Optimierungs- Algorithmen

1. Optimierungs-Algorithmen AK5: Ausgewählte Algorithmen Ak der Algorithmik 5 Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen

2. Kombinatorische Optimierungsprobleme Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem Gegeben sind: • endliche Menge E (Grundmenge) • Teilmenge I der Potenzmenge 2E von E (zul. Mengen) • Kostenfunktion c: EK

3. Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme Handlungsreisendenproblem (TSP) Minimaler Spannender Baum (MST) Minimum der Funktion: f(x)=3x2+2, xR

4. Lineare Optimierungsprobleme Definition Lineares Optimierungsproblem Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen Vektoren, die die Bedingungen Ax<=b erfüllen, derjenige ist, mit größtem (kleinstem) Zielfunktionswert.

5. Beispiel Ölraffinerie 2 Crackverfahren für Rohöl mit folgender Ausbeute und Kosten: • Crackprozeß 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR • Crackprozeß 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR Ziele: • mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen) • möglichst billig herstellen

6. Beispiel Ölraffinerie Zielfunktion subject to Restriktionen definieren den Lösungsraum Matrixschreibweise: (Tafel)

7. Geometrische Interpretation LP Beispiel: Ölraffinerie

8. Lineare Optimierungsprobleme Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und können alle ineinander übergeführt werden: • max oder min cTx: Ax≤b • min cTx: Ax≤b und x≥0 • min cTx: Ax=b und x≥0 Beispiele und Tricks!

9. Lineare Optimierungsprobleme LP in seiner allgemeinsten Form:

10. Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeits-forderungen: GLP (ILP, IP) Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP) Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1-Bedingungen: 0/1-Programm, Binäres LP, BLP

11. Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt: Ist E eine endliche Menge und FE, dann ist der charakteris-tische Vektor FRE für F definiert als Beispiel: MST Beispiel: LOP Wir assoziieren zu jedem Element eE eine Komponente des Vektors F. Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x{0,1}E charakteristischer Vektor einer Teilmenge Fx von E, und zwar gilt: Fx={eE | xe=1}.

12. 1 3 4 2 Lineares Ordnungsproblem (LOP) Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten cuvfür alle Bögen (u,v) in A. Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bögen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird. Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten

13. 1 3 4 2 Graphen-Theoretische Formulierung Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Bogengewichten cuvfür alle Bögen (u,v) in A. Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in G mit größtem Gewicht Turnier: TA: entweder (i,j)T oder (j,i)T aber nicht beide

14. u u v u v v w w Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T:

15. ILP für LOP Gleichungen Triviale Ungleichungen 3-Kreis Ungleichungen Ausschluss der 3-er Kreise genügt

16. u u v u v v w w Spannendes Azyklisches Turnier Verbotene Strukturen in T:

17. ILP für LOP Projektion: xvu=1-xuv Triviale Ungl. 3-Kreis Ungl.

18. Geometrische Interpretation LOP

19. x13 x23 1 2 1 2 3 3 x12 Geometrische Interpretation LOP Beispiel n=3: x12 x13 x23 <2,1,3> <1,2,3> <1,3,2> Permutation <1,2,3> <2,1,3> <2,3,1> <1,3,2> <3,1,2> <3,2,1> charakt. Vektor (1,1,1) (0,1,1) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,0) (0,0,0) x12+x23-x13=0 x12+x23-x13=1 <2,3,1> <3,1,2> <3,2,1>

20. n<6: Entfernung der Ganzzahligkeitsbedingungen macht keinen Unterschied • n>=6: zusätzliche Ungleichungen notwendig • Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen: • k Kreise (k ungerade), hier: k=7: • Es ist notwendig, mindestens (k+1)/2 Bögen zu entfernen, um G azyklisch zu machen.

21. Polyedrische Kombinatorik: LOP Konvexe Hülle aller charakteristischer Vektoren, die Permutations, die l Elemente beschreiben. For l=60 ist LOP exakt lösbar innerhalb 1 Sekunde mittels Schnittebenenverfahren.

22. Vielen Dank