Булова и прекидачка алгебра

1. Булова и прекидачка алгебра Основни постулати и теореме Прекидачка алгебра Прекидачке функције и изрази Елементарна логичка кола Изведена кола

2. Основни постулати и теореме • Структура (B, +, , ˉ), где је • Bскуп елемената или константи алгебре, • симболи +ибинарни оператори, • а симбол ˉ унарни оператор, назива се Буловом алгебром ако су испуњени следећи постулати:

3. Основни постулати и теореме 1. Затвореност операција + и · на скупу B

4. Основни постулати и теореме 2. Постојање неутралних елемената за операције + и ·

5. Основни постулати и теореме 3. Комутативност операција + и ·

6. Основни постулати и теореме 4. Дистрибутивност операције + у односу на · и обрнуто

7. Основни постулати и теореме 5. Постојање инверзног елемента за операције + и ·

8. Основни постулати и теореме 6. У скупу B постоје најмање два различита елемента.

9. Основни постулати и теореме • Овај скуп постулата назива се Хантингтоновим.

10. Основни постулати и теореме T.1.Закон идемпотенције (неважења степеновања). a,bB, a+a = a  aa =a. Према аксиому 2 Доказ. Према аксиому 5 Према аксиому 2 Према аксиому 4 Према аксиому 5 Према аксиому 5 Према аксиому 4 Према аксиому 5 Према аксиому 2 Према аксиому 2

11. Основни постулати и теореме T.2. У Буловој алгебри комплемент елемента а је јединствен. Доказ. Reductio ad absurdum: Претпоставимо Како је ово супротно претпоставци, закључак је да претппоставка не може бити тачна!

12. Основни постулати и теореме T.3.Закон инволуције операције негације (закон двојне негације) Доказ. Аксиом о инверзном елементу каже онда важи Ако уведемо ознаку па је , тј.

13. Основни постулати и теореме T.4.aB, a+1 = 1 a 0 = 0. Доказ.

14. Основни постулати и теореме T.5. (Деморганова теорема) Доказ.1) Покажимо да важи (i) (ii)

15. Основни постулати и теореме

16. Основни постулати и теореме Како важи (i) и (ii) и уз аксиом о инверзном елементу то важи и (1). 2)Пробајте сами!

17. Основни постулати и теореме T.6. (Општа Деморганова теорема)

18. Основни постулати и теореме Д.1. Ако је Q Булов израз који садржи променљиве, константе и операторе +,  иˉ, тада се под дуалним Буловим изразом подразумева израз Q* који се добија када се у изразу Q операција + замени операцијом  и обрнуто, константе замене својим комплементима а променљиве и операције комплементирања не мењају.

19. Основни постулати и теореме T.7. (Принцип дуалности) Ако су два Булова израза једнака, онда су једнаки и њихови дуални изрази и обрнуто. T.8. (Генералисана Деморганова теорема) У Буловој алгебри важи релација

20. Основни постулати и теореме Т.9.(Закон апсорпције) a,bB, a+ab = a  a (a+b) =a. Доказ.1) 2)Према принципу дуалности.

21. Основни постулати и теореме T.10. (Закон сажимања) Доказ.Директна примена аксиома о дистрибутивности и инверзном елементу.

22. Прекидачка алгебра • Ако на скупу B={0,1} дефинишемооператоре+, иˉна следећи начин: коришћењем перфектне индукције се може показати да скуп B са овим операторима задовољава аксиоме Булове алгебре. • Булова алгебра на скупу од два елемента се назива прекидачка алгебра.

23. Прекидачке функције и изрази • Ако на скупу B={0,1} дефинишемо пресликавање f : BnB онда се функција f назива прекидачком функцијом.

24. Прекидачке функције и изрази • Скуп Bn има укупно 2n чланова који су уређене n-торке облика (x1, x2, …, xn), xiB и који се називају векторима, слоговима или тачкама.

25. Прекидачке функције и изрази • Област дефинисаности функције fпоклапа се са скупомB, тј. скупом вредности функције. • Понекад функција на неком слогу може бити недефинисана (у ознаци x или *) што треба тумачити да на том слогу функција може имати било вредност 0 било вредност 1.

26. Прекидачке функције и изрази f(x,y,z)=xy+z • Задавање прекидачке функције: • аналитички, • помоћу истинитосних(комбинационих) таблица. n променљивих 2nразличитих слогова Вредности функције на слоговима. Колико различитих?

