确定性动态系统常规控制综合与设计

之现代控制理论 确定性动态系统常规控制综合与设计系统综合与设计初步电气工程学院自动化专业信号与控制课群教学团队

控制系统综合与设计过程 对象是什么？目标是什么？有没有方法？如何尽快验证？需要什么样的物质基础达到目标？如何具体实现？如何发现问题并解决问题？如何投运？技术文档与说明文档建立了吗？控制系统综合与设计过程

本章内容 • 综合与设计的基本概念 • 连续时间线性时不变反馈控制系统的结构特性 • 离散时间线性时不变反馈控制系统的结构特性 • 线性时不变系统的极点配置问题提法与指标确定 • 线性时不变系统状态反馈极点配置的存在性与算法 • 线性定常系统从输出到状态矢量导数反馈极点配置 • 线性时不变系统状态反馈与从输出到状态矢量导数反馈复合极点配置 • 线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法 • 线性时不变系统反馈镇定问题与求解 • 线性时不变系统解耦控制 • 基于观测器的线性时不变系统状态反馈控制

1综合与设计的基本概念 反馈反馈问题的提法性能指标的类型与提法综合问题与设计问题的解决思路

1.1问题的提法--反馈控制的结构 • 控制研究的基本问题 • 性能指标是什么 • 控制输入是什么 • 反馈控制的基本结构 • 输出反馈控制 • 状态反馈控制 • 综合与设计问题提法 • 综合问题 • 设计问题思考：为什么可以施加外部作用？

1.2性能指标的类型与提法-1 系统的性能指标静态指标----稳态误差动态指标非优化型性能指标镇定极点配置问题或特征结构配置解耦控制跟踪优化型性能指标误差范数积分时间误差范数积积分二次型积分泛函系统性能要求：“稳”“快”“准” “少”“鲁棒”

1.3综合与设计问题解决思路 • 可综合条件----可解性 • 综合算法----方法 • 可设计条件----可实现性 • 实现----实体途径

2连续时间线性时不变反馈控制系统的结构特性2连续时间线性时不变反馈控制系统的结构特性 • 状态反馈与其闭环系统分析 • 状态反馈系统的时域形式 • 状态反馈系统的复频域形式 • (静态)输出反馈与其闭环系统分析 • 静态输出反馈系统的时域形式 • 静态输出反馈系统的复频域形式 • 从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析 • 动态补偿 • 从时域角度讨论动态补偿的形式 • 从复频域角度讨论动态补偿系统的结构与稳定性

2.1状态反馈与其闭环系统分析-1 • 状态反馈系统的时域形式 • 状态反馈为系统结构的完全反馈，自由度大，实现的功能强 • 状态反馈并未改变系统的阶数 • 为任意改变特征值提供了途径 • 状态反馈不改变系统惯性性质 • 状态反馈保持能控性 • 状态反馈并不保持能观性 • 状态反馈有时难于实施,需要观测器辅助

2.1状态反馈与其闭环系统分析-2 • 不能保证闭环系统完全能观，但能控性是保持的。 • 强能观性的条件 • 一般状态反馈配置n个极点不会影响原传递函数阵的零点，但传递函数阵的各元分子多项式可能受状态反馈影响 • 状态反馈系统的复频域形式 MFD控制器形实现 @ 状态向量可能非右互质 @

2.1状态反馈与其闭环系统分析-3 • 例：讨论MIMO反馈系统的能观性与传递函数阵的变化(板书)

2.2(静态)输出反馈与其闭环系统分析-1 • 静态输出反馈系统的时域形式 • 输出反馈是系统结构信息的不完全反馈 • 输出反馈不改变系统阶数 • 可能并不能任意改变特征值 • 输出反馈不改变系统惯性性质 • 输出反馈保持能控性 • 输出反馈不保持能观性 • 输出反馈实施较易 • 增强反馈能力,有时需要引入动态补偿

2.2(静态)输出反馈与其闭环系统分析-2 • 静态输出反馈系统的复频域形式 • 前向通道传递函数是真的或严真的，且系统可这两个传递函数完全表征

2.3从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析2.3从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析 • 从输出到状态矢量导数反馈与其闭环系统分析 • 不改变系统阶数 • 特征值可自由配置 • 不改变系统惯性性质 • 不改变系统的能观测性和能观测子空间 • 可能改变系统的能控制性和能控子空间 • 由于是接入系统内部。而通常系统是不提供这种接入

2.4连续时间系统的动态补偿-1 • 从时域角度讨论动态补偿的形式 • 带动态补偿的闭环系统的阶数是动态补偿器阶数与受控系统阶数之和。 • 串联结构的典型例子是串联校正，可以采用超前、滞后或二者的复合。 • 并联结构典型的例子是状态观器器的状态反馈、局部反馈等。

