 直角三角形的斜邊hypotenuse，希臘文為「用力拉緊」之意。

17. 西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，建立巴比倫帝國。其數學系統，比埃及人複雜得多。西元前2000年到1700年間，波斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰族，建立巴比倫帝國。其數學系統，比埃及人複雜得多。

18. 埃及數學蘭德(Rhind)紙莎草手卷與莫斯科紙莎草手卷(Moscow Papyrus)年代約中國夏商之交。長各六公尺，上頭記載了數十至上百道例題，包括四則、分數、比例、簡單幾何體的面積和體積計算等。

19. 巴比倫數學亞述地區出土的幾百座泥版，內容有參考用的數表、教科書，及其他關於巴比倫數學思考的材料。巴比倫數學亞述地區出土的幾百座泥版，內容有參考用的數表、教科書，及其他關於巴比倫數學思考的材料。

20. 巴比倫的工程師在挖掘運河前，計算運河的梯形橫截面面積，計算需移走的土壤量，需多少人力工時才能完成整個工程。巴比倫的金融借貸採用甚至是複利制。巴比倫的工程師在挖掘運河前，計算運河的梯形橫截面面積，計算需移走的土壤量，需多少人力工時才能完成整個工程。巴比倫的金融借貸採用甚至是複利制。

21. 巴比倫人未發明方程式，所有計算都表述成文字敘述。＜目前已知最早使用加號的文件為1481年的日耳曼手稿＞

22. 巴比倫人與埃及人應該都已經知道畢達哥拉斯定理 (Pythagorean theorem)。 巴比倫人記載的三數組有「3、 4、5 」、 「5、12、13」、…「3456、 3367、 4825」、… • 可推斷:巴比倫人至少具備初等數論的能力。

23. 雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒見到一般式a2+b2=c2。雖然，埃及人和巴比倫人都曉得畢氏定理，郤都沒見到一般式a2+b2=c2。 • 因此，對他們來說，斜邊邊長到底是一個精確數目還是一個約略的估計呢？

24. 古希臘人對下列問題頭痛不已：假設一正方形邊長為一單位，對角線有多長？古希臘人對下列問題頭痛不已：假設一正方形邊長為一單位，對角線有多長？ • 埃及人和巴比倫人並不以為意。

25. 採用六十進位制的巴比倫人計算至第三位數，換算至十進位為1.4142129。

26. 畢達哥拉斯時代的希臘人明白此數無法寫成整數或小數。

27. 出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認最早的科學家或數學家。出生約於西元前640年的泰利斯，幾乎是全世界公認最早的科學家或數學家。 • 他經商致富，對知識有著無限的渴望，遊歷巴比倫，學習天文科學與數學，將這些知識傳回希臘。他成功地預測西元前585年的日蝕。

28. 埃及人擁有建造金字塔的專門技術，卻不知道如何測量金字塔的高度。泰利斯利用經驗事實推導出初等幾何原理，運用相似三角形的性質向埃及人示範金字塔高度的測量與計算，也利用類似的方法測量船隻在海上的距離。

29. 希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲 」之一，認為他們是全世界最有智慧的七個人。

30. 泰利斯為幾何學的系統化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀之後歐幾里得在＜幾何原本＞中所收集的那一類幾何定理。泰利斯了解，想要確知事情之間的真實因果關係，必須建立規則，所以他也創造了最早的邏輯推論體系。泰利斯為幾何學的系統化工作踏出了第一步。他首先證明了幾世紀之後歐幾里得在＜幾何原本＞中所收集的那一類幾何定理。泰利斯了解，想要確知事情之間的真實因果關係，必須建立規則，所以他也創造了最早的邏輯推論體系。

31. 他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個圖形，如果能夠移動和旋轉其中一個，使其與另一個重疊，則兩個圖形可視為全等。他是最早去思考空間圖形全等觀念的人：平面上有兩個圖形，如果能夠移動和旋轉其中一個，使其與另一個重疊，則兩個圖形可視為全等。

32. 把相等的觀念從數目延伸到空間圖形，是空間數學化的一大躍進。這牽涉到同質性(homogeneity)的假設，即圖形在移動時既不會扭曲也不會改變大小。但在任何空間，包括我們生存的物理空間中，這種假設都不是正確的。把相等的觀念從數目延伸到空間圖形，是空間數學化的一大躍進。這牽涉到同質性(homogeneity)的假設，即圖形在移動時既不會扭曲也不會改變大小。但在任何空間，包括我們生存的物理空間中，這種假設都不是正確的。

33. 泰利斯強調，透過觀察與推理，人們理當能夠解釋自然界中所有的現象。他推導出革命性的結論，認為自然是遵循固定的法則運行。在數學的領域中，有關這個世界的結論應該透過規則來確認，而非猜測與觀察。泰利斯強調，透過觀察與推理，人們理當能夠解釋自然界中所有的現象。他推導出革命性的結論，認為自然是遵循固定的法則運行。在數學的領域中，有關這個世界的結論應該透過規則來確認，而非猜測與觀察。