27. Прекидачке функције и изрази Скуповима децималних индекса f (1), f(0) i f(x)у потпуности одређујемо комбинациону таблицу. • Истинитосне таблице могу бити дефинисане и помоћу: • Скупова децималних индекса, • Вектора истинитости, и • Бројног индекса функције. Децимални индекс – декадни еквивалент бинарног слога Kf = (f(0), f(1), ... , f(2n-1)) Функција у овом случају мора да буде потпуно дефинисана

28. Прекидачке функције и изрази • Ако функција не мења вредност када нека од променљивих мења своју вредност, онда је то фиктивна променљивом функције. • Број функција које стварно зависе од n променљивих дат је рекурентном формулом:

29. Прекидачке функције и изрази • Колико има функција које зависе од једне променљиве? • А од две? Идентичка функција NEфункција - комплемент

30. Прекидачке функције и изрази Сума по модулу два, искључиво или, логичка неједнакост. Импликација

31. Прекидачке функције и изрази • Функције I, ILI и NE имају исте особине као и операције ·, + и ¯.

32. Прекидачке функције и изрази

33. Прекидачке функције и изрази

34. Прекидачке функције и изрази

35. Прекидачке функције и изрази • Функција gје импликант функције f (gf) ако на свим слоговима где f има вредност 0 и g има вредност 0, док на слоговима где f има вредност 1 функција g има вредност 1 или 0. • На слоговима где g има вредност 1 кажемо да gпокрива функцију f. • Функција fсе може изразити дисјункцијом својих импликаната који заједно покривају све њене јединице.

36. Прекидачке функције и изрази Пример: f = g + g1 f = g2 + g3 + g4

37. Прекидачке функције и изрази • Под елементарним производом (конјункцијом) подразумева се израз где су i1, ... , ikразличите вредности из скупа {1, 2, ... , n}а . Константа 1 може се сматрати елементарним производом.

38. Прекидачке функције и изрази • Простпроизвод је специјални случај елементарног производа код кога се све променљиве јављају без комплемента. • Потпуни производ или МИНТЕРМ је елементарни производ код кога се јављају све променљиве.

39. Прекидачке функције и изрази • Свака прекидачка функција изузев константе 0 може се на јединствен начин изразити у облику суме по модулу 2 потпуних производа који одговарају слоговима на којима функција има вредност 1. Овај облик назива се потпуна полиномна нормална форма (ППНФ) функције.

40. Прекидачке функције и изрази Пример: Наћи ППНФ функције дате комбинационом таблицом.

41. Прекидачке функције и изрази • Свака прекидачка функција изузев константе 0 може се на јединствен начин изразити у облику Овај облик назива се развој Рида-Милера (канонички полином).

42. Прекидачке функције и изрази Пример: Наћи канонички полином функције дате комбинационом таблицом. Проверити код куће!

43. Прекидачке функције и изрази • Свака прекидачка функција изузев константе 0 може се на јединствен начин изразити у облику Ова форма назива се потпуна дисјунктивна нормална форма функције (ПДНФ).

44. Прекидачке функције и изрази Пример: Наћи ПДНФ функције дате комбинационом таблицом.

45. Прекидачке функције и изрази • Аналогно импликанту можемо дефинисати имплицентg функције f при чему на свим слоговима где f има вредност 1 и g има вредност 1, док на слоговима где f има вредност 0 функција g има вредност 0 или 1. На слоговима где g има вредност 0 кажемо да gпокрива функцију f. • Функција fсе може изразити конјункцијом својих имплицената који заједно покривају све њене нуле.

46. Прекидачке функције и изрази • Под елементарном сумом (дисјункцијом) подразумева се израз облика . Константа 0 може се сматрати елементарном сумом. • Проста сума садржи променљиве без комплемента док се под потпуном сумом или МАКСТЕРМОМ подразумева елементарна сума у којој се појављују све променљиве.

47. Прекидачке функције и изрази • Свака прекидачка функција, изузев константе 1, може се изразити на јединствен начин у облику конјункције потпуних сума које одговарају оним слоговима на којима функција има вредост 0. Овај облик назива се потпуна конјуктивна нормална форма функције (ПКНФ).

48. Прекидачке функције и изрази Пример: Наћи ПКНФ функције дате комбинационом таблицом.

49. Класе прекидачких функција • Свака прекидачка функција може да припада некој од 5 класа прекидачких функција. 1. Функције које задржавају нулу (К0). 2. Функције које задржавају јединицу (К1).

50. Класе прекидачких функција 3. Линеарне прекидачке функције (L). 4. Самодуалне прекидачке функције (S). 5. Монолошке прекидачке функције (М).