2.4连续时间系统的动态补偿-2 • 续前：以动态补偿的并联结构为例说明动态补偿输出反馈静态输出反馈

2.4连续时间系统的动态补偿-3 • 从复频域角度讨论动态补偿系统的结构特性与稳定性 • 前向通道传递函数是真的或严真的，且系统可这两个传递函数完全表征

2.4连续时间系统的动态补偿-4 • 续前：有理分式矩阵表征情形的渐进稳定条件根具有负实部

2.4连续时间系统的动态补偿-5 • 续前：以不可简约MFD和MFD表征情形的渐进稳定条件根具有负实部由于反馈连接的两子系统的完全能控和能观并不能保证，所以SF渐近稳定条件为BIBO稳定的充分条件

2.4连续时间系统的动态补偿-5 • 例： (1) 该输出反馈系统是否完全能控？ (2) 该输出反馈系统是否完全能观？ (3) 该输出反馈系统是否为BIBO稳定？ (4) 该输出反馈系统是否为渐近稳定？

3离散时间线性时不变反馈控制系统的结构特性(类比连续情况)3离散时间线性时不变反馈控制系统的结构特性(类比连续情况) • 状态反馈与其闭环系统分析 • (静态)输出反馈与其闭环系统分析 • 从输出到下一个状态的反馈与其闭环系统分析 • 离散时间系统的动态补偿

4线性时不变系统的极点配置问题提法与指标确定4线性时不变系统的极点配置问题提法与指标确定 • 问题的提法 • 时域指标与频域指标 • 连续域时域指标与频域指标和极点间的关系 • 离散域极点与连续域极点间的关系

4.1问题的提法 极点配置问题究其实质上应用反馈技术实现零极点的重新分配，以获得期望的性能。状态反馈输出反馈从输出到下一个状态的反馈

4.2时域指标与频域指标-1 • 时域指标 • 频域指标

4.2时域指标与频域指标-2 • 连续域时域指标与频域指标和极点间的关系二阶期望的闭环极点位置不能和系统的动态特性（响应特性）联系起来，但只有少数几个极点(主导极点)对系统的响应起主导作用，最靠近虚轴的极点(主首极点)对系统的影响起首要作用。主首极点在整体上决定系统响应的类型和走向。高阶

4.2时域指标与频域指标-3 • 对于一个n阶LTI线性受控系统，综合满足性能要求的n个期望闭环极点的步骤： • 分析系统的可综合性。 • 根据工程指标，考虑在误差向量的快速性和干扰、测量噪声的灵敏性之间折衷，构造主导极点对。 • 选取其余n-2个期望闭环极点，其原则是远离主导极点实部5~10倍。同时也要兼顾系统零点分布的情况，注意状态反馈并不改变原系统的零点，但可以制造零极点对消。 • 选择适用的综合算法对系统进行综合。 • 通过仿真验证各项工程指标。

4.2时域指标与频域指标-4 • 离散域极点与连续域极点间的关系 • 例:确定离散闭环控制系统的极点取值范围

5线性时不变系统状态反馈极点配置的存在性与算法5线性时不变系统状态反馈极点配置的存在性与算法 • 单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法 • 多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法 • 离散时间LTI系统极点配置的存在性与算法

5.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-15.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-1 • 存在性：其全部n个特征值可任意配置的充分必要条件是系统完全能控。反证法：不能控，则可按能控性进行分解。依此分解，状态反馈系统的系统矩阵可转化成上三解块矩阵，一部分不受反馈影响：必要性充分性构造法：通过非奇异变换将原系统转换成能控标准I型

5.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-45.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-4 • Bass-Gura算法 • 判定能控性 • 计算原系统系统矩阵的特征多项式 • 计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式 • 计算 • 计算 • 计算

5.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-25.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-2 • Ackermann’s Formula 算法 • 判定能控性 • 计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式 • 计算 • 计算 • 直接比较计算法 • 判定能控性 • 计算反馈系统期望闭环特征值决定的特征多项式 • 计算 • 由求解该方程组中的待定系数

5.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-35.1单输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-3 • 例：计算状态反馈增益向量并分析期望极点：s = -2±j4和s = -10 说明状态反馈控制对性能指标好坏两个方面的影响 A=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6]; b=[0 0 1]'; c=[1 1 1]; d=0; p=eig(A);%原系统的特征值 sys=ss(A,b,c,d);%原系统 pb=[-2+4j -2-4j -10]';%状态反馈系统的期望特征值 [k,pr,m]=place(A,b,pb)%这里求k是基于A-bk的，所以得到的是正数 Ab=A-b*k; bb=b; cb=c; db=d; sysb=ss(Ab,bb,cb,db);%状态反馈系统 inttf=tf([1],[0.007 0]);%串联积分环节 sysbb=feedback(inttf*sysb,1,-1)%状态反馈加上积分后的系统 % [Y,T]=step(sys,'k-',sysb,'k-.',sysbb,'k--'), [Y1,T1]=step(sys,0:0.1:18) [Y2,T2]=step(sysb,0:0.1:18) [Y3,T3]=step(sysbb,0:0.1:18) plot(T1,Y1,'k-','LineWidth', 2.0),hold on plot(T2,Y2,'k-.','LineWidth', 2.0),hold on plot(T3,Y3,'k--','LineWidth', 2.0) axis([0 18,-0.1 1.1]) legend('Original system','State feedback system','State feedback and integeral-series system'),legend('boxon') title('Step Response','fontsize',16,'fontname','Times New Roman') xlabel('Time','fontsize',16,'fontname','Times New Roman'); ylabel('Amplitude','fontsize',16,'fontname','Times New Roman'); set(gca,'LineWidth', 2.0,'fontsize',12 );

