電磁気学 C

1. 電磁気学C Electromagnetics C 5/22講義分 電磁波の反射と透過 山田 博仁

2. 異なる媒質の界面における境界条件 単位法線ベクトル n 界面での 真電荷密度 S 界面 D1 e1 se + + + + + + + e2 D2 -n Gaussの定理 5.3 (教科書p.64) の復習 誘電率 e1, e2の異なる媒質が接している界面 界面には真電荷が面密度 seにて存在 界面での電束密度 Dに対して、どのような条件が満たされなければならないか? 電場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 従って、 上式は、任意の面 Sに対して成り立つことから、 表面電荷 seが存在しなければ、

3. 異なる媒質の界面における境界条件 界面 Dl t E1 e1 Dh e2 t C DS E2 t: 単位接線ベクトル 誘電率 e1, e2の異なる媒質が接している界面 界面での電場 Eに対して、どのような条件が満たされなければならないか? Faradayの電磁誘導の法則を、図のように界面の一部を囲む高さ Dhが無限小の長方形 DSに適用 ここで、B/tは境界面の近くで有限であるから、DS→0の極限で右辺の積分はゼロになる 従って、Stokesの定理を用いると左辺は、 従って、 上式は、任意の Dlの長方形に対して成り立つことから、

4. 異なる媒質の界面における境界条件 単位法線ベクトル n S 界面 B1 m1 m2 B2 -n Gaussの定理 9.4 (教科書p.146) の復習 透磁率 m1, m2の異なる媒質が接している界面 界面での磁束密度 Bに対して、どのような条件が満たされなければならないか? 磁場に関するGaussの法則を、界面に 存在する高さが無限小の円柱に適用 従って、 上式は、任意の面 Sに対して成り立つことから、 よって、

5. 異なる媒質の界面における境界条件 ie: 界面での 伝導電流密度 界面 Dl t H1 m1 ie Dh m2 C t H2 DS t: 単位接線ベクトル 透磁率 m1, m2の異なる媒質が接している界面 界面には伝導電流が面密度 ieにて存在 界面での磁場 Hに対して、どのような条件が満たされなければならないか? Ampere-Maxwellの方程式を、図のように界面の一部を囲む高さ Dhが無限小の長方形 DSに適用 ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ieも D/tも境界面の近くで有限であるから、DS→0の極限で右辺はゼロになる 従って、Stokesの定理を用いると左辺は、 従って、

6. 異なる媒質の界面における境界条件 電束密度の法線成分は連続 電場の接線成分は連続 E1 D1 e1 e1 e2 e2 E2 D2 磁束密度の法線成分は連続 磁場の接線成分は連続 H1 B1 m1 m1 m2 m2 H2 B2 表面電荷が 存在しない場合 表面電流が 存在しない場合

7. 界面での反射と透過 z Er Hi Hr qi qr Ei ki kr 媒質Ⅰ x y 媒質Ⅱ kt qt Ht Et 2種類の媒質が x-y平面 (z = 0) を境に接しており、 z > 0を媒質Ⅰが、 z < 0を媒質Ⅱが満たしている。平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに入射角 qiで斜め入射し、その一部が反射角 qrで反射され、またその一部が透過角 qtで媒質Ⅱ内に透過する場合を考える。 入射波、反射波および透過波の波数ベクトルと角周波数をそれぞれ (ki, wi),(kr, wr)および (kt, wt)とし、電場は x-z平面上に、磁場は y成分のみとする。 波の位相 入射波 反射波 透過波

8. 界面での反射と透過 この条件が成立しなければならない ki kr qi qr v1 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ v2 qt kt 境界面 (z = 0)上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、 の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1は入射波、反射波に共通なので、 ならば、 従って、 (反射の法則) (Snellの法則) v1と v2は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ内を進む電磁波の速度

9. 界面での反射と透過 z Er Hi Hr Ei qi qr ki kr 媒質Ⅰ x y 媒質Ⅱ kt qt Ht Et 入射波 反射波 透過波 Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス

10. 界面での反射と透過 次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 Eおよび磁場 Hの接線成分の連続性より、 従って、 上式から Etを消去すると、 (電界反射係数) 上式から Erを消去すると、 (電界透過係数)

11. 界面での反射と透過 因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、 媒質の屈折率 nは、真空中での光の速度 cと媒質中での光の速度 vの比で表され、 特に、媒質1と2が非磁性の場合には m1 = m2 = m0が成り立ち、それぞれの媒質の屈折率は真空の固有インピーダンス Z0を用いて、 と表せる。 従って、反射係数と透過係数は、

12. 界面での反射と透過 i r n1 n2 t 入射波 反射波 qi qr Z1 媒質Ⅰ 媒質Ⅱ Z2 qt 透過波 垂直入射の場合には、qi = qt = 0とすることにより反射係数と透過係数は、 入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の比をそれぞれ反射率 Rおよび透過率 Tという。 入射波、反射波、透過波のエネルギー流はそれぞれ、

13. 界面での反射と透過 従って、反射率 Rと透過率 Tは、 屈折率 n1, n2で表せば、反射率 Rと透過率 Tは、

14. 完全導体による電磁波の反射 電場の法線成分 Enは必ずしもゼロではない 電場 E 導体表面に 電荷が現れる場合がある En≠ 0 完全導体 完全導体 E = 0 界面での電場の 接線成分 Etはゼロ s =∞ E = 0 磁場の接線成分 Htは必ずしもゼロではない 磁場の法線成分 Bnはゼロ 導体表面に 電流が流れる場合がある Ht≠ 0 Bn = 0 完全導体 完全導体 変動磁場 静磁場 変動磁場 静磁場 導電率s =∞の完全導体による電磁波の反射 完全導体の中には変動電磁場は全く浸透できないため、表面における電磁波の境界条件は、 静磁場に対しては必ずしもゼロでない

15. 完全導体による電磁波の反射 x 媒質: Z 完全導体 Eix Hiy 入射波 z 0 反射波 は電磁波の波数 Hry Erx z < 0の領域を固有インピーダンス Zの媒質が占め、x-y (z = 0) 平面を境にしてz > 0の領域の完全導体と接しているとする。さらに、電磁波は x方向に偏光した正弦波とし、その角周波数を wとする。媒質中 (z < 0) から導体界面に対して垂直に入射した場合を考え、電場と磁場を入射波と反射波の和として表せば、 完全導体中への透過波は存在しないため、導体表面でEx = 0であり、 従って、媒質中の電磁場は、

16. 完全導体による電磁波の反射 定在波の腹の位置 定在波の節の位置 反射端(導体表面) l 入射波 反射波 定在波 出展: http://www8.plala.or.jp/ap2/chishiki/teizaiha.html 電場の節は、kz = np (nは整数)の関係から求められ、 (nは整数) となる。同様にして、磁界の節は kz = (n+1/2)pより、 (nは整数)