34. 泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質具有如此巨大的多樣性，但本質上卻應該是同樣的東西。泰利斯也提出物理空間的觀念：儘管世界上的物質具有如此巨大的多樣性，但本質上卻應該是同樣的東西。

35. 「什麼是基本的東西？」泰利斯居位在海洋城市，直覺告訴他可能是水。泰利斯的學生，阿納克西曼德(Anaximander)認為人類應是從魚這種低等動物演化而來。

36. 泰利斯老時，遇到歐幾里得幾何學最重要的先驅人物：畢達哥拉斯(Pythagoras)。泰利斯老時，遇到歐幾里得幾何學最重要的先驅人物：畢達哥拉斯(Pythagoras)。

37. 畢達哥拉斯十八歲時，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費雷西底(Pherecydes)。費雷西底學習過腓尼基的神祕經書，將靈魂不朽與輪迴轉世的觀念傳入希臘，畢達哥拉斯的宗教哲學觀即是以此為基石。畢達哥拉斯十八歲時，到里斯伯島(Lesbos)拜訪費雷西底(Pherecydes)。費雷西底學習過腓尼基的神祕經書，將靈魂不朽與輪迴轉世的觀念傳入希臘，畢達哥拉斯的宗教哲學觀即是以此為基石。

38. 二十歲時，前往米利都，遇到泰利斯。可以確知的是，他對這個年輕的天才產生了重大的影響。泰利斯辭世多年後，畢達哥拉斯仍常獨坐家中，為這位離開人世的遠見人物吟唱讚詩。二十歲時，前往米利都，遇到泰利斯。可以確知的是，他對這個年輕的天才產生了重大的影響。泰利斯辭世多年後，畢達哥拉斯仍常獨坐家中，為這位離開人世的遠見人物吟唱讚詩。

39. 所有古代關於這次會面的記載都表示：泰利斯送給畢達哥拉斯一句勉勵忠告，要他前往埃及。所有古代關於這次會面的記載都表示：泰利斯送給畢達哥拉斯一句勉勵忠告，要他前往埃及。

40. 在埃及的幾何物體都是物理實體：直線是拉繩夫拉緊的繩子或者田地的邊緣；矩形是一小塊土地的範圍或石塊的一個平面；而空間則是泥土、 土壤和空氣。

41. 把浪漫和比喻的想法帶入數學領域的不是埃及人，而是希臘人：空間對希臘人而言可以是一種數學的抽象觀念，同樣重要的是，這種抽象觀念可以應用到各種不同的情況。“知識是可以相互應用的。”把浪漫和比喻的想法帶入數學領域的不是埃及人，而是希臘人：空間對希臘人而言可以是一種數學的抽象觀念，同樣重要的是，這種抽象觀念可以應用到各種不同的情況。“知識是可以相互應用的。”

42. 傳說，一天畢達哥拉斯路過鐵匠鋪時，聽到不同錘子敲打鐵鉆發出的聲響，開始思考。用弦線進行實驗，發現調和數列以及振動弦線與發出音高之間的關係。後人常視此為歷史上以實證方式發現自然法則的首例。傳說，一天畢達哥拉斯路過鐵匠鋪時，聽到不同錘子敲打鐵鉆發出的聲響，開始思考。用弦線進行實驗，發現調和數列以及振動弦線與發出音高之間的關係。後人常視此為歷史上以實證方式發現自然法則的首例。

43. 畢達哥拉斯的和聲律代表了人類第一次用數學名詞來描述物理世界的里程碑。畢達哥拉斯的和聲律代表了人類第一次用數學名詞來描述物理世界的里程碑。

44. 畢氏數學的許多複雜內容都是來自畢達哥拉斯和其追隨者所發現的許多數值類型。例如：「正方形數」（square number)與三角形數。

45. 畢達哥拉斯覺得正方形數和三角形數的性質十分神奇。比方說(a)第二個正方形數4等於前兩個奇數的和：1+3。第三個正方形數9等於前三個奇數的和：1+3+5，以此類推。畢達哥拉斯覺得正方形數和三角形數的性質十分神奇。比方說(a)第二個正方形數4等於前兩個奇數的和：1+3。第三個正方形數9等於前三個奇數的和：1+3+5，以此類推。

46. (b)正方形數都等於連續奇數的和。 • (C)三角形數同樣也是所有包括奇偶數在內的連續數目和。 • (d)正方形數和三角形數彼此關聯；只要把三角形數和前一個或後一個三角形數相加，即可得到正方形數。

47. 畢氏定理也一樣，看起來十分神奇。要用幾何方法證明畢氏定理，所需的唯一計算就是正方形面積等於邊長的平方。畢氏定理也一樣，看起來十分神奇。要用幾何方法證明畢氏定理，所需的唯一計算就是正方形面積等於邊長的平方。