5.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-15.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-1 • 存在性：其全部n个特征值可任意配置的充分必要条件是系统完全能控。反证法：不能控，则可按能控性进行分解。依此分解，状态反馈系统的系统矩阵可转化成上三解块矩阵，一部分不受反馈影响：必要性充分性并矢(单位秩)法：首先使系统矩阵循环化；然后利用循环系统的能控性质，实际上是将多输入变成单输入，简化问题。最终的状态反馈状态反馈阵K不唯一性和秩非1性

5.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-25.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-2 • 基于循环矩阵的构造性算法(并矢(单位秩)法) • 判定能控性 • 判定系统矩阵的循环性 • 选择ρ使能控 • 对极点配置，计算状态反馈向量k • 计算最终的反馈阵 • 另一个可操作性的方法 • 判定能控性 • 计算 • 计算K，对选取的H满足

5.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-35.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-3 • 疋田构造性算法----针对互异特征根的情况

5.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-45.2多输入连续时间LTI系统极点配置的存在性与算法-4 • 例：MI系统极点配置

5.3离散时间LTI系统极点配置的存在性与算法 • 存在性与算法与连续情况完全类似 • 不完全状态反馈例子对于SI系统，不仅闭环系统的特征值不能用不完全状态的反馈任意配置对于MI系统，在满足p×(n-n1)≥n时，还是可以配置的

6线性时不变系统从输出到状态矢量导数反馈极点配置6线性时不变系统从输出到状态矢量导数反馈极点配置 • 通过从输出到状态矢量导数反馈实现极点配置的充分必要条件是系统完全能观。 • 考量其对偶系统，可见其极点配置方法与状态反馈极点配置方法类似。

7线性时不变系统状态反馈与从输出到状态矢量导数反馈复合极点配置7线性时不变系统状态反馈与从输出到状态矢量导数反馈复合极点配置 • 可任意配置条件 • 另一种表达：采用状态反馈加输出至状态导数的输出反馈配置系统极点的充分必要条件是该系统经输出至状态导数的反馈配置极点后的系统的不能控部分均具有指定位置的极点，且系统经状态反馈后的系统不能观部分也具有指定位置的极点。 n1维能控又能观测、n2维能控但不能观测、n3维不能控但能观测、n4维既不能控又不能观测的子系统，n= n1+ n2 + n3+ n4。n5为n3+n4维不能控子系统中具有指定位置的极点数(可以保留，一般是稳定的)；n6为n2+n4维不能观子系统中具有指定位置(可以保留，一般是稳定的)的极点数。n7为不能观测部分优先采用状态反馈后具有指定位置的极点数；n8为不能控部分优先采用从从输出到状态矢量导数反馈后具有指定位置的极点数。

8线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-18线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-1 • 静态输出反馈(以连续系统为例) • 引例：输出反馈不能任意配置闭环极点采用静态输出反馈可能不能任意配置静态输出反馈闭环系统的极点。输出反馈的能力多大？它能任意改变多少闭环系统极点？闭环系统极点只可能在坐标轴上变化，不能任意配置

8线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-28线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-2 • 静态输出反馈极点配置的几个充分条件 • 若和，系统可控且可观，则 • 采用输出反馈至少可对数目为个极点进行任意接近式配置。 • 在系统矩阵特征值是互异的情况下，存在输出反馈在保持原系统或个极点情况下，几乎总可对数目为个极点进行任意配置。 • 采用输出反馈几乎总可对数目为的闭环极点进行“任意接近”式配置，即使其可任意接近给定的期望极点位置。或证明上述结论正确性的原则：将多输入变成单输入，简化问题。

8线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-38线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-3 • 例：使用“几乎”的正确性----例外只有2有极点可以任意配置

8线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-48线性时不变系统输出反馈极点配置存在性与算法-4 • 算法(并矢法) • 先研判受控系统的输入矩阵与输出矩阵是否满秩，系统是否可控且可观。若满秩且可控、可观，计算可任意接近式配置极点的个数，并给出期望极点Λ*，进行下一步。 • 判断受控系统的系统矩阵是否为循环的。若非循环，则进行循环化。这一步引入输出反馈阵设为F0。下面的步骤针对q≥p。 • 计算和的奇偶性。 • 按结论(3)求F1和F2 。 • 计算最终的输出反馈矩阵F= F0+F1+F2

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