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第四章 证券的收益与风险. 一、单利与复利. 持有期收益率 (Holding-period return) 拥有金融资产期间所获得的收益率。 HPR=( 投资的期末价值 — 期初价值 + 此期间所得到的收入 )/ 期初价值 投资者期初储蓄 5000 元，期末获本息 5200 元，有 (5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4% [(19×500)-(20×500)+(4×500)]/(20×500) =0.15=15%. 二、年收益率的折算. 不同期限的折合成年收益率，折算的公式为
E N D
一、单利与复利 持有期收益率(Holding-period return)拥有金融资产期间所获得的收益率。 HPR=(投资的期末价值—期初价值+此期间所得到的收入)/期初价值 投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，有 (5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4% [(19×500)-(20×500)+(4×500)]/(20×500) =0.15=15%
二、年收益率的折算 不同期限的折合成年收益率，折算的公式为 年收益率=持有期收益率×[年(或365)÷持有期长度] 股票投资期限是5年，而银行储蓄的期限是17个月 股票投资的年收益率为15%×[1/5]=3% 银行储蓄的年收益率为4%×[12/17]=2.82%
三、算术平均收益率 算术平均收益率R 的计算公式为: R=(R1+R2+……+RN)/N 如果投资者一项投资4年的收益率分别为10%，-5%，0和23%，年算术平均收益率为 (10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
四、几何平均收益率 几何平均方法是计算复利的方法，几何平均收益率RG 的计算公式为 RG=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1 如果将上例4期收益的数字代入几何平均收益率的公式，得到的结果为 RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-1=1.065-1=0.065=6.5%
五、时间权重收益率 时间权重收益率也是计算复利的一种收益率，计算公式为 RTW=[(1+ R1)(1+R2)……(1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1 它与几何平均收益率的计算公式相比较，只缺少对总收入开1/n次方。因此，也可以说，时间权重收益率是投资的考虑复利(Compound rate)的总收益率。
六、名义利率与实际利率 实际利率（Nominal Interest Rate）与名义利率(Effective Interest Rate)的关系有下式：Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1 Rreal为实际利率，Rnom为名义利率，h是通货膨胀率（Inflation Rate）。如果名义利率为8%，通货膨胀率为5%，其实际利率就是 [(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857% 计算实际利率的公式可以近似地写成:Rreal≈Rnom—h
七、通货膨胀（Inflation）效应 年通 买1元物品20年 1000元20年 年实际 胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率 4% 2.19元 456.39元 7.69% 6% 3.21元 311.80元 5.66% 8% 4.66元 214.55元 3.70% 10% 6.73元 148.64元 1.82% 12% 9.65元 103.67元 0.00%
九、连续复利的计算 连续复利的计算公式为 这里，APR为利息的年百分率，n为每年计算复利的期数。当n趋近于无穷大时，(1+APR/n)n会趋近于e APR，这里，e的值为2.71828。在上例中，e 0.06=1.0618365，因此，我们可以说，利息为6%的债券的连续复利为每年6.18365%。
十、净现值(Net Present Value)的计算 净现值是未来收益的现值，因此它是终值计算的逆运算。譬如8年后孩子要读大学，家长要考虑在利率为5%的情况下，现在要存入银行多少钱，8年后才会有30000元。计算现值PV的公式为 PV=1/(1+i)n 这是利率为i，持续期为n时的1元的现值系数， PV=[1/(1+0.05)8]×30000=0.6768×30000=20305.18 即家长现在需要储蓄20305.18元，就可以了。 PV=[1/(1+0.06)8]×30000=0.6274×30000=18822.37， PV=[1/(1+0.04)8]×30000=0.7307×30000=21920.71，利率提高或降低一个百分点，可以节省(20305.18-18822.37=)1482.81元，或者多存(20305.18-21920.71=)1615.53元。
十四、风险（Risk）及测度 • 风险(Risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。 • 形势 概率 期末总价 总收益率 • 繁荣 0.25 13000元 30% • 正常增长 0.50 11000元 10 • 萧条 0.25 9000元 -10
十七、彼得堡悖论 数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为： 公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
十七、彼得堡悖论 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表 反面 概率 报酬 概率×报酬 0 1/2 1 1/2 1 1/4 2 1/2 2 1/8 4 1/2 3 1/16 8 1/2 . . . . n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论 如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为 E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。 由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
二十、效用公式 这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为，其效用值为： 其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
二十一、效用数值应用举例 如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。 投资者A=3时，股票效用值为：10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。 如果投资者的A为2，股票效用值为： 10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。 所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。
二十二、均值-方差准则 因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组合P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过P点的投资者效用的无差异曲线(indifference curve)一定位于第二和第三象限，即一定是条通过P点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。
二十二、均值-方差准则 均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。
二十四、方差的分析 萨缪尔森有两个重要结论： ①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。 ②方差与均值对投资者的效用同等重要。 得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。
