1 / 24

数理逻辑 (4)

数理逻辑 (4). 希尔伯特规划与公理集合论. 希尔伯特规划. （ 1 ）公理化数学。 （ 2 ）所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。 （ 3 ）证明这个公理系统是协调的。 （ 4 ）对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。 （ 5 ）存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。 “ Wir müssen wissen . Wir werden wissen . ”. 一个例子（ 1 ）. 偏序语言 L ＝｛≤｝ 。 稠密无端点全序公理系统 DLO: ∀ x∀y(x≤y ∨ y≤x ); ∀ x(x≤x );

chantale-wooten
Télécharger la présentation

数理逻辑 (4)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 数理逻辑 (4) 希尔伯特规划与公理集合论

  2. 希尔伯特规划 （1）公理化数学。 （2）所有真的数学内容都能够在这个公理系统下证明。 （3）证明这个公理系统是协调的。 （4）对于任何“实在”的内容能通过“理想”的方法证明的都能够用“实在”的方法证明。 （5）存在一个算法来判定是否一个语句能够被证明。 “Wirmüssenwissen. Wirwerdenwissen.”

  3. 一个例子（1） 偏序语言L＝｛≤｝。 稠密无端点全序公理系统DLO: • ∀x∀y(x≤y∨ y≤x); • ∀x(x≤x); • ∀x∀y∀z(x≤y∧y≤z→x≤z); • ∀x∀yz(x<y→x<z<y); • ∀xyz(x<y∧z<x)。

  4. 一个例子（2） DLO的所有可数模型都同构，因此DLO是完备的。 （Q,≤）是DLO的一个模型，因此DLO是协调的。 存在一个算法来判定是否一个语句能够被DLO证明。

  5. 塔斯基1901-1983 波兰 初等几何的公理化与判定算法。 代数闭域的完备性与可判定性。

  6. 策梅洛弗兰克尔1871-1954，德国 1891-1965, 德国 ZF公理系统：

  7. 悖论的排除 • ｛x|x∉ x｝不是集合。 • 全体集合不构成集合。 • 全体序数不构成集合。

  8. ZF的一个自然模型 • V0=Ø • Vα=∪β<αP (Vβ) • V=∪αP (Vα) • 对于所有序数α, Vα是一个传递集合。

  9. ω • 由无穷公理以及comprehension,ω存在。 • 对于任何集合x,令trcl(x)=x∪(∪y∈xtrcl(y))为包含x的最小的传递集合。 传递闭包的存在性由替换公理保证。

  10. 良基公理 • 对于所有的集合x,存在一个序数α使得x∈Vα。 • 因此V是ZF的最大的模型。

  11. 递归定理 定理：给定一个函数F:V×V->V,存在一个函数G:V->V使得对于所有的集合x,G(x)=F(x,G|{y|y∈x}). 证明：应用良基公理。＃ 令F(x,h)=sup{α+1|y∈x(h(y)=α)},定义集合x的秩: rank(Ø)=0 rank(x)=sup{rank(y)+1|y∈x}。

  12. AndrzejMostowski1913－1975，波兰 坍塌定理：如果一个集合模型(M, ∈)满足外延公理，则存在唯一一个传递集合N使得（M, ∈）同构于（N, ∈）。 证明：令G(x)={G(y)|y∈x∧y∈M}。＃

  13. 无穷公理 • Vω的元素都是有穷集合。（Vω, ∈）满足除了无穷公理外的所有ZFC公理。 • ZF可以构造PA的一个模型。实际上ZF-Infty的模型存在性等价于PA模型的存在性。

  14. 幂集公理 • 如果κ是不可达基数，则(Vκ, ∈）是ZFC的模型。 • 令H(κ)={x||trcl({x})|<κ}。 • (H(ω1), ∈)是除了幂集公理外的所有ZFC的模型。

  15. 一个分析定理 定理：存在一个不可测的实数集。 证明 1：构造维塔利集。x~y当切仅当x-y是有理数。 ［x］表示等价类。一个维塔利集就是一个集合从每一个等价类中选出一个元素。 证明 2: 构造伯恩斯坦集合。从每一个正测度闭集中选取两个元素，一个放在里面，一个放在外面。

  16. 选择公理 选择公理(AC):对于所有非空集合X，如果X有一个非空集合作为元素，则f:X→∪X∀x≠Ø（f(x) ∈x）。 选择函数的可定义性。 罗素："The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of socks, but not an infinite number of shoes."

  17. 良序公理 良序公理：所有集合都可以良序化。 证明：显然良序公理蕴含选择公理。 对于任何集合X,存在幂集P (X)。则存在f(A)∈A对于多有的A∈P (X)。于是在序数上做归纳定义：g(0)=Ø,g(α)=f(X-∪β<α{g(β)})。由分离公理，g的值域是X的子集。由替换公理，g的定义域有上界。因此g的值域是X。于是定义x<y当且近当g-1(x) ∈g-1(y)。 QED

  18. 左恩引理1906－1993 德国 左恩引理：如果偏序集P的每一个全序子集都有一个上界，则P包含一个极大元。 定理：左恩引理与选择公理等价 证明：良序公理证明左恩引理。 左恩引理证明良序公理：给定任何一个集合A,定义一个偏序集合(F,≤)使得f ∈F当且仅当f是从序数到A的单射。f≤g当且仅当g是f的扩张。则任何一个极大元都是从序数到A的满射。QED

  19. 选择公理的弱形式 可数选择公理(ACω)：对于所有非空可数集合X，如果X有一个非空集合作为元素，则f:X→∪X∀x≠Ø（f(x) ∈x）。 依赖选择原理(DC)：对于所有非空集合X以及X上的二元关系R，如果∀x∈Xy∈XR(x,y)，那么存在一个{xn}n使得∀nR(xn,xn+1) 。

  20. 选择公理的应用 每一个偏序集都可以扩张成一个全序集。 勒贝格测度的可数可加性。 哈恩-巴拿赫定理。 逻辑的紧致性定理。 思科伦定理。 自然数集合是最小的无穷集合。

  21. 塔斯基悖论 任何一个闭球B都可以分解成两个跟B同样大小的球。即B＝X∪Y但是存在X,Y和B的分解使得它们的各个对应部分全等。

  22. 无穷公理(2) 一个集合A是无穷的，如果： （1）A与它的一个真子集等势;或者 （2）存在ω到A的单射；或者 （3）不存在A到自然数的单射。 选择公理下这些定义都是等价的。

  23. 习题 • 用ZFC证明存在一个不连续函数f使得f(x+y)=f(x)+f(y)。 • 用ZFC证明（Vω＋ω, ∈）满足除替换公理(Replacement)外的所有ZFC公理。 • 用ZFC证明ZFC-幂集公理＋“每一个集合都是可数的”是协调的。 • 证明替换公理中!y可换成y。

  24. 阅读材料 • 《Axiom of Choice 》, Thomas Jech

More Related