第六章 均匀设计法

1. 第六章 均匀设计法

2. §6－1 基本原理 • 一、引言 • 正交试验设计利用： • 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 • 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 • 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如5因素5水平，用正交表需要安排55＝25次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果

3. 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效 • 均匀设计法愈正交设计法的不同： • 均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点在试验范围内充分“均衡分散”

4. 均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。

5. 二、均匀设计表 • 均匀设计表符号表示的意义 因素数 U7(76) 均匀表的代号 因素的水平数 试验次数

7. 图9-1 两因素均匀设计布点图

8. 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1 • 如U6(64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平，该表有4列。 U6(64) 列号 试验号

9. s 列 号 D 2 1 3 0.1875 3 1 2 3 0.2656 4 1 2 3 4 0.2990 • 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度越好。 U6(64)的使用表

10. 均匀设计有其独特的布（试验）点方式： • 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 • 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点 • 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。 • 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价

11. 例如用U6(64)的1，3 和1，4列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。

12. 三、试验结果分析 • 均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步回归分析的方法：

17. §9－2 应用举例 • 利用均匀设计表来安排试验的步骤： • （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了

18. 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三个因素，它们各取了7个水平如下：在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反应时间(C)三个因素，它们各取了7个水平如下： • 原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 • 吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 • 反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5 • 7个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们可以选用U7(76)完成该试验。

19. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 6 5 6 2 2 4 6 5 3 5 U7(76) 3 3 6 2 4 1 4 列号 试验号 4 4 1 5 3 6 3 5 5 3 1 2 4 2 6 6 5 4 1 2 1 7 7 7 7 7 7 7

20. 因素数 列号 2 1 3 3 1 2 3 U7(76)使用表 4 1 2 3 6 5 1 2 3 4 6 6 1 2 3 4 5 6 U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取1，2，3列安排试验。

21. No. 配比（A） 吡啶量（B） 反应时间（C） 收率（Y） 1 1.0(1) 13(2) 1.5(3) 0.330 2 1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336 3 1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294 4 2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476 5 2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209 6 3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451 7 3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482 制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果

22. 根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。 • 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据

24. 方差分析表 方差来源 自由度 平方和 均方 F 0.048770 0.014838 0.063608 0.016257 0.004946 回归 3 3 6 3.29 误差 总和

26. 现在用逐步回归分析的方法来筛选变量： • 逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术.开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个阈值Fin和Fout，用于决定变量能否入选或剔除.逐步回归在每一步有三种可能的功能： • 将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于Fin • 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于Fout • 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。

27. 设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。 • 仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，得(2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的t值，t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本例有

28. t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77 • 这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（Y）影响最大，配比次之，吡啶量最小。 • 这些t 值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。 若取α=0.05 ，这时n=7,m=3, tn-m-1= 的临界值t3(0.05)=3.18。t值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今 均小于(0.05)=3.18 ，说明回归方程(2.18)的三个变量至少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的X2删去，重新建立Y和X1及X3的线性回归方程，得

32. 例.均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用 • 1. 均匀设计表的选取 • 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠25g/L，醋酸钠25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个因素，每个因素取值范围为t个水平（t 为实验次数），4个因素的一次项及二次项各有4项，4项因素间的两两交互作用设有6项，共14项，实验数不能小于14，本实验选用U17（178）表。

33. 均匀表U17（178）

34. U17（178）表的使用表 本实验为4因素，这4个因素安排在均匀表的1，5，7，8列，去掉U17（178）的最后一行，将实验方案及结果见下表。

36. 2.指标的选择和优化 • 指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标z，z的分值由外观评分R，沉积速度评分V，耐腐蚀性评分Q乘以不同的权重构成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分别为0－100。

37. 3.实验方法 • 试样为10cm×5cm×0.2cm的低碳钢板，在88－90℃的恒温水浴槽内施镀，镀液pH值控制在4.5-5.0。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成16种化学镀液，挂镀法施镀1h，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。 • 沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量/样片的面积(g/cm2 ) • 耐腐蚀性测定：10％硫酸浸泡24h，根据失重及腐蚀后外观评分

38. 4.结果处理及分析 • 实验结果用计算机处理，主要运用软件为SPSS和Matlab。 • 4.1建立数学模型及筛选变量 • 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为： • R=b0+∑bixi+∑bijxixj+∑biixi2 (i=1,2,3,4;i≠j) • b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用自后淘汰变量法(backward selection)进行回归分析和变量筛选，sigF＞0.10的变量被淘汰，最后得到指标与相关组成的回归方程。

