170 likes | 478 Vues
Wykład 5. Zbiory uporządkowane. x x. Definicja. jeśli x y i y x, to x=y. jeśli x y i y z, to x z. Relację binarną w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
E N D
Wykład 5 Zbiory uporządkowane Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
x x Definicja jeśli xy i yx, to x=y jeśli xy i yz, to x z Relację binarną w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X wraz z porządkiem nazywamy zbiorem uporządkowanym. Ozn. <X, > Przykład 1.<R, > , 2.< P(X), >, 3. <N, | > Uwaga Jeśli x y i x y, to piszemy x<y. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
8 9 7 4 2 3 5 1 Diagramy Hassego powrót Diagramem Hassego relacji porządku w X nazywamy graf zorientowany (skierowany) G= <V, E>, gdzieV=X oraz (y,x)E wttw nie istnieje z, takie że z x i z y i x z y ( y jest bezpośrednim następnikiem x w sensie relacji ). KonwencjaZwykle nie rysujemy strzałek i jeśli x y i xy, to y znajduje się na grafie Hassego wyżej niż x. Przykład Relacja | w zbiorze {1,2,...9} jest relacją porządku Diagram Hassego Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
000 001 010 011 100 101 00 01 10 11 01 e Diagram Hassego relacji r w zbiorze S* Przykład Niech S ={0,1}. W zbiorze S * definiujemy relację w1r w2 wttw istnieje zS *, że w1z = w2. UwagaNiektóre zbiory częściowo uporządkowane nie mają diagramu Hassego, np.: <R, >. Każdy skończony zbiór częściowo uporządkowany ma diagram Hassego. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Przykład Diagram Hassego pewnej relacji Z diagramu Hassego można odczytać pełną informację o opisanej relacji porządku. e f X={a,b,c,d,e,f}a b a c a d b e b f c f a e a f a a b b c c d d e e f f b c d a Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Minima i maksima Niech będzie relacją porządku w X. Element x nazywamy maksymalnym, jeżeli w X nie istnieje element y większy od x tzn. taki, że x < y. przykład Element x nazywamy minimalnym, jeżeli w X nie istnieje żaden element y taki, że y < x. Uwaga W diagramie Hassego relacji elementy maksymalne znajdują się na górze a elementy minimalne na dole grafu. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Definicje c.d. Jeżeli x x0 dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem największym zbioru X. Jeżeli x0 x dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem najmniejszym zbioru X. Uwaga W zbiorze X może być więcej niż jeden element maksymalny lub minimalny ale jest co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Kresy Sup(A) Niech będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy taki element x0 X, że x x0 dla wszystkich x A. Najmniejsze ograniczenie górne zbioru A nazywamy kresem górnym(supremum). Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy taki element x0 X, że x0 x dla wszystkich x A. Największe ograniczenie dolne zbioru A nazywamy kresem dolnym (infimum). Inf(A) Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Przykład Rozważmy relacje w N : x y wttw x jest dzielnikiem y. Jest to relacja porządku. Sup(n,m)= najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m Co jest kresem górnym zbioru {n,m}, tzn. sup{n,m}? Inf{n,m}=największy wspólny dzielnik A kres dolny? Tzn., inf{n,m} =? Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Przykład Sześcian kolorów RGB Krata RG RB GB Dla dowolnych dwóch elem. istnieje kres górny i kres dolny. R G B Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Porządek liniowy łańcuch • Relację binarną w zbiorze X nazywamy porządkiem liniowym wttw jest porządkiem częściowym oraz ma następującą własność spójności: dla dowolnych x, y X, • albo x y albo y x albo x = y Przykład Zbiór liczb wymiernych jest liniowo uporządkowany przez relację niewiększości . Co więcej jest to zbiór liniowo uporządkowany gęsto. Twierdzenie W każdym niepustym zbiorze liniowo uporządkowanym i skończonym istnieje element najmniejszy (pierwszy) i element największy(ostatni). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Porządek leksykograficzny Przykład Niech będą zbiory (X1, 1), (X 2, 2), ..., (X n, n), liniowo uporządkowne. Definiujemy relację w produkcie (X1 X 2 .... ,X n) następująco: (x1, x2,...xn) (t1,..., tn) wttw istnieje takie i, że x1 = t1,...,x2 =t2,...xi-1= ti-1, oraz xi itixi ti PrzykładXi ={0,1,...,9}dla i =1,2,...5 Wtedy 1234 51234612435 13245 23245 Tak zdefiniowana relacja jest relacją porządku liniowego w produkcie (X1 X 2 .... ,X n). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Porządek słownikowy Niech będzie dany alfabet S oraz pewna relacja liniowego porządku w S. Rozważamy relację w zbiorze słów S* zdefiniowaną następująco: a1a2...an b1... bm wttw n<m i a1 = b1, a2 =b2,...an= bn, albo istnieje takie i, że a1 = b1,a2 =b2,...ai-1= bi-1, oraz ai< bi kos kosmita kosmologia kosmonauta kosmos Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Lemat Kuratowski (1922) - Zorn(1935)Jeżeli w zbiorze uporządkowanym X dla każdego łańcucha istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Gödel 1940 niesprzeczność Cohen1963niezależność Aksjomat wyboru Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK
Dobry porządek Relację binarną w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem wttw jest liniowym porządkiem oraz dla dowolnego niepustego podzbioru A zbioru X istnieje element minimalny. Przykłady (1) Zbiór <N, > jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości .(2) Każdy zbiór skończony, liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany.(3) Zbiór liczb rzeczywistych nie jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości . Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK