第一章质点运动学

第一章质点运动学 §1-1 参考系和坐标系质点 §1-2 位置矢量位移 §1-3 速度加速度 §1-4 运动迭加原理抛体运动 §1-5 圆周运动

§1-1 参考系和坐标系质点 1. 质点物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得复杂。某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者起次要作用而可以忽略其影响——简化为质点模型。质点：具有一定质量没有大小或形状的理想物体。

质点 可以作为质点处理的物体的条件：大小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。研究地球公转地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺寸的影响，作为质点处理。

质点 研究地球自转地球上各点的速度相差很大，因此，地球自身的大小和形状不能忽略，这时不能作质点处理。研究汽车在平直道路上运动除车轮外，汽车各部分运动情况完全相同，车轮的运动是次要的，此时可把汽车作为质点处理。

研究汽车突然刹车“前倾”或转弯 涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各个车轮受力差异很大，不能把汽车做质点处理。质点是从实际中抽象出的理想模型，研究质点的运动是为了抓住事物的主要矛盾进行研究分析。

参考系和坐标系 2. 参考系和坐标系静止是相对的，运动是绝对的，地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体运动与否，首先要选择统一的物体作参考。即使是太阳，在银河系中其它恒星系统观察，仍然运动着的。银河系指南针

参考系和坐标系 z z z R  y R o  参考方向 y x o  x 参考系：描述物体运动时，被选作参考的物体，称为参考系。要定量描述物体的位置与运动情况，就要运用数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。常用的坐标系有直角坐标系(x,y,z)，极坐标系(,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。

空间和时间 3. 空间和时间空间反映了物质的广延性，与物体的体积和位置的变化联系在一起。时间反映物理事件的顺序性和持续性，与物理事件的变化发展过程联系在一起。各个时代有代表性的时空观：墨子：空间是一切不同位置的概括和抽象；时间是一切不同时刻的概括和抽象。墨子

莱布尼兹：空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动就没有时空间和时间，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联系。莱布尼兹：空间和时间是物质上下左右的排列形式和先后久暂的持续形式，没有具体的物质和物质的运动就没有时空间和时间，强调时间空间的客观性而忽略与运动的联系。莱布尼兹牛顿：空间和时间是不依赖于物质的独立的客观存在，强调与运动的联系忽略客观性。牛顿

空间和时间 爱因斯坦：相对论时空观，时间与空间客观存在，与运动密不可分。爱因斯坦目前的时空观范围：宇宙的尺度1026m(20亿光年)到微观粒子尺度10-15m，从宇宙的年龄1018s(20亿年，宇宙年龄)到微观粒子的最短寿命10-24s。物理理论指出,空间和时间都有下限：分别为普朗克长度10-35m和普朗克时间10-43s 。

§1-2 位置矢量位移 P(x,y,z)    1. 位矢在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。

运动方程 z  P(x,y,z)  y o  x 2. 运动方程在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。例如：将运动方程中的时间消去，得到质点运动的轨迹方程。一般情况轨迹方程是空间曲线。

位移 A z y B o 注意区分 o x 3. 位移 ΔS 位移反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。路程是质点经过实际路径的长度。路程是标量。

§1-3 速度加速度 1. 速度速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。平均速度平均速率平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。平均速度的大小并不等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。

速度 P2 P2 P2 P1 P2 P2 P2 P2 P2 P2 o 瞬时速度当t0时，P2点向P1点无限靠近。

速度当时位移的极限方向，该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：大小: 方向:

加速度 z P1 P2 y o x 4. 加速度加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。

加速度 z P1 o P2 y o x 注意区分、平均加速度平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。

加速度 瞬时加速度与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个极限值瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐标系中用分量表示:

加速度 大小加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。

加速度 近日点远日点加速度与速度的夹角大于90，速率减小。加速度与速度的夹角等于90，速率不变。

思考题 质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为负。思考题质点作曲线运动，判断下列说法的正误。质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误:

例1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该质点的运动方程。解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：对于作直线运动的质点，采用标量形式两端积分可得到速度

根据速度的定义式： 两端积分得到运动方程消去时间，得到

§1-4 运动迭加原理抛体运动 1. 运动迭加原理在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的坐标x、y、z 为时间t函数：这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的叠加。

运动迭加原理 和以xy平面内圆周运动为例：两种形式的运动方程可分别写出为：在第一组方程中消去时间参数t，得到运动的轨迹方程这显然是z=0的平面内以原点为圆心、半径为R的圆。因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运动，满足运动的迭加原理。

抛体运动 y x O 2.抛体运动抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称抛体运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为 ，则初速度分量分别为：而加速度恒定故任意时刻的速度为：

抛体运动 将上式积分，得到运动方程的矢量形式为消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。

抛体运动 y h H x O 令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H ，它就是射程：根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：

抛体运动 由方程知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称为运动的分解。运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：

抛体运动 y x O 这种分解方法可用下图说明

§1-5 圆周运动 切向单位矢量法向单位矢量 1. 切向加速度和法向加速度在一般圆周运动中，质点速度的大小和方向都在改变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。 1.1 自然坐标系在运动轨道上任一点建立正交坐标系,其一根坐标轴沿轨道切线方向,正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。

切向加速度和法向加速度 1.2 自然坐标系下的加速度由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：由加速度的定义有

切向加速度和法向加速度 d ds P P 即与P点的切向正交。因此 d 以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：如图，质点在dt 时间内经历弧长ds，对应于角位移d，切线的方向改变d角度。作出dt始末时刻的切向单位矢，由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢的增量为

切向加速度和法向加速度 P  于是前面的加速度表达式可写为：即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量： at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢。上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径R 要用曲率半径 代替。

切向加速度和法向加速度 的大小为由例题讨论下列情况时，质点各作什么运动： at等于0, an等于0, 质点做什么运动？ at等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？ at不等于0, an等于0 , 质点做什么运动？ at不等于0, an不等于0 , 质点做什么运动？

圆周运动的角量描述 B：t+t y A：t   o x 2. 圆周运动的角量描述前述用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描述法；由于做圆周运动的质点与圆心的距离不变，因此可用一个角度来确定其位置，称为角量描述法。设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的角位置为  角位移为  规定反时针为正平均角速度为

圆周运动的角量描述 角速度为角加速度为角速度的单位：弧度/秒(rads-1) ；角加速度的单位：弧度/平方秒(rad s-2) 。讨论： (1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。

圆周运动的角量描述 (2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为与匀变速直线运动的几个关系式比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。

线量与角量之间的关系 t+t B A R t +  x O 3. 线量与角量之间的关系圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。图示一质点作圆周运动： 0+ 在t 时间内，质点的角位移为，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系 0 两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：

线量与角量之间的关系 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：法向加速度也叫向心加速度。例1 例2 思考题

线量与角量之间的关系 r p R  赤道例题1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：如图，地面上纬度为的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动, 其轨道的半径为

线量与角量之间的关系 P点速度的大小为 P点速度的方向与过P点运动平面上半径为R的圆相切。 P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为 P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。

线量与角量之间的关系 例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和2300，则三地的v 和 an分别为：北京：上海：广州：

线量与角量之间的关系 例题2一质点沿半径为R的圆周按规律运动，v0、b都是正的常量。求： o R （1） t 时刻质点的总加速度的大小；（2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。 s s 解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的p点处。 P 在t 时刻，质点运动到位置 s 处。

线量与角量之间的关系 （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: s （2）令a = b ，即 o R

线量与角量之间的关系 得（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经的弧长为 s 它与圆周长之比即为圈数： o R

思考题 o R 思考题 1. 质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向都在变化。返回下一题

思考题 思考题依据平均速率平均速度的大小 c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成 ,其中 v1是初速度， v2 是末速度。 2.判断下列说法的正、误： a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。 b. 平均速率等于平均速度的大小。 d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。

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