39. Z=86.726+6.555×d－4.554×p2＋1.384×c2＋0.01641×ω2－3.177×p×c＋0.1932×p×ω－0.1209×c×ω－0.3779×d×ωc为主光亮剂；d为辅助光亮剂；ω为润湿剂；p为稳定剂。Z=86.726+6.555×d－4.554×p2＋1.384×c2＋0.01641×ω2－3.177×p×c＋0.1932×p×ω－0.1209×c×ω－0.3779×d×ωc为主光亮剂；d为辅助光亮剂；ω为润湿剂；p为稳定剂。 4.2对回归方程的优化处理 用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用Matlab 语言编程 ，用BFGS拟牛顿(Quasi-Newton)算法及最小二乘法寻 优，本实验找到的最优解为：主光亮剂HC3.7mg/L，辅助光亮 剂HD1.1ml/g，稳定剂0.2mg/L，润湿剂19.7mg/L，乳酸6mol/L。

40. 4.3优化结果的验证 • 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡24h后外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为96.2，优于实验中最好的5号试样。镀速可达11－5μm /h，镀液使用周期可达8周期以上。 4.4各因素对镀层质量影响的分析 回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小， 但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的 系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数b0：

41. 主光亮剂c2辅助光亮剂d 稳定剂p2润湿剂ω2 b0 0.384 0.384 －0.759 －0.418 交互pc交互pw交互cw交互dw b0 －0.485 0.233 －0.229 －0.714 从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定 剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润 湿剂与辅助光亮剂的交互作用dw影响最大，其次主光亮 剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。

42. 6-3 混合水平的均匀设计表 在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用． 有如下三种方法： a) 均匀设计与调优方法共用； b)分组试验； c)拟水平法． 本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用． 若在一个试验中，有二个因素A和B为三水平，一个因素C为二水平．分别记它们的水平为A1，A2，A3,B1，B2，B3和C1，C2．这个试验可以用正交表L18(2x 37)来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比L18更小的正交表来安排这个试验． 可以用拟水平技术均匀设计来安排这个试验。我们选用均匀设计麦U6*(66)，按使用表的推荐用1，2，3前3列，若将A和B放在前两列，C放在第3列，并将前两列的水平合并：

43. {1,2}1 {3,4}2 {5,6}3 同时将第3列水平合并为二水平： {1,2,3}1 {4,5,6}2 于是得设计表(表20)．这是一个混合水平的设计表U6(32×21）

44. 这个表有很好的均衡性。例如，A列和C列，B列和C列的二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A列和B列的二因素设计中没有重复试验．这个表有很好的均衡性。例如，A列和C列，B列和C列的二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A列和B列的二因素设计中没有重复试验． 我们要安排一个二因素(A,B)五水平和一因素(C)二水平的试验．这项试验若用正交设计，可用L50表，但试验次数太多．若用均匀设计来安排，可用U10(52×21)． 若选用U10(1010)的1，2，5三列，用同样的拟水平技术，便可获得表22列举的U10(52×21)表它有较好的均衡性． 对1，5列采用水平合并 {1,2}1 。。。。。。。 {9,10}5 {1,2，3，4，5}1 {6,7，8，9，10}2 于是得表22的方案。 经计算发现现．表22结出的表具有偏差D＝0.39253，达到了最小．

45. 表-22 拟水平设计U10(52×21)

46. 6-4 均匀设计和正交设计的比较 正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择．本节将讨论两种试验设计的特点。 1。正交设计具有正交性。如果试验按它设计可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应． 均匀设计是非正交设计它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估计出回归模型中因素的主效应和交互效应． 2。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方．如有五个因素，每个因素取3l个水平，其全部组合有315＝28625151个。若用正交设计，至少需要做961＝312个试验。 而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验．

47. 3。 正交设计的数据分析程式简单，“直观分析”可以给出试验指标y随每个因素的水平变化的规律． 均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选 变量的技巧，非使用电脑和应用软件不可．

48. 4。两种设计的均匀性比较 因为很难找到二个设计有相同的试验数和相同的水平数，一个来自正交没计，另一个来自均匀设计 由于这种困难，我们从如下三个角度来比较： （1. 试验数相同时的偏差的比较 表-23给出当因素数s＝2，3，4时两种试验的偏差比较，

49. 注：在比较中我们没有全部用U*表，如果全部用U*表，其均匀设计的偏差会进一步减小．注：在比较中我们没有全部用U*表，如果全部用U*表，其均匀设计的偏差会进一步减小． （2 水平数相同时偏差的比较 表24的前两列给出了两种设计水平数相同，但试验致不同的比较，其中当均匀设计的试验数为n时，相应正交设计的试验数为n2．例如 U*6(62)的偏差01875，而L36(62)的偏差为01597，两者差别并不大．所以用U*6(62)安排的试验其效果虽然比不上L36(62) ，但其效果并不太差，而试验次数却少了6倍。

50. (3 偏差相近时试验次数的比较 刚才我们讲到U*6(62)比不上L36(62) ，如果让试验次数适当增加，使相应的偏差与L36(62)的偏差相接近，例如U*8(82)的偏差为0.1445，比L36(62)的偏差0.1597赂好．但试验次数可省36／8＝4.5倍。 表25的最后一列给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。 结论：综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地伏于正交设计并可节省四至十几倍的试验。