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第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想

第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想. 一、 微积分的两个基本问题. 二、我国古代学者的极限思想. 一、微积分的两个基本问题. 1. 变速直线运动的瞬时速度. 设物体于时刻 t 在直线上的位置为 s = t 2 ，求在 t 0 时刻物体的瞬时速度 v ( t 0 ) ．. 由于物体是作直线运动，速度的方向即沿直线运动的方向，所以只要求速度的大小．任取时间 t (≠ t 0 ) ，从 t 0 到 t ( 或 t 到. 分析：. t 0 ) 的这段时间内，则.

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第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想

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Presentation Transcript

  1. 第二节 微积分的两个基本问题和 我国古代学者的极限思想 一、 微积分的两个基本问题 二、我国古代学者的极限思想

  2. 一、微积分的两个基本问题 • 1. 变速直线运动的瞬时速度 设物体于时刻t在直线上的位置为s=t2，求在t0时刻物体的瞬时速度v(t0)． 由于物体是作直线运动，速度的方向即沿直线运动的方向，所以只要求速度的大小．任取时间t(≠t0)，从t0到t (或t到 分析： t0)的这段时间内，则

  3. 这个平均速度一般不是物体在t0时的瞬时速度，但|t-t0|越小，此平均速度越接近这个平均速度一般不是物体在t0时的瞬时速度，但|t-t0|越小，此平均速度越接近 t0时刻的瞬时速度，让t无限趋近t0, 就无限逼近在t0时的瞬时速度．这说明要解决t0时刻变速直线运动的瞬时速度，需要 (此式t=t0 考察t无限趋近t0时，表达式 时没有意义)的变化趋势，其无限逼近的数值就是物体在t0时刻的瞬时速度．

  4. 2. 曲线围成的平面图形的面积 所谓曲边梯形是指如下图所示的图形，它有3条边是直线段，其中有两条垂直于另一条(称为底边)；还有一条边是连续曲线弧(称为曲边)．

  5. （ MmN （ MmN 一般地，由任意连续曲线围成的图形的面积，如下图所示的图形面积A可以看 作以区间[a,b]为底边、分别以曲线弧 为曲边的两个曲边梯形的面积 和 的差．因此要计算一般的连续曲线围成的平面图形的面积，关键在于求曲边梯形的面积．

  6. 例1 求由曲线y=x2、x轴和直线x=1围成 的图形的面积．

  7. 分析 该图形如图所示，它是曲边梯形中 垂直于底边的一条直边退化为一点的情形． 我们设想用垂直于x轴的直线将曲边梯形 的窄的曲边梯形，把 分割成n个底边长为 每个窄的曲边梯形以它的左直边为高、底为 的矩形近似代替，这n个窄矩形面积的和 是曲边梯形的面积的近似值，分割越细， 此和越接近曲边梯形的面积．当n无限

  8. 增大时(每个窄曲边梯形的底边长都趋于零)，n个窄矩形的面积的和就无限逼近曲边梯形面积的精确值 .具体地说，有以下的解法． 解 把x轴上的闭区间[0,1]分成n等分， 得分点 过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个窄曲边梯形．

  9. 对每个窄的曲边梯形，用它的底边为底、它的左直边为高的矩形来近似，把这些窄矩形的面积加起来，得到原曲边梯形的面积的近似值

  10. 当n无限增大时，An无限逼近 . 可见所求的曲边梯形的面积应等于 . 以上解决曲边梯形面积的方法，是通过分割， 把曲边梯形分成n个窄的曲边梯形，每个窄的 曲边梯形用以它的左直边为高，同底的矩形 近似代替，最后考察n无限增大(每个窄曲边 梯形的底边长都趋于零)时，n个窄矩形面积的和，无限逼近的数值即是所求的曲边梯形的面积．

  11. 以上介绍的两个基本问题分别代表微分学和积分学的两大类问题，而这两个基本问题的解决都需要“无限趋近”或“无限逼近”等概念，这种概念描述的是动态的且是无限的过程．这正是从下一节开始要讨论的极限概念及其基本理论．极限既是解决两大类问题的工具，又是一种思考问题的方法．极限的思想和方法不仅是高等数学的基础，而且在自然科学和社会科学的许多基本概念中也有广泛应用．以上介绍的两个基本问题分别代表微分学和积分学的两大类问题，而这两个基本问题的解决都需要“无限趋近”或“无限逼近”等概念，这种概念描述的是动态的且是无限的过程．这正是从下一节开始要讨论的极限概念及其基本理论．极限既是解决两大类问题的工具，又是一种思考问题的方法．极限的思想和方法不仅是高等数学的基础，而且在自然科学和社会科学的许多基本概念中也有广泛应用．

  12. 二、我国古代学者的极限思想 公元前3世纪，道家代表人物庄子的《天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的记载反映了两千多年前的我国古人就有了初步的极限观念．

  13. 公元263年我国数学家刘徽创立的割圆术中进一步叙述了这种思想．他说：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂．若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂．割之弥(越)细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”公元263年我国数学家刘徽创立的割圆术中进一步叙述了这种思想．他说：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂．若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂．割之弥(越)细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”

  14. 刘徽另外在弓形面积计算、体积研究和开方等方面也都用了初步的极限思想，说明刘徽对极限已有了相当的认识，这是他在数学上极其重要的成就，这充分反映出他的数学思想的先进，代表了我国古代学者在数学上所作的杰出贡献．刘徽另外在弓形面积计算、体积研究和开方等方面也都用了初步的极限思想，说明刘徽对极限已有了相当的认识，这是他在数学上极其重要的成就，这充分反映出他的数学思想的先进，代表了我国古代学者在数学上所作的杰出贡献．

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