소수의 새로운 표현법의 생성과 그 정확성에 대한 탐구 보고서

1. 소수의 새로운 표현법의 생성과 그 정확성에 대한 탐구 보고서 지도교사 및 참가학생 명단 가. 지도교사 나. 참가학생

2. 1. 탐구 주제–소수의 새로운 표현법의 생성과 그 정확성에 대한 탐구 보고서 • 2. 탐구 동기–수많은 수학자들이 새로운 완전수를 만들기 위하여 더 큰 메르센 소수를 찾으려고 하고, RSA암호의 보안을 위하여 매우 큰 소수를 찾아내기 위하여 새로운 소수를 찾으려고 한다는 이야기를 듣고 소수를 생성하는 높은 정확도의 식으로 표현할 수 있는 방법을 찾아보기 위하여 탐구를 시작하였다. • 3. 탐구 순서– 1. 소수의 기본적 성질 조사 • 2. 소수의 여러 표현 방법 조사 • 3. 소수의 새로운 표현법 생성 • 4. 표현방법의 정확성 확인 • 5. 표현방법의 수정 및 정확성 재확인. • 4. 탐구 내용 • 소수의 기본적 성질 • 1) 소수의 정의- 소수란 1보다 큰 자연수중에서 1과 자기자신만을 약수로 갖고 있는 수이다. 또한 합성수는 두 개 이상의 소수의 곱으로 나타내어지는 수이다. • 2) 소수의 무한성- 고대의 수학자 유클리드는 일찍이 소수의 무한성에 대하여 증명하였다. 증명은 잘 알려져 있다고 생각하여 여기서는 생략한다. • 3) 소수의 희귀성- n에 대한 1부터 n까지의 자연수중 소수의 개수의 비는 n의 크기가 커질수록 더욱 더 작아진다.

3. 4) 소수의 판별법- 소수의 확인방법에는 여러 가지가 있으나, 각 방법에는 모두 장단점이 존재하므로 상황에 맞는 방법을 선택해야 한다. Ⅰ. 에라스토테네스의 체: 이 방법은 고대 그리스의 수학자 에라스토테네스가 고안해낸 방법으로 2부터의 자연수를 써내려 가고 소수가 아닌 수는 모두 지워나가 남는 소수를 확인하는 방법이나 그 수가 커질수록 확인하기가 힘들어진다는 단점이 존재한다. Ⅱ. 제곱근 꼴 확인방법: 이 방법은 자연수 n이 합성수일경우 a*b(단, a<b)꼴로 나타내어지고 이때, a*b=n이므로 a≤√n이라는 점에 착안된 방법이다. 즉, 자연수 n이 소인수인지 아닌지 확인하기 위하여 √n이하의 모든 소수로 나누어보는 방법이다. 단, 이 방법 역시 n이 커질수록 확인하기가 어려워진다는 단점이 존재한다. 하지만 그래도 가장 효과적인 방법 중에 하나이다. Ⅲ. 그 외에도 밀러-라빈 소수판별법, 페르마 소수판별법, 솔로바리-스트라센 소수판별법 등 여러 가지 방법이 있다. 2. 여러 가지 방법의 소수 표현방법 모든 소수를 완벽하게 표현할 수 있는 방법은 존재하지 않고, 소수를 거의 무한대까지 정확도가 0이 되는 지점이 없는 표현방법이라 하여도 모든 경우에 대하여 성립하는 것은 아니다. 다음은 잘 알려진 소수를 표현하는 방법들이다. 1) 메르센소수: 메르센수는 ‘2ⁿ-1’꼴로, 여기서 n이 소수여야 그 값 또한 소수로 나오며, n이 소수라 할지라도 그 값이 반드시 소수로 나오는 것은 아니다. 2) 페르마소수: 페르마수는 2를 2의 n승 만큼 제곱한 수에 1을 더한 수로, n이 0,1,2,3,4일 때만 소수로 나온다. 3) 0부터 43까지의 소수생성함수: 이 함수는 어느 유명수학자가 만든 함수식이나 정확하지는 못하고 특정 범위 내에서만 소수가 생성된다는 단점은 여전하다.

4. 3. 내가 만든 소수의 표현방법. 내가 만들 소수의 표현방법은 메르센의 방법과 페르마의 방법을 응용한 방법이다. 즉, 특정한 변수 n에 대하여 지수식을 만들어주는 방법이다. 1) - 메르센 소수에서 아이디어를 얻어서 홀수의 거듭제곱에 짝수를 더하거나 빼도 다시 홀수가 된다는 점에 착안하여 만든 식이다. ‘-2’의 경우에는 n의 값이 2이상이어야 1이 나오지 않으므로 n의 값은 2이상으로 정하였다. 2) - 지수가 같으며 지수가 홀수인 두수를 더할 경우, 보통의 경우는 합성수가 될 수 밖에 없다는 점에 지수를 짝수로 맞춰놓았다. 3) (단, 는 소수, < <……< ) -이 값은 , …… 모두의 배수가 아니므로 다른 소수의 배수가 아니면 소수여야 한다는 점에서 고안하였다. 4. 새로운 표현방법의 정확성 조사 새로 만든 표현방법의 정확성은 확인범위가 넓어질수록 줄어들 것이라고 예상할 수 있다. 하지만, n이 늘어나면 늘어날수록 수의 크기가 기하급수적으로 증가하기 때문에 계산하기가 매우 복잡할 것이다.

