直线与圆的位置关系 数科院 06080202 王增

1. 直线与圆的位置关系 数科院 06080202 王增

2. 复 习 1.圆的标准方程为______________ (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心为________ r(>0) 半径为______ （a，b) 2.圆的一般方程：__________________________________ x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0) 圆心为半径为 3.点与圆的位置关系：点与圆的关系的判断方法 点在圆上 点在圆外 点在圆内

3. 思考 直线和圆的位置关系有几种？ 它们分别有哪些图形特点？

4. + + | Aa Bb C | = d + 2 2 A B 位置 相离 相切 相交 d与r d>r d=r d<r 图形 r r r d d d 交点个数 0个 1个 2个 直线与圆的位置关系 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零) 和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 则

5. 直线与圆的位置关系判 定(几何方法)： 主要步骤：比较d与r 把直线方程化为一般式,根据圆的方程求出圆心和半径r 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d 作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交

6. 练习： 1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关 系为________ 相切 2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________ 相离 3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0 的位置是________ 相交

7. Ax+By+C=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 联列方程 思考：除了用几何方法，可否用代数方法根据方程来判断直线与圆的位置关系呢？ 设直线l方程为：Ax+By+C=0, 圆C的方程为: x2+y2+Dx+Ey+F=0 思路1：解方程组，根据解的情况，得到交点个数，从而判断位置关系。 思路2：利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系作判断。

8. 例1、求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点 坐标, 并判断它们的位置关系。 分析：联立直线和圆的方程，解方程组，每一组解对应着一个交点。根据交点个数判断位置关系。 解：联立解得： 所以有两个公共点（10,0），（ ， ），故直线与圆相交。 注：本题用代数方法的思路1来解题。

9. 代数方法判断直线与圆的位置关系之思路2 将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系作判断： 若Δ<0 ，方程组无解，则直线与圆相离； 若Δ=0，方程组有一解，则直线与圆相切； 若Δ>0，方程组有两解，则直线与圆相交。 反之也成立

10. 例1、判断直线4x+3y=40和圆 的为置关系。 解：联立 ，消元用x表示 ， 代入圆的方程得 整理得： 由判别式 故方程组有两解，直线与圆相交 注：本题用代数方法的思路2来解题。

11. P P 问：过圆上一点的圆的切线有几条？ 过圆外一点的圆的切线有几条？ 求过一点P与圆相切的直线时，要先判断点P与圆的位置关系

12. 例2、直线l过点A(-1,4)且与圆(x-2)2+(y-3)2=1相 切,求直线l的方程。

13. 例2、直线l过点A(-1,4)且与圆(x-2)2+(y-3)2=1相 切,求直线l的方程。 解：（1）当直线l的斜率不存在时，l:x=-1,圆心（2，3）到它的距离为3，不等于半径，故不相切。 （2）l的斜率存在，可设l:y=k(x+1)+4,即kx-y+4+k=0。由题意知，圆心(2,3)到l的距离等于圆的半径，即 解得 故直线l的方程： 或 注：直线的方程时，注意考虑斜率不存在的情形。 变式：当A的坐标为(2,2)或(1,1)时，分别求出直线l的方程。

14. 例3:求直线x+2y-3=0被圆截得的弦长AB。 解：方法一：数形结合，弦长 方法二：联立方程组，求出A,B坐标，求出两点距离。 方法三：弦长公式 （k为直线的斜率,k存在， ） 点评：在圆中求弦长，最常用方法一

15. 本课小结 一：判定直线和圆的位置关系有两种方法： 1，几何方法：比较d与半径r。（常用方法） 2，代数方法：思路1解出交点；思路2判别式法。 二：直线和圆相切应用：求过一点的圆的切线方程。 注意：判断点与圆的位置关系，不要忽视k不存在情况。 三：直线和圆相交应用：求弦长, 注意数形结合来解题，重点掌握 。

16. 作业： 完成本课学案及小卷。