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尋找秦九韶三角形

尋找秦九韶三角形. 梁子傑 循道中學. 三斜求積術. 秦九韶 （ 1202  1261 ） 南宋 時期 著 《 數書九章 》 全書共 81 道數學題 當中提到已知三邊邊長求三角形面積的方法，並稱之為「三斜求積術」。. b. a. h. d. c. 三斜求積術. 三斜求積術. 秦九韶的例子： a = 13 , b = 14 , c = 15 面積 = 84 現稱由三個連續整數組成，其面積亦等於一個整數的三角形為「 秦九韶三角形 」。 另一例子： a = 3 , b = 4 , c = 5 ；面積 = 6.

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尋找秦九韶三角形

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Presentation Transcript

  1. 尋找秦九韶三角形 梁子傑循道中學

  2. 三斜求積術 • 秦九韶（1202  1261） • 南宋時期 • 著《數書九章》 • 全書共 81 道數學題 • 當中提到已知三邊邊長求三角形面積的方法，並稱之為「三斜求積術」。

  3. b a h d c 三斜求積術

  4. 三斜求積術 • 秦九韶的例子：a = 13 , b = 14 , c = 15 面積 = 84 • 現稱由三個連續整數組成，其面積亦等於一個整數的三角形為「秦九韶三角形」。 • 另一例子：a = 3 , b = 4 , c = 5；面積 = 6 還有沒有？

  5. 由秦九韶到希羅

  6. 由秦九韶到希羅

  7. 初步分析 • 秦九韶三角形中，三個連續數必定由奇數開始。 • 若否，設 a = 2k , b = 2k + 1 , c = 2k + 2。 • 則 s、s a、s  b和 s  c必定等於一個整數加上 ½。 • 由此得面積不是一個整數，矛盾！ • 故可設三邊為 (2k 1 , 2k , 2k + 1)。

  8. 2k 1 2k+ 1 h k a k+ a 再進一步 (2k 1)2  (k  a)2 = (2k+ 1)2  (k + a)2 4k + 2ak = 4k 2ak a = 2

  9. 2k 1 2k+ 1 h k 2 k+ 2 再進一步 h2 = (2k+ 1)2 (k + 2)2 當 h 為整數時，便會有秦九韶三角形。

  10. 電腦搜尋 • FOR k = 1 TO 10000 • h = SQRT(3*(k*k – 1)) • IF INT(h) = h THEN PRINT k • NEXT k • END 結果：1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042 有何規律？

  11. 搜尋規律

  12. 搜尋規律

  13. 搜尋規律

  14. c a b • a2 + b2 = c2 • 可設 a、c為奇數，b為偶數。 • 因為 b2 = c2 a2 =(c + a)(c a)，b為偶數， • 所以可設 c + a = 2u2及 c a = 2v2。 • 即 a = u2 v2 , b = 2uv , c = u2+ v2。

  15. u2+ v2 u2 v2 • a = 5 , b = 12 , c = 13 • u2 – v2 = 5 , 2uv = 12 , u2 + v2 = 13 • u = 3 , v = 2 2uv

  16. 搜尋規律

  17. 搜尋規律

  18. 搜尋規律

  19. 搜尋規律

  20. 搜尋規律

  21. 搜尋規律

  22. 搜尋規律 2(3hn)kn = 3 2hn kn (3hn)2 + kn2 3 (kn2 + hn2) (3hn)2kn2 3 (kn2hn2)

  23. 搜尋規律 ((3hn)2 + kn2) + 2 = 3 (kn2 + hn2) 2(3hn)kn = 3 2hn kn (3hn)2 + kn2 3 (kn2 + hn2) (3hn)2kn2 3 (kn2hn2)

  24. 搜尋規律 3 (hn2hn12) = kn2kn12 3 (hn2 + hn12) kn2 + kn12 3 (2hnhn1) 2knkn1

  25. 搜尋規律 3 (2hnhn1) + 2 = 2knkn1 – 2 3 (hn2hn12) = kn2kn12 3 (hn2 + hn12) kn2 + kn12 3 (2hnhn1) 2knkn1

  26. 搜尋規律 3 (2hnhn1) + 2 = 2knkn1 – 2 為甚麼？ kn2 (4kn1)kn + (kn12 + 3) = 0 由 “1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042” 得知：

  27. 勝利完成 kn + kn2 = 4kn1

  28. 勝利完成  kn + kn2 = 4kn1 kn = 4kn1kn2 1, 2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, 18817, 70226,… 解上述差分方程，得

  29. 繼續探究 • 希羅三角形：一個三邊為整數，面積又是整數的三角形 • 婆羅摩笈多四邊形：一個四邊為整數，面積又是整數的圓內接四邊形 • 托勒密四邊形：一個四邊為整數，對角線長度又是整數的圓內接四邊形

  30. 所為何事？ • 滿足好奇心 • 對自己的挑戰及練習 • 樹立榜樣 • 提升教師的視角，對學問有更好的瞭解 • 為「專題習作」提供題材 • 測考出題

  31. 尋找秦九韶三角形 梁子傑循道中學

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