5. (2≤n≤10) (0≤n≤10) (1≤n≤10) 구한 수의 목록 7,11,25,29,79,83,241,245,727,731,2185,2189,6559,6563,19681,19685,59047,59051 2,13,97,793,6817,60073,535537,4799353,43112257,387682633,3487832977 3,7,31,211,2311,30031,510511,9699691,223092871,6469693231 소수인 수 7, 11, 29, 79, 83, 241, 727, 6563, 19681, 59051 2,13,97 3,7,31,211,2311 정확도(%) 약 61.1% 약 27.3% 50% 5. 결과 분석 및 오류의 원인 판단 확실히 n의 범위가 넓어지면 넓어질수록 정확도는 매우 떨어져갔다. 첫 번째 식에서 소수가 되는 n의 값은 다음과 같다. (괄호 안의 부호는 그 부호에서 성립함을 나타낸다) 2(-, +), 3(+), 4(-, +), 5(-), 6(-)……그 이후는 소수인지 아닌지 아직 판별하지 못하였다. 두 번째 식에서의 n의 값은 다음과 같다. 1, 2, 3……마찬가지로 그 이후는 소수인지 아닌지 판별하지 못하였다. 하지만 2n꼴의 형태로 나타내어도 n이 홀수이면 합성수가 된다는 점을 착안하지 못하였다. 마지막 식에서는 다른 수들이 끼어들어갈 여지가 많아 소수가 그렇게 많이 존재하지 않은 듯 하였다. 어쩌면 이런 꼴의 소수가 유한 개일지도 모르겠다.

6. (1≤n≤10) (0≤n≤5) (1≤n≤10) 구한 수의 목록 7,11,79,83, 727,731, 6559, 6563,59047,59051,531439,531443,4782967,4782971,43046719,43046723,387420487,387420491,3486784399,3486784403 5,13,97,6817,43112257,1853024483819137 (마지막은 판별에 실패함) 3,7,31,211,2311,30031, 510511,9699691,223092871,6469693231,5,29,209,2309,30029,510509,9699689,223092869,6469693229 소수인 수 7,11,79,83,727,6563,59051,4782971 5,13,97, 3,7,31,211,2311,5,29,2309,30029 정확도(%) 40% 성공한 것만 따지면(60%) 약 47.36% 6. 표현방법의 수정 각 식에서 n의 값에 따라 그 식이 합성수가 된다는 점을 착안하지 않고 n의 값을 정하였기 때문에 정확도가 꽤 떨어지게 되었다. 첫 번째 식에서 n이 4k+3꼴일 때는 –부호에서 반드시 5의 배수가 되고, 4k+1꼴일 때는 +부호에서 반드시 5의 배수가 되었다. 그런 이유 외에도 합성수가 꽤 많이 생겨나게 되었다. 또한 두 번째 식에서 2n의 형태로 만드는 대신에 지수를 n의 제곱으로 수정하기로 결정하였다. 수정한 식- , - 각 식은 n의 범위가 각각 1이상, 0이상이다. 마지막 식은 +1뿐만 아니라 -1도 해 볼 생각이다. 그렇게 되면 더 자세한 결과를 알 수 있을 것 같다. (단, 이때 1이 나오는 것은 제외한다.) 7. 수정한 식의 n에 값을 대입하였을 때의 값과 정확도

7. 8. 결과 분석 이번에도 역시 정확도가 갈수록 떨어지는 것을 느꼈다. 첫 번째 식은 처음에는 정확도가 높았지만, 갈수록 떨어지는 것이 보였다. 하지만 소수가 아닌 수들 중에 소수인 수가 있어서 더 이상 소수가 나오지 않는 지점은 없을 것 같다. 두 번째 식은 처음에는 수가 작았지만, n의 값이 증가하면 증가할수록 수가 기하급수적으로 커져서 판별 자체가 힘들어졌다. 세 번째 식은 처음 부분은 모두 소수였지만 뒷부분은 소수가 전혀 나오지 않는 것 같았다. 9. 탐구 후 느낀 점 고대부터 소수는 수학자들의 호기심을 자극하여왔다. 그 결과 수학자들은 소수에 대한 많은 성질들을 알아내었다. 하지만 소수의 불규칙한 분포에 대하여는 그 누구도 그 일부에 대해서만이라도 규칙성을 만들 수 없었다. 하지만 소인수분해, 쌍둥이 소수, 완전수에서부터 현대 암호의 최전방이라고 부를 수 있는 RSA암호체계까지가 모두 소수로부터 나왔으며, 이것들도 무한하게 발전할 수 있는 가능성을 지니고 있다. 수가 커지면 커질수록 그 수가 소수인지 아닌지를 판별하는 것이 정말 어렵기 때문에 소수를 이용한 RSA암호의 보안능력이 대단한 이유를 새삼 깨닫게 되었다. 하지만 인간의 호기심은 불규칙성을 규칙성으로 바꾸기 충분하다고 생각된다. 인간은 언젠가는 소수에 대한 모든 규칙성과 비밀들을 캐낼 것이며, 그렇지 못하더라도 많은 부분들을 이해하게 될 것이라고 나는 생각한다.

8. 참 고 문 헌 김승태, 박승안, 『정수론』, 경문사, 제7판, pp56~61 신건용, 「완전수로부터 메르센느 수까지, 그리고 그의 응용」, pp6~13, pp38~58