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去心邻域

邻域. 去心邻域. 函数的增量. 函数连续的定义. 观察下述图形 ： 函数. 所表示的曲线在点. 时，. 处连续，当. 观察下述图形 ： 函数. 所表示的曲线在点. 处不连续，当. 时，. 函数在一点连续的定义 1 设函数 y = f ( x ) 在点. 的. 左右近旁有定义，如果当自变量 x 在点. 处的增量. 趋. 于 0 时，函数. 相应的增量. 也趋于 0 ，即. 那么称函数. 在点. 连续. 例 1 证明函数. 在点. 处. 连续. 证 （ 1 ）函数在点. 及其左右近旁有定义. （ 2 ）. 在点. 处连续.

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Presentation Transcript

  1. 邻域 去心邻域

  2. 函数的增量

  3. 函数连续的定义 观察下述图形：函数 所表示的曲线在点 时， 处连续，当

  4. 观察下述图形：函数 所表示的曲线在点 处不连续，当 时，

  5. 函数在一点连续的定义1设函数y = f(x)在点 的 左右近旁有定义，如果当自变量x在点 处的增量 趋 于0时，函数 相应的增量 也趋于0，即 那么称函数 在点 连续.

  6. 例1证明函数 在点 处 连续. 证（1）函数在点 及其左右近旁有定义. （2） 在点 处连续. 所以，函数

  7. 若令 则 于是 函数在一点连续的定义2：设函数y = f(x)在点 有 其左右近旁有定义，如果函数 当 时的 极 限 存 在， 且 等 于 它 在 点 处 的 函 数 值 ， 即 那么称函数 在点 连续.

  8. 函数 在点 处连续必须满足以下三个条 件： （1）函数y = f(x)在 点有定义，即 是一个 确定的数； （2）函数y = f(x)在 点有极限，即 存在； （3）极限值等于函数值，即

  9. 如果以上三个条件中有一个条件不满足，那么函数 在点 不连续. 这时，我们把 点叫做函数 的不连续点或间断点. 问：函数 在x=1连续吗？ 为什么？

  10. 在点x=0点连续吗？为 问：函数 什么？

  11. 问：函数 在x=1点连续吗？为 什么？

  12. 例2讨论函数 在点 处 的连续性. 解因为 所以 有定义；又因 函数 在点 为 有极限，且 所以函数 在点 故函数在点 处连续.

  13. 区间上连续：如果函数 在区间（a，b）内每一 点都连续，那么称函数 内 在开区间 连续， 区间 叫做函 数 的连续区间. 如果函数 在 开区间（a，b）内连续，且在点a右连续，在点b左连 续，那么称 在闭区间 上连续. （几何意义如 图）

  14. 所有初等函数在其定义域内的区间上都是连续的.所有初等函数在其定义域内的区间上都是连续的.

  15. 例3求函数 的连续区间. 解 因为函数 是初等函数，所以根据定理2， 函数的连续区间就是它的定义区间. 故所求函数的连续 区间为

  16. 是初等函数， 是其定义区间内的点， 如果 那么 在 连续. 于是，根据连续性的定义，有 这就是说，初等函数对定义域内点求极限，就是求它的 函数值.

  17. 例4求 解 因为 是初等函数，它的一个定 在该区间内，所以 义区间为（0，π），

  18. 例5 解

  19. 闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值定理如果 在闭区间[a，b]上 连续，那么 在 [a，b]上必有最大值 和最小值.

  20. 在闭区间[0，π]上有最大值和最 问：函数 小值吗？ 问：函数 在开区间 内有最大值和最小 值吗？

  21. 介值定理如果函数 在闭区间[a，b]上连续， 且 在 这 区 间 的 端 点 取 不 同 的 函 数 值 那么对于A与B之间的任意一个 内 至 少 有 一 点 使 得 数 C， 在 开 区 间

  22. 在闭区间[a，b]上连 零点存在定理如果函数 续，且f(a)与f(b)异号，那么在(a，b)内至少存在一点 使得

  23. 小结： 1．函数的增量。 2．函数连续的定义。 3．函数的间断点。 4．初等函数的连续性。 5．闭区间上连续函数的性质。

  24. 作业 P36： 20（1）（3）

  25. 1. 需求函数与供给函数 商品的需求量Q与价格P的函数，称为需求函数，记作 商品的供给量Q与价格P的函数，称为供给函数，记作 市场平衡点 这时的商品价格 叫作市场平衡价格.

  26. 例1 已知某商品的需求函数是 ，供给函数是 ，求该商品市场处于平衡状态下的价格（元） 和需求量（万件）. 解 所以，所求市场平衡价格为27元，需求量14万件.

  27. 2. 成本函数、收入函数与利润函数 总成本是生产一种产品所需的全部费用。通常总成本可分为两个部分：一部分是在短期内不发生变化的或变化很小的，如厂房、设备、保险费、管理人员的工资、广告费等，称为固定成本，通常用C1表示；另一部分是随产品数量的变化而直接变化的，如原料费、能源消耗费、生产工人工资、包装费等，称为可变成本，常用C2表示，它是产品数量Q的函数，即 因此，成产Q个单位时某商品的总成本C等于固定成本 与可变成本 之和，即

  28. 总成本函数是一个单调增加函数.总成本函数的图像叫作总成本曲线.总成本函数是一个单调增加函数.总成本函数的图像叫作总成本曲线. 总收入是销售者售出一定数量商品所得的全部收入。若商品的数量为Q，价格为P，则总收入R为 称为总收入函数.

  29. 设某商品的需求关系是 例2 其中Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入. 解 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作L,即 其中Q是产品的数量.总利润是产品数量的函数,称为利润函数.

  30. 例3 设某工厂生产某产品每 t售价2万元,每天生产Q t的总成本为C(万元),且 求每天生产2、5、7件时的总利润. 解 利润为零，生产处于无盈亏状态. 我们把无盈亏生产时的产量称为无盈亏点（或保本点）.

  31. 例4 （1）求例3中该厂生产的无盈亏点. （2）若该厂每天至少生产7 吨产品，为了不亏本，单价应定多少钱？ 解 即该厂无盈亏点有两个，分别为生产1 吨和生产5 吨. （2）设单价定为P(万元),则销售7 吨的收入应为 为使生产经营不亏本，就必须使

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